Historia om Maxwells ekvationer

För aktuella versioner av Maxwells ekvationer, se Maxwells ekvationer .

James Clerk Maxwell

I början av 1800-talet hade många experimentella och teoretiska arbeten utförts i förståelsen av elektromagnetik. På 1780-talet Coulombs lag om elektrostatik etablerats. År 1825 publicerade Ampère sin Ampères lag . Michael Faraday upptäckte den elektromagnetiska induktionen genom sina experiment och konceptuellt betonade han kraftlinjerna i denna elektromagnetiska induktion . År 1834 Lenz problemet med induktionens riktning, och Neumann skrev ner ekvationen för att beräkna den inducerade kraften genom förändring av magnetiskt flöde. Men dessa experimentella resultat och regler var inte välorganiserade och ibland förvirrande för forskare. En omfattande sammanfattning av de elektrodynamiska principerna var i akut behov vid den tiden.

Detta arbete gjordes av James C. Maxwell genom en serie artiklar publicerade från 1850-talet till 1870-talet. På 1850-talet arbetade Maxwell vid University of Cambridge där han blev imponerad av Faradays koncept för kraftlinjer . 1856 publicerade han sin första uppsats i elektromagnetism: On Faraday's Lines of Force . Han försökte använda analogin med inkompressibelt vätskeflöde för att modellera de magnetiska kraftlinjerna. Senare flyttade Maxwell till King's College London där han faktiskt kom i regelbunden kontakt med Faraday och blev vänner för livet. Från 1861-1862 publicerade Maxwell en serie om 4 artiklar under titeln On Physical Lines of Force . I dessa tidningar använde han mekaniska modeller, såsom roterande virvelrör, för att modellera det elektromagnetiska fältet. Han modellerade också vakuumet som ett slags isolerande elastiskt medium för att ta hänsyn till spänningen från de magnetiska kraftlinjerna som Faraday gav. Dessa verk hade redan lagt grunden för formuleringen av Maxwells ekvationer. Dessutom härledde papperet från 1862 redan ljusets hastighet c från uttrycket av den elektromagnetiska vågens hastighet i förhållande till vakuumkonstanterna. Den slutliga formen av Maxwells ekvationer publicerades 1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field , där teorin är formulerad i strikt matematisk form. 1873 publicerade Maxwell A Treatise on Electricity and Magnetism som en sammanfattning av hans arbete om elektromagnetism. Sammanfattningsvis, Maxwells ekvationer förenade framgångsrikt teorier om ljus och elektromagnetism, vilket är en av de stora föreningarna inom fysiken.

Senare studerade Oliver Heaviside Maxwells A Treatise on Electricity and Magnetism och använde vektorkalkyl för att syntetisera Maxwells över 20 ekvationer till de fyra igenkännliga som moderna fysiker använder. Maxwells ekvationer inspirerade också Albert Einstein i att utveckla teorin om speciell relativitet .

Det experimentella beviset för Maxwells ekvationer demonstrerades av Heinrich Hertz i en serie experiment på 1890-talet. Efter det accepterades Maxwells ekvationer fullt ut av forskare.

Samband mellan elektricitet, magnetism och ljusets hastighet

Sambanden mellan elektricitet, magnetism och ljusets hastighet kan sammanfattas med den moderna ekvationen:

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}\ .$

Den vänstra sidan är ljusets hastighet och den högra är en storhet relaterad till de konstanter som förekommer i ekvationerna som styr elektricitet och magnetism. Även om den högra sidan har hastighetsenheter, kan det härledas från mätningar av elektriska och magnetiska krafter, som inte involverar några fysiska hastigheter. Att etablera detta förhållande gav därför övertygande bevis för att ljus är ett elektromagnetiskt fenomen.

