Lista över små grupper

Följande lista i matematik innehåller ändliga grupper av liten ordning upp till gruppisomorfism .

Räknar

För n = 1, 2, … är antalet icke-isomorfa grupper av ordningen n

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (sekvens A000001 i OEIS )

För märkta grupper, se OEIS : A034383 .

Ordlista

Varje grupp är namngiven av deras Small Groups-bibliotek som Goi _, där o är gruppens ordning och i ^är indexet för gruppen inom den ordningen.

Vanliga gruppnamn:

• Zn : den cykliska gruppen av ordningen n (beteckningen Cn _används också; den är isomorf till den additiva gruppen _av Z / nZ ) .
• Dih _n : den dihedriska gruppen av ordning 2 n (ofta används beteckningen D _n eller D _{2 n )}
  • K ₄ : Klein fyra-gruppen av ordning 4, samma som Z ₂ × Z ₂ och Dih ₂ .
• S _n : den symmetriska gruppen av grad n , innehållande n ! permutationer av n element.
• A _n : den alternerande gruppen av grad n , som innehåller de jämna permutationerna av n element, av ordningen 1 för n = 0, 1 , och ordningen n !/2 annars.
• Dic _n eller Q _{4 n} : den dicykliska gruppen av ordningen 4 n .
  • Q ₈ : quaterniongruppen av ordning 8, även Dic ₂ .

Beteckningarna Z _n och Dih _n har fördelen att punktgrupper i tre dimensioner C _n och D _n inte har samma beteckning. Det finns fler isometrigrupper än dessa två, av samma abstrakta grupptyp.

Beteckningen G × H betecknar den direkta produkten av de två grupperna; G ⁿ betecknar den direkta produkten av en grupp med sig själv n gånger. G ⋊ H betecknar en halvdirekt produkt där H verkar på G ; detta kan också bero på valet av åtgärd för H på G.

Abeliska och enkla grupper noteras. (För grupper av ordningen n < 60 är de enkla grupperna just de cykliska grupperna Z _n , för prime n .) Likhetstecknet ("=") betecknar isomorfism.

Identitetselementet i cykelgraferna representeras av den svarta cirkeln . Den lägsta ordningen för vilken cykeldiagrammet inte unikt representerar en grupp är ordning 16.

I listorna över undergrupper finns inte trivialgruppen och själva gruppen listade. Där det finns flera isomorfa undergrupper, anges antalet sådana undergrupper inom parentes.

Vinkelparenteser <relationer> visar presentationen av en grupp .

Lista över små abelska grupper

De finita abelska grupperna är antingen cykliska grupper eller direkta produkter därav; se Abelian-gruppen . Antalet icke-isomorfa abelska grupper av ordning n = 1, 2, ... är

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (sekvens A000688 i OEIS )

För märkta abelska grupper, se OEIS : A034382 .

