Exceptionellt objekt

De platoniska fasta kropparna , som här ses i en illustration från Johannes Keplers Mysterium Cosmographicum (1596), är ett tidigt exempel på exceptionella föremål. Symmetrierna i det tredimensionella rummet kan klassificeras i två oändliga familjer – de cykliska och dihedriska symmetrierna för n -sidiga polygoner – och fem exceptionella typer av symmetri, nämligen symmetrigrupperna för de platonska fasta kropparna.

Många grenar av matematik studera objekt av en given typ och bevisa en klassificering teorem . Ett vanligt tema är att klassificeringen resulterar i ett antal serier av objekt och ett ändligt antal undantag — ofta med önskvärda egenskaper — som inte passar in i någon serie. Dessa är kända som exceptionella föremål . I många fall spelar dessa exceptionella föremål en ytterligare och viktig roll i ämnet. Dessutom förhåller sig de exceptionella objekten i en gren av matematiken ofta till de exceptionella objekten i andra.

Ett relaterat fenomen är exceptionell isomorfism , när två serier i allmänhet är olika, men överensstämmer för några små värden. Till exempel spinngrupper i låga dimensioner isomorfa till andra klassiska Lie-grupper .

Vanliga polytoper

De prototypiska exemplen på exceptionella föremål uppstår vid klassificeringen av reguljära polytoper : i två dimensioner finns det en serie regelbundna n -goner för n ≥ 3. I varje dimension över 2 kan man hitta analoger till kuben, tetraedern och oktaedern. I tre dimensioner hittar man ytterligare två vanliga polyedrar - dodekaedern (12-hedron) och icosahedronen (20-hedron) - vilket gör fem platoniska fasta kroppar . I fyra dimensioner finns totalt sex vanliga polytoper , inklusive 120-cell , 600-cell och 24-cell . Det finns inga andra vanliga polytoper, eftersom de enda vanliga polytoperna i högre dimensioner är av serierna hyperkub , simplex , ortoplex . I alla dimensioner tillsammans finns det därför tre serier och fem exceptionella polytoper.

Dessutom är mönstret liknande om icke-konvexa polytoper ingår: i två dimensioner finns det en vanlig stjärnpolygon för varje rationellt tal $\textstyle p/q>2$ . I tre dimensioner finns fyra Kepler–Poinsot polyedrar och i fyra dimensioner tio Schläfli–Hess polychora ; i högre dimensioner finns inga icke-konvexa reguljära figurer.

Dessa kan generaliseras till tessellations av andra utrymmen, särskilt enhetliga tessellations , särskilt beläggningar av euklidiska utrymmen ( bikakor ), som har exceptionella föremål, och plattsättningar av hyperboliskt utrymme. Det finns olika exceptionella föremål i dimension under 6, men i dimension 6 och högre är de enda vanliga polyedrarna/plattorna/hyperboliska plattorna simplex, hyperkub, tvärpolytop och hyperkubgitter.

Schwarz trianglar

(3 3 2)	(4 3 2)	(5 3 2)
(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Besläktade med plattsättningar och de vanliga polyedrarna, det finns exceptionella Schwarz-trianglar (trianglar som belägger sfären, eller mer allmänt euklidiskt plan eller hyperboliskt plan via deras triangelgrupp av reflektioner i deras kanter), särskilt Möbius-trianglarna . I sfären finns det 3 Möbius-trianglar (och 1 1-parameterfamilj), som motsvarar de 3 exceptionella platonska solida grupperna, medan det i det euklidiska planet finns 3 Möbius-trianglar, motsvarande de 3 specialtrianglarna: 60-60- 60 ( liksidig ), 45-45-90 (likbent höger) och 30-60-90 . Det finns ytterligare exceptionella Schwarz-trianglar i sfären och det euklidiska planet. Däremot, i det hyperboliska planet, finns det en 3-parametersfamilj av Möbius-trianglar, och ingen exceptionell.

Finita enkla grupper

Relationerna mellan de sporadiska grupperna, de flesta är relaterade till monstret.

De ändliga enkla grupperna har klassificerats i ett antal serier samt 26 sporadiska grupper . Av dessa är 20 undergrupper eller underkvoter av monstergruppen , som kallas "den lyckliga familjen", medan 6 inte är det, och de kallas " paria ".

Flera av de sporadiska grupperna är släkt med Leech gittret , mest notably Conway gruppen Co ₁ , som är automorphism gruppen av Leech gittret, kvoterad ut av dess mitt.