Upptäckten av detta förhållande började 1855, när Wilhelm Eduard Weber och Rudolf Kohlrausch fastställde att det fanns en kvantitet relaterad till elektricitet och magnetism, "förhållandet mellan den absoluta elektromagnetiska laddningsenheten och den absoluta elektrostatiska laddningsenheten" (på modernt språk) , värdet $1/{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$ ), och bestämde att den skulle ha hastighetsenheter. De mätte sedan detta förhållande genom ett experiment som involverade laddning och urladdning av en Leyden-burk och mätning av den magnetiska kraften från urladdningsströmmen, och fann ett värde på 3,107 × 10 ⁸ m/s, anmärkningsvärt nära ljusets hastighet, som nyligen hade varit uppmätt till 3,14 × 10 ⁸ m/s av Hippolyte Fizeau 1848 och till   2,98 × 10 ⁸ m/s av Léon Foucault 1850. Weber och Kohlrausch gjorde dock inte kopplingen till ljusets hastighet. Mot slutet av 1861, medan han arbetade på del III av sin uppsats On Physical Lines of Force, reste Maxwell från Skottland till London och kollade upp Weber och Kohlrauschs resultat. Han omvandlade dem till ett format som var kompatibelt med hans egna skrifter, och därigenom etablerade han kopplingen till ljusets hastighet och drog slutsatsen att ljus är en form av elektromagnetisk strålning.

Termen Maxwells ekvationer

De fyra moderna Maxwells ekvationer kan hittas individuellt genom hela hans artikel från 1861, teoretiskt härledda med hjälp av en molekylär virvelmodell av Michael Faradays "kraftlinjer" och i samband med det experimentella resultatet av Weber och Kohlrausch. Men det var inte förrän 1884 som Oliver Heaviside , samtidigt med liknande arbete av Josiah Willard Gibbs och Heinrich Hertz , grupperade de tjugo ekvationerna till en uppsättning av endast fyra, via vektornotation. Denna grupp av fyra ekvationer var känd på olika sätt som Hertz-Heaviside-ekvationerna och Maxwell-Hertz-ekvationerna, men är nu allmänt kända som Maxwells ekvationer . Heavisides ekvationer, som lärs ut i läroböcker och universitet som Maxwells ekvationer är inte exakt desamma som de som beror på Maxwell, och i själva verket är de senare lättare att anpassa sig till kvantfysiken.

Denna mycket subtila och paradoxala klingande situation kan kanske lättast förstås i termer av den liknande situation som finns med avseende på Newtons andra rörelselag: I läroböcker och i klassrum tillskrivs lagen F = m a { \ $}$ till Newton, men Newton skrev faktiskt sin andra lag $F={\dot {p}}$ är tydligt synlig i en glasmonter i Wren Library of Trinity College, Cambridge , där Newtons manuskript är öppet till relevant sida. som $F={\dot {p}}$ , där ${\dot {p}}$ är tidsderivatan av momentum $p$ . Detta verkar vara ett trivialt faktum tills du inser att $F={\dot {p}}$ förblir sant i Special Relativity , utan modifiering.

Maxwells bidrag till vetenskapen vid framställningen av dessa ekvationer ligger i den korrigering han gjorde till Ampères kretslag i hans 1861 papper On Physical Lines of Force . Han lade till förskjutningsströmmen till Ampères kretslag och detta gjorde det möjligt för honom att härleda den elektromagnetiska vågekvationen i hans senare 1865 papper A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field och att visa det faktum att ljus är en elektromagnetisk våg . Detta faktum bekräftades senare experimentellt av Heinrich Hertz 1887. Fysikern Richard Feynman förutspådde att "Från en lång syn på mänsklighetens historia, sett från, låt oss säga, tio tusen år framåt, kan det inte råda något tvivel om att den mest betydelsefulla händelsen på 1800-talet kommer att bedömas som Maxwells upptäckt av elektrodynamikens lagar. Det amerikanska inbördeskriget kommer att blekna till provinsiell obetydlighet i jämförelse med denna viktiga vetenskapliga händelse under samma årtionde."