Lista över alla abelska grupper upp till order 31

Beställa	Id.	G o i	Grupp	Icke-triviala egentliga undergrupper	Cykeldiagram _	Egenskaper
1	1	G 1 1	Z 1 = S 1 = A 2	–		Trivialt . Cyklisk. Omväxlande. Symmetrisk. Elementär .
2	2	G 2 1	Z2 = S2 = D2 _	–		Enkel. Symmetrisk. Cyklisk. Elementärt. (Minsta icke-triviala grupp.)
3	3	G 3 1	Z3 = A3 _	–		Enkel. Omväxlande. Cyklisk. Elementärt.
4	4	G 4 1	Z4 = Dic 1 _	Z 2		Cyklisk.
	5	G 4 2	Z 2 2 = K 4 = D 4	Z 2 (3)		Elementärt. Produkt . ( Klein fyrgrupp . Den minsta icke-cykliska gruppen.)
5	6	G 5 1	Z 5	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
6	8	G 6 2	Z6 = Z3 × Z2 _	Z3 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
7	9	G 7 1	Z 7	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
8	10	G 8 1	Z 8	Z4 , Z2 _		Cyklisk.
	11	G 8 2	Z 4 × Z 2	Z22 , Z4 ( 2 ), Z2 ( 3 )		Produkt.
	14	G 8 5	Z 2 3	Z 2 2 (7), Z 2 (7)		Produkt. Elementärt. (Icke-identitetselementen motsvarar punkterna i Fano-planet , Z 2 × Z 2 -undergrupperna till linjerna.)
9	15	G 9 1	Z 9	Z 3		Cyklisk.
	16	G 9 2	Z 3 2	Z 3 (4)		Elementärt. Produkt.
10	18	G 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z5 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
11	19	G 11 1	Z 11	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
12	21	G 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
	24	G 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Z6 ( 3 ), Z3 , Z2 ( 3 ), Z22		Produkt.
13	25	G 13 1	Z 13	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
14	27	G 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z7 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
15	28	G 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z5 , Z3 _		Cyklisk. Produkt.
16	29	G 16 1	Z 16	Z8 , Z4 , Z2 _		Cyklisk.
	30	G 16 2	Z 4 2	Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3)		Produkt.
	33	G 16 5	Z 8 × Z 2	Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2		Produkt.
	38	G 16 10	Z 4 × Z 2 2	Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6)		Produkt.
	42	G 16 14	Z 2 4 = K 4 2	Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15)		Produkt. Elementärt.
17	43	G 17 1	Z 17	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
18	45	G 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z9 , Z6 , Z3 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
	48	G 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z2 , Z3 ( 4), Z6 ( 4 ) , Z32		Produkt.
19	49	G 19 1	Z 19	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
20	51	G 20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z10 , Z5 , Z4 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
	54	G 20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 2 (3), K 4 , Z 5 , Z 10 (3)		Produkt.
21	56	G 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z7 , Z3 _		Cyklisk. Produkt.
22	58	G 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z11 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
23	59	G 23 1	Z 23	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
24	61	G 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	68	G 24 9	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2	Z12 , Z6 , Z4 , Z3 , Z2 _		Produkt.
	74	G 24 15	Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Z6 , Z3 , Z2 _		Produkt.
25	75	G 25 1	Z 25	Z 5		Cyklisk.
	76	G 25 2	Z 5 2	Z 5		Produkt. Elementärt.
26	78	G 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z13 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
27	79	G 27 1	Z 27	Z9 , Z3 _		Cyklisk.
	80	G 27 2	Z 9 × Z 3	Z9 , Z3 _		Produkt.
	83	G 27 5	Z 3 3	Z 3		Produkt. Elementärt.
28	85	G 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Z14 , Z7 , Z4 , Z2 _		Cyklisk. Produkt.
	87	G 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Z14 , Z7 , Z4 , Z2 _		Produkt.
29	88	G 29 1	Z 29	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.
30	92	G 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
31	93	G 31 1	Z 31	–		Enkel. Cyklisk. Elementärt.

Lista över små icke-abelska grupper

Antalet icke-abelska grupper, efter ordning, räknas efter (sekvens A060689 i OEIS ). Men många ordnar har inga icke-abelska grupper. Ordningarna för vilka en icke-abelisk grupp existerar är

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (sekvens A060652 i OEIS )

