Kiralitet (matematik)

Fotavtrycket här visar kiralitet. Individuella vänster och höger fotspår är kirala enantiomorfer i ett plan eftersom de är spegelbilder samtidigt som de inte innehåller någon spegelsymmetri individuellt.

Inom geometri är en figur kiral (och sägs ha kiralitet ) om den inte är identisk med dess spegelbild , eller, mer precist, om den inte kan mappas till dess spegelbild av enbart rotationer och translationer . Ett objekt som inte är kiralt sägs vara akiralt .

Ett kiralt föremål och dess spegelbild sägs vara enantiomorfer . Ordet kiralitet kommer från grekiskan χείρ (cheir), handen, det mest välbekanta kirala föremålet; ordet enantiomorf kommer från grekiskan ἐναντίος (enantios) 'motsatt' + μορφή (morphe) 'form'.

Exempel

Vänster- och högerhandsregler i tre dimensioner

Tetrominos S och Z är enantiomorfer i 2-dimensioner
S	Z

Vissa kirala tredimensionella objekt, såsom helixen , kan tilldelas en höger- eller vänsterhänthet , enligt högerhandsregeln .

Många andra välbekanta föremål uppvisar samma kirala symmetri som människokroppen, såsom handskar och skor. Högerskor skiljer sig från vänsterskor endast genom att vara spegelbilder av varandra. Däremot kan tunna handskar inte anses vara chirala om du kan bära dem ut och in . ^{[ citat behövs ]}

De J-, L-, S- och Z-formade tetrominerna i det populära tv-spelet Tetris uppvisar också chiralitet, men bara i ett tvådimensionellt utrymme. Individuellt innehåller de ingen spegelsymmetri i planet.

Kiralitet och symmetrigrupp

En figur är akiral om och endast om dess symmetrigrupp innehåller minst en orienterings-omvänd isometri. (I euklidisk geometri kan vilken isometri som helst skrivas som $v\mapsto Av+b$ med en ortogonal matris $A$ och en vektor $b$ . Determinanten för $A$ är då antingen 1 eller −1. Om det är −1 är isometrin orienteringsreverserande, annars är den orienteringsbevarande.

En allmän definition av kiralitet baserad på gruppteori finns. Det hänvisar inte till något orienteringsbegrepp: en isometri är direkt om och bara om den är en produkt av kvadrater av isometrier, och om inte är det en indirekt isometri. Den resulterande chiralitetsdefinitionen fungerar i rumtid.

Kiralitet i två dimensioner

Det färgade halsbandet i mitten är kiralt i två dimensioner, de två andra är akirala . Detta innebär att som fysiska halsband på ett bord kan den vänstra och högra halsbandet roteras till sin spegelbild medan de ligger kvar på bordet. Den i mitten skulle dock behöva plockas upp och vändas i tre dimensioner.

En skalentriangel har inte spegelsymmetrier, och är därför en kiral polytop i 2-dimensioner.

I två dimensioner är varje figur som har en symmetriaxel akiral, och det kan visas att varje avgränsad akiral figur måste ha en symmetriaxel. (En symmetriaxel för en figur $F$ är en linje $L$ , så att $F$ är invariant under mappningen $(x,y)\mapsto (x,-y)$ , när $L$ är vald att vara koordinatsystemets ${\displaystyle x} -axel.) Av den anledningen$ är en triangel akiral om den är liksidig eller likbent , och är kiral om den är skalenlig.

Tänk på följande mönster:

Denna figur är kiral, eftersom den inte är identisk med dess spegelbild:

Men om man förlänger mönstret i båda riktningarna till oändlighet, får man en (obegränsad) akiral figur som inte har någon symmetriaxel. Dess symmetrigrupp är en frisgrupp som genereras av en enda glidreflektion .

Kiralitet i tre dimensioner

Ett par kirala tärningar (enantiomorfer)

I tre dimensioner är varje figur som har ett spegelplan av symmetri S ₁ , ett inversionscentrum av symmetri S ₂ , eller en högre felaktig rotation (rotoreflection) S _n symmetriaxel akiral. (Ett symmetriplan för en figur $F$ är ett plan $P$ , så att $F$ är invariant under mappningen ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)} ,$ när $P$ är valt att vara $x$ - $y$ -plan för koordinatsystemet. Ett symmetricentrum för en figur $F$ är en punkt $C$ , så att $F$ är invariant under mappningen ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)} ,$ när $C$ är vald att vara ursprunget till koordinatsystem.) Observera dock att det finns akirala figurer som saknar både plan och symmetricentrum. Ett exempel är figuren

F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0 ,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1) \höger\}

som är invariant under orienteringen omvänd isometri $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ och därmed akiral , men den har varken symmetriplan eller centrum. Figuren

F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1, 1),(-1,-1,-1)\right\}

är också akiral eftersom ursprunget är ett symmetricentrum, men det saknar ett symmetriplan.

Achirala figurer kan ha en mittaxel .

Knutteori

En knut kallas achiral om den kontinuerligt kan deformeras till sin spegelbild, annars kallas den en kiral knut . Till exempel oknuten och åttasiffran akirala, medan trefoilknuten är kiral.

Se även

Vidare läsning

Flapan, Erica (2000). När topologi möter kemi . Syn. Cambridge University Press och Mathematical Association of America. ISBN 0-521-66254-0 .

externa länkar

Symmetri, kiralitet, symmetrimått och kiralitetsmått: Allmänna definitioner
Chiral Polyhedra av Eric W. Weisstein , The Wolfram Demonstrations Project .
Chiralt samlingsrör vid samlingsatlasen.