Begreppet fält introducerades av bland annat Faraday. Albert Einstein skrev:

Den exakta formuleringen av tid-rum-lagarna var Maxwells verk. Föreställ dig hans känslor när differentialekvationerna han hade formulerat bevisade för honom att elektromagnetiska fält spred sig i form av polariserade vågor, och med ljusets hastighet! För få män i världen har en sådan erfarenhet garanterats ... det tog fysiker några decennier att förstå den fulla betydelsen av Maxwells upptäckt, så djärvt var språnget att hans geni tvingade på sina medarbetares föreställningar.

— Einstein ( Science , 24 maj 1940)

Heaviside arbetade för att eliminera potentialerna ( elektrisk potential och magnetisk potential ) som Maxwell hade använt som de centrala begreppen i sina ekvationer; denna ansträngning var något kontroversiell, även om det förstods 1884 att potentialerna måste fortplanta sig med ljusets hastighet som fälten, till skillnad från konceptet om ögonblicklig handling-på-avstånd som dåvarande uppfattningen om gravitationspotential.

På fysiska kraftlinjer

Huvudartikel: On Physical Lines of Force

De fyra ekvationerna vi använder idag dök upp separat i Maxwells 1861 artikel, On Physical Lines of Force :

1. Ekvation (56) i Maxwells papper från 1861 är Gauss lag för magnetism , ∇ • B = 0 .
2. Ekvation (112) är Ampères kretslag , med Maxwells tillägg av förskjutningsström . Detta kan vara det mest anmärkningsvärda bidraget från Maxwells arbete, som gör det möjligt för honom att härleda den elektromagnetiska vågekvationen i sin uppsats från 1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, som visar att ljus är en elektromagnetisk våg. Detta gav ekvationerna sin fulla betydelse med avseende på förståelsen av de fenomen han belyst. (Kirchhoff härledde telegrafens ekvationer 1857 utan att använda förskjutningsström , men han använde Poissons ekvation och kontinuitetsekvationen, som är de matematiska ingredienserna i förskjutningsströmmen. Trots att han trodde att hans ekvationer endast var tillämpliga inuti en elektrisk ledning, kan inte tillskrivas upptäckten att ljus är en elektromagnetisk våg).
3. Ekvation (115) är Gauss lag .
4. Ekvation (54) uttrycker vad Oliver Heaviside kallade "Faradays lag", som tar upp den tidsvarierande aspekten av elektromagnetisk induktion, men inte den som induceras av rörelse; Faradays ursprungliga fluxlag stod för båda. Maxwell behandlar den rörelserelaterade aspekten av elektromagnetisk induktion, v × B , i ekvation (77), vilket är samma som ekvation (D) i Maxwells ursprungliga ekvationer enligt nedan. Det uttrycks idag som kraftlagsekvationen, F = q ( E + v × B ) , som sitter intill Maxwells ekvationer och bär namnet Lorentz kraft , även om Maxwell härledde det när Lorentz fortfarande var en ung pojke.

Skillnaden mellan B- och H -vektorerna kan spåras tillbaka till Maxwells papper från 1855 med titeln On Faraday's Lines of Force som lästes upp för Cambridge Philosophical Society . Uppsatsen presenterade en förenklad modell av Faradays arbete och hur de två fenomenen hängde ihop. Han reducerade all aktuell kunskap till en sammanlänkad uppsättning differentialekvationer .

Figur av Maxwells molekylära virvelmodell. För ett enhetligt magnetfält pekar fältlinjerna utåt från bildskärmen, vilket kan observeras från de svarta prickarna i mitten av hexagonerna. Virveln för varje hexagonal molekyl roterar moturs. De små gröna cirklarna är medurs roterande partiklar inklämda mellan de molekylära virvlarna.