Lista över alla icke-abelska grupper upp till ordning 31

Beställa	Id.	G o i	Grupp	Icke-triviala egentliga undergrupper	Cykeldiagram _	Egenskaper
6	7	G 6 1	D 6 = S 3 = Z 3 ⋊ Z 2	Z 3 , Z 2 (3)		Dihedral grupp , Dih 3 , den minsta icke-abelska gruppen, symmetrisk grupp, minsta Frobenius-gruppen .
8	12	G 8 3	D 8	Z4 , Z22 ( 2), Z2 ( 5 )		Dihedral grupp, Dih 4 . Extra speciell grupp . Nilpotent .
	13	G 8 4	F 8	Z 4 (3), Z 2		Kvaterniongrupp , Hamiltonsk grupp (alla undergrupper är normala utan att gruppen är abelsk). Den minsta gruppen G visar att för en normal undergrupp H behöver kvotgruppen G/H inte vara isomorf till en undergrupp av G . Extra speciell grupp . Dic2 . , binär dihedrisk grupp <2,2,2> Nilpotent.
10	17	G 10 1	D 10	Z 5 , Z 2 (5)		Dihedral grupp, Dih 5 , Frobenius grupp.
12	20	G 12 1	Q 12 = Z 3 ⋊ Z 4	Z2 , Z3 , Z4 ( 3) , Z6		Dicyklisk grupp Dic3 , binär dihedrisk grupp, <3,2,2 >
	22	G 12 3	A 4 = K 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3)		Omväxlande grupp . Inga undergrupper av ordning 6, även om 6 delar sin ordning. Minsta Frobenius-grupp som inte är en dihedrisk grupp. Kiral tetraedrisk symmetri (T)
	23	G 12 4	D 12 = D 6 × Z 2	Z6 , D6 ( 2), Z22 ( 3 ), Z3 , Z2 ( 7 )		Dihedral grupp, Dih 6 , produkt.
14	26	G 14 1	D 14	Z 7 , Z 2 (7)		Dihedral grupp, Dih 7 , Frobenius grupp
16	31	G 16 3	G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4	E8 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4 ( 4), K 4 (6), Z 2 (6)		Har samma antal element av varje ordning som Pauli-gruppen. Nilpotent.
	32	G 16 4	Z 4 ⋊ Z 4			Elementens kvadrater bildar inte en undergrupp. Har samma antal element av varje ordning som Q 8 × Z 2 . Nilpotent.
	34	G 16 6	Z 8 ⋊ Z 2			Kallas ibland den modulära gruppen av ordning 16, även om detta är missvisande eftersom abelska grupper och Q 8 × Z 2 också är modulära. Nilpotent.
	35	G 16 7	D 16	Z8 , D8 ( 2), Z22 ( 4 ), Z4 , Z2 ( 9 )		Dihedral grupp, Dih 8 . Nilpotent.
	36	G 16 8	QD 16			Ordningen 16 kvasidihedrisk grupp . Nilpotent.
	37	G 16 9	F 16			Generaliserad kvaterniongrupp , dicyklisk grupp Dic4 , binär dihedrisk grupp, <4,2,2>. Nilpotent.
	39	G 16 11	D 8 × Z 2	D 8 (4), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (13), Z 4 (2), Z 2 (11)		Produkt. Nilpotent.
	40	G 16 12	Q 8 × Z 2			Hamiltonian , produkt. Nilpotent.
	41	G 16 13	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2			Pauli -gruppen som genereras av Pauli-matriserna . Nilpotent.
18	44	G 18 1	D 18	Z9 , D6 ( 3), Z3 , Z2 ( 9 )		Dihedral grupp, Dih 9 , Frobenius grupp.
	46	G 18 3	Z 3 ⋊ Z 6 = D 6 × Z 3 = S 3 × Z 3	Z32 , D6 , Z6 ( 3), Z3 ( 4 ) , Z2 ( 3)		Produkt.
	47	G 18 4	(Z 3 × Z 3 )⋊Z 2	Z32 , D6 ( 12), Z3 ( 4 ) , Z2 ( 9)		Frobenius grupp.
20	50	G 20 1	Q 20			Dicyklisk grupp Dic5 , binär dihedrisk grupp, <5,2,2>.
	52	G 20 3	Z 5 ⋊ Z 4			Frobenius grupp.
	53	G 20 4	D 20 = D 10 × Z 2			Dihedral grupp, Dih 10 , produkt.
21	55	G 21 1	Z 7 ⋊ Z 3	Z 7 , Z 3 (7)		Minsta icke-abelska grupp av udda ordning. Frobenius grupp.
22	57	G 22 1	D 22	Z 11 , Z 2 (11)		Dihedralgruppen Dih 11 , Frobeniusgruppen.
24	60	G 24 1	Z 3 ⋊ Z 8	Z12 , Z8 ( 3 ), Z6 , Z4 , Z3 , Z2		Central förlängning av S 3 .
	62	G 24 3	SL (2,3) = Q 8 ⋊ Z 3			Binär tetraedrisk grupp , 2T = <3,3,2>.
	63	G 24 4	Q 24 = Z 3 ⋊ Q 8			Dicyklisk grupp Dic6 , binär dihedral, <6,2,2>.
	64	G 24 5	D 6 × Z 4 = S 3 × Z 4			Produkt.
	65	G 24 6	D 24			Dihedral grupp, Dih 12 .
	66	G 24 7	Q 12 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 ⋊ Z 4 )			Produkt.
	67	G 24 8	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4			Dubbelt omslag av dihedral grupp.
	69	G 24 10	D 8 × Z 3			Produkt. Nilpotent.
	70	G 24 11	Q 8 × Z 3			Produkt. Nilpotent.
	71	G 24 12	S 4	28 riktiga icke-triviala undergrupper; 9 undergrupper, som kombinerar de som är isomorfa; dessa inkluderar S2 , S3 , A3 , A4 , D8 .		Symmetrisk grupp. Har inga normala Sylow-undergrupper . Kiral oktaedrisk symmetri (O), Achiral tetraedrisk symmetri (T d )
	72	G 24 13	A 4 × Z 2			Produkt. Pyritoedrisk symmetri (T h )
	73	G 24 14	D 12 × Z 2			Produkt.
26	77	G 26 1	D 26			Dihedral grupp, Dih 13 , Frobenius grupp.
27	81	G 27 3	Z 3 2 ⋊ Z 3			Alla icke-triviala element har ordning 3. Extraspecial group . Nilpotent.
	82	G 27 4	Z 9 ⋊ Z 3			Extra speciell grupp . Nilpotent.
28	84	G 28 1	Z 7 ⋊ Z 4			Dicyklisk grupp Dic7 , binär dihedrisk grupp, <7,2,2>.
	86	G 28 3	D 28 = D 14 × Z 2			Dihedral grupp, Dih 14 , produkt.
30	89	G 30 1	Z 5 × D 6			Produkt.
	90	G 30 2	D 10 × Z 3			Produkt.
	91	G 30 3	D 30			Dihedral grupp, Dih 15 , Frobenius grupp.