Divisionsalgebror

Det finns bara tre finita dimensionella associativa divisionsalgebror över realerna - de reella talen , de komplexa talen och quaternionerna . Den enda icke-associativa divisionsalgebra är oktonjonernas algebra . Oktonionerna är kopplade till en mängd olika exceptionella föremål. är den exceptionella formellt verkliga Jordan-algebra Albert-algebra med 3 gånger 3 självanslutande matriser över oktonionerna.

Simple Lie-grupper

De enkla Lie-grupperna bildar ett antal serier ( klassiska Lie-grupper ) märkta A, B, C och D. Dessutom finns de exceptionella grupperna G ₂ (oktonionernas automorfismgrupp), F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ . Dessa sista fyra grupper kan ses som symmetrigrupperna av projektiva plan över O , C ⊗ O , H ⊗ O respektive O ⊗ O , där O är oktonionerna och tensorprodukterna ligger över realerna.

Klassificeringen av Lie-grupper motsvarar klassificeringen av rotsystem , och således motsvarar de exceptionella Lie-grupperna exceptionella rotsystem och exceptionella Dynkin-diagram .

Supersymmetriska algebror

Det finns några exceptionella föremål med supersymmetri . Klassificeringen av superalgebra av Kac och Tierry-Mieg indikerar att Lie superalgebrerna G(3) i 31 dimensioner och F(4) i 40 dimensioner, och Jordans superalgebrer K ₃ och K ₁₀ , är exempel på exceptionella föremål.

Unimodulära galler

Fram till isometri finns det bara ett enda unimodulärt gitter i 15 dimensioner eller mindre - E _{8 -} gittret . Fram till dimension 24 finns det bara ett jämnt unimodulärt gitter utan rötter , Leech- gittret . Tre av de sporadiska enkla grupperna upptäcktes av Conway när han undersökte automorfismgruppen i Leech-gittret. Till exempel Co ₁ själva automorfismgruppen modulo ±1. Grupperna Co ₂ och Co ₃ , såväl som ett antal andra sporadiska grupper, uppstår som stabilisatorer av olika delmängder av Leech-gittret.

Koder

Vissa koder sticker också ut som exceptionella objekt, i synnerhet den perfekta binära Golay-koden, som är nära besläktad med Leech-gittret. Mathieu -gruppen $M_{24}$ , en av de sporadiska enkla grupperna, är gruppen av automorfismer av den utökade binära Golay-koden, och ytterligare fyra av de sporadiska enkla grupperna uppstår som olika typer av stabilisatorundergrupper av $M_{24}$ .

Blockdesigner

En exceptionell blockdesign är Steiner-systemet S(5,8,24) vars automorfismgrupp är den sporadiska enkla Mathieu-gruppen $M_{24}$ .

Kodorden för den utökade binära Golay-koden har en längd på 24 bitar och har vikterna 0, 8, 12, 16 eller 24. Denna kod kan korrigera upp till tre fel. Så varje 24-bitars ord med vikt 5 kan korrigeras till ett kodord med vikt 8. Bitarna i ett 24-bitars ord kan ses som att specificera de möjliga delmängderna av en 24-elementuppsättning. Så den utökade binära Golay-koden ger en unik delmängd med 8 element för varje delmängd med 5 element. I själva verket definierar den S(5,8,24).

Yttre automorfismer

Vissa familjer av grupper har ofta en viss yttre automorfismgrupp , men i särskilda fall har de andra exceptionella yttre automorfismer.

Bland familjer av ändliga enkla grupper är det enda exemplet i automorfismerna för de symmetriska och alternerande grupperna : för $n\geq 3,n\neq 6$ den alternerande gruppen $A_{n}$ har en yttre automorfism (motsvarande konjugering av ett udda element av $S_{n}$ ) och den symmetriska gruppen $S_{n}$ har inga yttre automorfismer. Men för $n=6,$ finns det en exceptionell yttre automorfism av $S_{6}$ (av ordning 2), och på motsvarande sätt den yttre automorfismgruppen av ${\ displaystyle A_{6}}$ är inte $C_{2}$ (gruppen av ordning 2), utan snarare $C_{2}\times C_{2}$ , den Klein fyra-grupp .