Det förtydligas senare i hans koncept av ett hav av molekylära virvlar som visas i hans 1861 papper On Physical Lines of Force . Inom det sammanhanget representerade H ren vorticitet (spin), medan B var en viktad virvel som vägdes för virvelhavets densitet. Maxwell ansåg magnetisk permeabilitet µ vara ett mått på virvelhavets densitet. Därav förhållandet,

1. Magnetisk induktionsström orsakar en magnetisk strömtäthet B = μ H var i huvudsak en rotationsanalogi till det linjära elektriska strömförhållandet,
2. Elektrisk konvektionsström J = ρ v där ρ är elektrisk laddningstäthet. B sågs som en slags magnetisk ström av virvlar inriktade i deras axiella plan, där H var virvlarnas omkretshastighet. Med µ som representerar virveldensitet, följer det att produkten av µ med virvel H leder till magnetfältet betecknat som B .

Den elektriska strömekvationen kan ses som en konvektiv ström av elektrisk laddning som involverar linjär rörelse. I analogi är den magnetiska ekvationen en induktiv ström som involverar spinn. Det finns ingen linjär rörelse i den induktiva strömmen längs B -vektorns riktning. Den magnetiska induktiva strömmen representerar kraftlinjer. I synnerhet representerar den linjer med omvänd kvadratisk lagkraft .

Utvidgningen av ovanstående överväganden bekräftar att där B är till H , och där J är till ρ , så följer det nödvändigtvis av Gauss lag och av laddningsekvationen att E är till D ie B är parallell med E , medan H paralleller med D. _

En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet

Huvudartikel: En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet

1865 publicerade Maxwell " A dynamical theory of the electromagnetic field " där han visade att ljus var ett elektromagnetiskt fenomen. Förvirring över termen "Maxwells ekvationer" uppstår ibland eftersom den har använts för en uppsättning av åtta ekvationer som förekom i del III av Maxwells uppsats från 1865 "A dynamical theory of the electromagnetic field", med titeln "Allmänna ekvationer av det elektromagnetiska fältet", och denna förvirring förvärras av skrivningen av sex av dessa åtta ekvationer som tre separata ekvationer (en för var och en av de kartesiska axlarna), vilket resulterar i tjugo ekvationer och tjugo okända.

De åtta ursprungliga Maxwells ekvationer kan skrivas i den moderna formen av Heavisides vektornotation enligt följande:

[ A ] Lagen om totala strömmar	$\mathbf {J} _{\mathrm {tot} }=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t }}$
[ B ] Ekvationen för magnetisk kraft	$\mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A}$
[ C ] Ampères kretslag	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {tot} }$
[ D ] Elektromotorisk kraft skapad av konvektion, induktion och statisk elektricitet. (Detta är i själva verket Lorentz-styrkan )	$\mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} } {\partial t}}-\nabla \phi$
[ E ] Den elektriska elasticitetsekvationen	$\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon }}\mathbf {D}$
[ F ] Ohms lag	$\mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J}$
[ G ] Gauss lag	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$
[ H ] Kontinuitetsekvation	$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ eller $\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {tot} }=0$

Notation

H är magnetiseringsfältet , som Maxwell kallade den magnetiska intensiteten .

J är strömtätheten (där J _tot är den totala strömmen inklusive förskjutningsström).

D är förskjutningsfältet (kallat den elektriska förskjutningen av Maxwell).

ρ är den fria laddningstätheten (kallad mängden fri elektricitet av Maxwell).

A är den magnetiska potentialen (kallad vinkelimpuls av Maxwell).

E kallas för den elektromotoriska kraften av Maxwell. Termen elektromotorisk kraft används numera för spänning, men det framgår av sammanhanget att Maxwells betydelse mer motsvarade den moderna termen elektriskt fält .

φ är den elektriska potentialen (som Maxwell också kallade elektrisk potential ).

σ är den elektriska ledningsförmågan (Maxwell kallas inversen av ledningsförmågan den specifika resistansen , det som nu kallas resistiviteten ).

Ekvation [ D ] , med termen μ v × H , är i själva verket Lorentz-kraften , på samma sätt som ekvation (77) i hans papper från 1861 (se ovan).