Klassificering av grupper av liten ordning

Små grupper av primtalsordning p ⁿ ges enligt följande :

• Ordning p : Den enda gruppen är cyklisk.
• Ordning p ² : Det finns bara två grupper, båda abeliska.
• Ordning p ³ : Det finns tre abelska grupper och två icke-abelska grupper. En av de icke-abelska grupperna är den halvdirekta produkten av en normal cyklisk undergrupp av ordningen p ² med en cyklisk grupp av ordningen p . Den andra är kvaterniongruppen för p = 2 och en grupp av exponent p för p > 2 .
• Ordning p ⁴ : Klassificeringen är komplicerad och blir mycket svårare när exponenten för p ökar.

De flesta grupper av liten ordning har en Sylow p- undergrupp P med ett normalt p -komplement N för vissa primtal p som delar ordningen, så de kan klassificeras i termer av de möjliga primtalen p , p -grupperna P , grupperna N och åtgärderna för P på N. _ I någon mening reducerar detta klassificeringen av dessa grupper till klassificeringen av p -grupper. Några av de små grupperna som inte har ett normalt p -komplement inkluderar:

• Ordning 24: Den symmetriska gruppen S ₄
• Ordning 48: Den binära oktaedriska gruppen och produkten S ₄ × Z ₂
• Ordning 60: Den alternerande gruppen A ₅ .

Den minsta ordningen för vilken det inte är känt hur många icke-isomorfa grupper det finns är 2048 = 2 ¹¹ .

Smågruppers bibliotek

GAP - datoralgebrasystemet innehåller ett paket som kallas "Small Groups library", som ger tillgång till beskrivningar av små ordergrupper. Grupperna listas upp till isomorfism . För närvarande innehåller biblioteket följande grupper:

• de av order högst 2000 förutom order 1024 ( 423 164 062 grupper i biblioteket; de av order 1024 måste hoppas över, eftersom det finns ytterligare 49 487 365 422 icke-isomorfa 2-grupper av order 1024);
• de av kubfria ordning högst 50 000 (395 703 grupper);
• de av squarefree- ordning;
• de av ordningen p ⁿ för n högst 6 och p primtal;
• de av ordningen p ⁷ för p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupper);
• de av ordningen pqn där qn delar 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ^{5 eller} 7 ⁴ och p är ett godtyckligt primtal som skiljer sig ^från q ;
• de vars ordningar faktoriseras till högst 3 primtal (inte nödvändigtvis distinkta).

Den innehåller explicita beskrivningar av de tillgängliga grupperna i datorläsbart format.

Den minsta beställning som SmallGroups-biblioteket inte har information om är 1024.

Se även

• Klassificering av ändliga enkla grupper
• Kompositionsserie
• Lista över ändliga enkla grupper
• Antal grupper av en given ordning
• Små latinska rutor och kvasigrupper
• Sylows satser

Anteckningar

•   Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Generatorer och relationer för diskreta grupper . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . , Tabell 1, Nonabelska grupper ordning<32.
•   Hall, Jr., Marshall ; Senior, James K. (1964). "Ordningsgrupperna 2 ⁿ ( n ≤ 6)". Macmillan. MR 0168631 . En katalog över de 340 ordningsgrupperna som delar 64 med tabeller över definierande relationer, konstanter och gitter av undergrupper i varje grupp. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp ) CS1 underhåll: postscript ( länk )

externa länkar

• Särskilda grupper i Group Properties Wiki
• Grupper av given ordning
• Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E. "liten gruppbibliotek" . Arkiverad från originalet 2012-03-05.
• Databas med gruppnamn