Om man istället betraktar $A_{6}$ som den (isomorfa) projektiva speciallinjära gruppen $\operatorname {PSL} (2,9)$ så är den yttre automorfismen inte exceptionellt; sålunda kan exceptionellheten ses bero på den exceptionella $A_{6}\cong \operatorname {PSL} (2,9).$ Denna exceptionella yttre automorfism realiseras inuti Mathieu-gruppen $M_{12}$ och på liknande sätt $M_{12}$ verkar på en uppsättning av 12 element på två olika sätt.

Tutte -Coxeter-grafen : symmetrierna i denna graf är automorfismerna av S ₆ . Den exceptionella automorfismen motsvarar att byta färger på de blå och röda hörnen.
Symmetrierna i Dynkin-diagrammet D ₄ motsvarar de yttre automorfismerna hos Spin(8) i trialitet.

Bland Lie-grupper har spinngruppen $\operatorname {Spin} (8)$ en exceptionellt stor yttre automorfismgrupp (nämligen $S_{3}$ ) , som motsvarar den exceptionella symmetrier för Dynkin-diagrammet $D_{4}$ . Detta fenomen kallas trialitet .

Den exceptionella symmetrin hos $D_{4}$ -diagrammet ger också upphov till Steinberg-grupperna .

Algebraisk topologi

Kervaire -invarianten är en invariant av ett (4 k + 2)-dimensionellt grenrör som mäter om grenröret kirurgiskt kan omvandlas till en sfär. Denna invariant utvärderas till 0 om grenröret kan omvandlas till en sfär, och 1 annars. Mer specifikt gäller Kervaire-invarianten ett inramat grenrör , det vill säga ett grenrör utrustat med en inbäddning i det euklidiska utrymmet och en trivialisering av det normala knippet . Kervaire-invarianten är problemet med att bestämma i vilka dimensioner Kervaire-invarianten kan vara icke-noll. För differentierbara grenrör kan detta ske i dimensionerna 2, 6, 14, 30, 62 och möjligen 126, och i inga andra dimensioner. Det sista fallet för dimension 126 förblir öppet. Dessa fem eller sex inramade kobordismklasser av grenrör som har Kervaire invariant 1 är exceptionella objekt relaterade till exotiska sfärer . De tre första fallen är relaterade till de komplexa talen, kvaternioner respektive oktonioner: en mångfald av Kervaire invariant 1 kan konstrueras som produkten av två sfärer, med dess exotiska inramning bestäms av den normerade divisionsalgebra.

På grund av likheter mellan dimensioner antas det att de återstående fallen (dimensionerna 30, 62 och 126) är relaterade till Rosenfelds projektiva plan , som definieras över algebror konstruerade från oktonionerna. Specifikt har det antagits att det finns en konstruktion som tar dessa projektiva plan och producerar ett grenrör med icke-noll Kervaire invariant i två dimensioner lägre, men detta förblir obekräftat.

Symmetriska kvantmätningar

I kvantinformationsteorin finns det strukturer som är kända som SIC-POVMs eller SICs, som motsvarar maximala uppsättningar av komplexa ekvikantiga linjer . Några av de kända SIC:erna – de i vektorrum med 2 och 3 dimensioner, såväl som vissa lösningar i 8 dimensioner – anses vara exceptionella objekt och kallas "sporadiska SIC". De skiljer sig från de andra kända SICs på sätt som involverar deras symmetrigrupper, Galois-teorin om de numeriska värdena för deras vektorkomponenter, och så vidare. De sporadiska SIC:erna i dimension 8 är relaterade till de integrerade oktonionerna.

Anslutningar

Många samband har observerats mellan några, men inte alla, av dessa exceptionella föremål. Vanligast är föremål relaterade till 8 och 24 dimensioner, och noterar att 24 = 8 · 3. Däremot står pariagrupperna isär, som namnet antyder.

8 och 24 dimensioner

Exceptionella föremål relaterade till siffran 8 inkluderar följande.

Oktonionerna är 8-dimensionella.
E ₈ - gittret kan realiseras som de integrerade oktonjonerna (upp till en skalfaktor).
De exceptionella Lie-grupperna kan ses som symmetrier av oktonionerna och strukturer härledda från oktonionerna; vidare är E ₈ -algebra relaterad till E ₈ -gittret, som notationen antyder (gitteret genereras av algebrans rotsystem).
Trialitet uppstår för Spin(8), som också ansluter till 8 · 3 = 24.

På samma sätt inkluderar exceptionella föremål relaterade till nummer 24 följande.