När Maxwell härleder den elektromagnetiska vågekvationen i sin uppsats från 1865, använder han ekvation [ D ] för att tillgodose elektromagnetisk induktion snarare än Faradays induktionslag som används i moderna läroböcker. (Faradays lag i sig förekommer inte bland hans ekvationer.) Men Maxwell tappar μ v × H från ekvation [ D ] när han härleder den elektromagnetiska vågekvationen , eftersom han endast betraktar situationen från vilobilden.

"En avhandling om elektricitet och magnetism"

Huvudartikel: A Treatise on Electricity and Magnetism

I A Treatise on Electricity and Magnetism , en avhandling om elektromagnetism från 1873 skriven av James Clerk Maxwell , listas elva allmänna ekvationer av det elektromagnetiska fältet och dessa inkluderar de åtta som är listade i 1865 års tidning.

Relativitet

Huvudartikel: Maxwells ekvationer i krökt rumtid

Se även: Special relativitetshistoria

Maxwells ekvationer var en viktig inspiration för Einsteins utveckling av speciell relativitet. Den kanske viktigaste aspekten var deras förnekande av omedelbar handling på distans . Snarare, enligt dem, fortplantas krafter med ljusets hastighet genom det elektromagnetiska fältet.

Maxwells ursprungliga ekvationer är baserade på idén att ljus färdas genom ett hav av molekylära virvlar som kallas " luminiferous eter ", och att ljusets hastighet måste vara motsvarande referensramen för denna eter. Mätningar utformade för att mäta jordens hastighet genom etern kom dock i konflikt med denna uppfattning.

Ett mer teoretiskt tillvägagångssätt föreslogs av Hendrik Lorentz tillsammans med George FitzGerald och Joseph Larmor . Både Larmor (1897) och Lorentz (1899, 1904) härledde Lorentz-transformationen (så kallad av Henri Poincaré ) som en under vilken Maxwells ekvationer var invarianta. Poincaré (1900) analyserade koordinationen av rörliga klockor genom att utbyta ljussignaler. Han etablerade också den matematiska gruppegenskapen för Lorentz-transformationen (Poincaré 1905). Ibland kallas denna transformation FitzGerald-Lorentz-transformationen eller till och med FitzGerald-Lorentz-Einstein-transformationen.

Albert Einstein avfärdade föreställningen om etern som en onödig sådan, och han drog slutsatsen att Maxwells ekvationer förutspådde förekomsten av en fast ljushastighet, oberoende av observatörens hastighet. Därför använde han Maxwells ekvationer som utgångspunkt för sin speciella relativitetsteori . Därmed slog han fast att FitzGerald-Lorentz-transformationen är giltig för all materia och rymd, och inte bara Maxwells ekvationer. Maxwells ekvationer spelade en nyckelroll i Einsteins banbrytande vetenskapliga artikel om speciell relativitetsteori (1905). Till exempel, i det inledande stycket av sin artikel, började han sin teori med att notera att en beskrivning av en elektrisk ledare som rör sig i förhållande till en magnet måste generera en konsekvent uppsättning fält oavsett om kraften beräknas i viloramen på magneten eller ledarens.

Den allmänna relativitetsteorin har också haft ett nära samband med Maxwells ekvationer. Till exempel, Theodor Kaluza och Oskar Klein på 1920-talet visade att Maxwells ekvationer kunde härledas genom att utöka den allmänna relativitetsteorien till fem fysiska dimensioner . Denna strategi att använda ytterligare dimensioner för att förena olika krafter är fortfarande ett aktivt forskningsområde inom fysik .

Se även

• Klassisk elektromagnetism och speciell relativitet
• Elektromagnetisk teoris historia
• Maxwellianerna

Anteckningar

• Turnbull, Graham, red. (29 oktober 2019). "Maxwells ekvationer" . Ingenjörs- och teknikhistoria Wiki .