Leech gittret är 24-dimensionellt.
De flesta sporadiska enkla grupperna kan relateras till Leech gittret, eller mer allmänt Monster.
Den exceptionella Jordan-algebra har en representation i form av 24×24 reala matriser tillsammans med Jordan-produktregeln.

Dessa objekt är kopplade till olika andra fenomen inom matematiken som kan anses överraskande men inte i sig "exceptionella". Till exempel, i algebraisk topologi , kan 8-faldig verklig Bott-periodicitet ses komma från oktonionerna. I teorin om modulära former ligger den 24-dimensionella naturen hos Leech-gittret till grund för närvaron av 24 i formlerna för Dedekind eta-funktionen och den modulära diskriminanten , vilken anslutning fördjupas av Monstruus moonshine , en utveckling som relaterar modulära funktioner till Monstergrupp.

Fysik

Inom strängteori och supersträngteori finner vi ofta att särskilda dimensioner pekas ut som ett resultat av exceptionella algebraiska fenomen. Till exempel bosonisk strängteori en rumtid av dimension 26 som är direkt relaterad till närvaron av 24 i Dedekind eta-funktionen . På liknande sätt är de möjliga dimensionerna av supergravitation relaterade till dimensionerna för divisionalgebran .

Monstruöst månsken

Många av de exceptionella objekten inom matematik och fysik har visat sig vara kopplade till varandra. Utvecklingar som Monstruus moonshine -gissningarna visar hur till exempel Monstergruppen är kopplad till strängteorin . Teorin om modulära former visar hur algebra E ₈ är kopplad till Monstergruppen. (I själva verket, långt före beviset för den monstruösa månskensförmodan, upptäcktes den elliptiska j -funktionen för att koda representationerna av E ₈ .) Andra intressanta kopplingar inkluderar hur Leech-gittret är kopplat via Golay-koden till närliggande matris av dodekaeder (ett annat exceptionellt objekt). Nedan finns en tankekarta som visar hur några av de exceptionella objekten i matematik och matematisk fysik är relaterade.

Sambanden kan delvis förklaras genom att tänka på algebrorna som ett torn av gittervertexoperatoralgebror . Det råkar vara så att vertexalgebrorna längst ner är så enkla att de är isomorfa till bekanta icke-vertexalgebror. Således kan kopplingarna helt enkelt ses som konsekvensen av att vissa gitter är undernät till andra.

Supersymmetrier

Jordans superalgebra är en parallell uppsättning exceptionella objekt med supersymmetri . Dessa är Lie superalgebras som är relaterade till Lorentziska gitter. Detta ämne är mindre utforskat, och kopplingarna mellan objekten är mindre väl etablerade. Det finns nya gissningar parallellt med de monstruösa månskensföreställningarna för dessa superobjekt, som involverar olika sporadiska grupper. ^{[ citat behövs ]}

Oexceptionella föremål

Patologier

"Exceptionellt" objekt är reserverat för objekt som är ovanliga, vilket betyder sällsynta, undantaget, inte för oväntade eller icke-standardiserade objekt. Dessa oväntade-men-typiska (eller vanliga) fenomen hänvisas i allmänhet till som patologiska , såsom ingenstans differentierbara funktioner , eller "exotiska", som i exotiska sfärer - det finns exotiska sfärer i godtyckligt hög dimension (inte bara en ändlig uppsättning undantag ), och i många dimensioner är de flesta (differentiella strukturer på) sfärer exotiska.

Extrema föremål

Exceptionella föremål måste särskiljas från extrema föremål: de som faller i en familj och är det mest extrema exemplet i något mått är av intresse, men inte ovanliga på det sätt som exceptionella föremål är. Till exempel har det gyllene snittet φ den enklaste fortsatta bråk- approximationen, och är följaktligen svårast att approximera med rationaler ; dock är det bara ett av oändligt många sådana kvadratiska tal (fortsatta bråk).

På liknande sätt är (2,3,7) Schwarz-triangeln den minsta hyperboliska Schwarz-triangeln, och den associerade (2,3,7) triangelgruppen är av särskilt intresse, eftersom den är den universella Hurwitz-gruppen och därmed associerad med Hurwitz-kurvorna , de maximalt symmetriska algebraiska kurvorna. Den faller dock i en familj av sådana trianglar ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7), etc.), och även om den är den minsta är den inte exceptionell eller olik andra.

Se även