Biot–Savart lag

Inom fysik / ekvation av - . det lagen ˈbjoʊsəˈvɑːr ) som , specifikt elektromagnetism / ˈb iːoʊs / , əˈvɑːr en konstant är som / Biot –Savart ( eller en beskriver magnetiska fältet genereras Det relaterar magnetfältet till storleken, riktningen, längden och närheten av den elektriska strömmen. Biot-Savart-lagen är grundläggande för magnetostatik och spelar en roll som liknar den i Coulombs lag inom elektrostatik . När magnetostatik inte gäller bör Biot–Savart-lagen ersättas med Jefimenkos ekvationer . Lagen är giltig i den magnetostatiska approximationen och överensstämmer med både Ampères kretslag och Gauss lag för magnetism . Den är uppkallad efter Jean-Baptiste Biot och Félix Savart , som upptäckte detta förhållande 1820.

Ekvation

Elektriska strömmar (längs en sluten kurva/tråd)

Visas riktningarna för

Id{\boldsymbol {\ell }}

,

\mathbf {{\hat {r}}'}

och värdet på

|\mathbf {r'} |

Biot–Savart-lagen används för att beräkna det resulterande magnetfältet B vid position r i 3D-rymden som genereras av en flexibel ström I (till exempel på grund av en tråd). En jämn (eller stationär) ström är ett kontinuerligt flöde av laddningar som inte förändras med tiden och laddningen varken ackumuleras eller töms vid någon punkt. Lagen är ett fysiskt exempel på en linjeintegral , som utvärderas över vägen C där de elektriska strömmarna flyter (t.ex. tråden). Ekvationen i SI- enheter är

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\ fetstil {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$

₀ där $d{\boldsymbol {\ell }}$ är en vektor längs banan $C$ vars storlek är längden på trådens differentialelement i riktningen för konventionell ström . ${\boldsymbol {\ell }}$ är en punkt på väg $C$ . ${\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}} är$ hela förskjutningsvektorn från trådelementet ( $d{\boldsymbol {\ell }}$ ) vid punkten ${\boldsymbol {\ell }}$ till den punkt där fältet beräknas ( $\mathbf {r}$ ), och μ är den magnetiska konstant . Alternativt:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\ fetstil {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}

där

\mathbf {{\hat {r}}'}

är enhetsvektorn för

\mathbf {r'}

. Symbolerna i fet stil anger vektorkvantiteter .

Integralen är vanligtvis runt en stängd kurva , eftersom stationära elektriska strömmar endast kan flyta runt stängda banor när de är avgränsade. Lagen gäller dock även för oändligt långa ledningar (detta begrepp användes i definitionen av SI-enheten för elektrisk ström – Ampere – fram till 20 maj 2019).

För att tillämpa ekvationen väljs den punkt i rymden där magnetfältet ska beräknas godtyckligt ( ${\displaystyle \mathbf {r} } )$ . Med den punkten fixerad beräknas linjeintegralen över den elektriska strömmens väg för att hitta det totala magnetfältet vid den punkten. Tillämpningen av denna lag bygger implicit på superpositionsprincipen för magnetiska fält, dvs det faktum att magnetfältet är en vektorsumma av fältet som skapas av varje oändligt liten sektion av tråden individuellt.

Betrakta till exempel magnetfältet för en slinga med radien $R$ som bär en ström $I.$ För en punkt ett avstånd $x$ längs slingans mittlinje, är magnetfältsvektorn vid den punkten:

\mathbf {B} (x{\hat {\mathbf {x} }})={\ frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},

där

{\hat {\mathbf {x} }}

är enhetsvektorn längs slingans mittlinje (och slingan antas vara centrerad vid origo). Slingor som den som beskrivs visas i enheter som Helmholtz-spolen , solenoiden och Magsail -rymdfarkostens framdrivningssystem . Beräkning av magnetfältet vid punkter utanför mittlinjen kräver mer komplex matematik som involverar elliptiska integraler som kräver numerisk lösning eller approximationer.

Det finns också en 2D-version av Biot–Savart-ekvationen, som används när källorna är invarianta i en riktning. Generellt sett behöver strömmen inte flyta endast i ett plan vinkelrätt mot den invarianta riktningen och den ges av [ ^{tvivelaktigt – diskutera ] J} $\displaystyle \mathbf {J} }$ ( strömtäthet ). Den resulterande formeln är:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|}}={\frac {\mu _{ 0}}{2\pi }}\int _{C}\ (\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {{\hat {r}}'}

Elektrisk strömtäthet (över hela ledarens volym)

Formuleringarna ovan fungerar bra när strömmen kan uppskattas till att gå genom en oändligt smal tråd. Om ledaren har en viss tjocklek är den korrekta formuleringen av Biot-Savart-lagen (igen i SI- enheter):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J } \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

där $\mathbf {r'}$ är vektorn från dV till observationspunkten $\mathbf {r}$ , $dV$ är volymelementet och $\mathbf {J}$ är strömdensitetsvektorn i den volymen (i SI i enheter av A/m ² ).

I termer av enhetsvektor $\mathbf {{\hat {r}}'}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J } \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

Konstant jämn ström

I specialfallet med en likformig konstant ström I är magnetfältet $\mathbf {B}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol { \ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}

dvs strömmen kan tas ut ur integralen.

Punktladdning vid konstant hastighet

I fallet med en punktladdad partikel q som rör sig med en konstant hastighet v , ger Maxwells ekvationer följande uttryck för det elektriska fältet och magnetfältet:

{\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\ frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin ^ {2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2 }}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf { v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}

där

\mathbf {\hat {r}} '

är enhetsvektorn som pekar från partikelns nuvarande (icke retarderade) position till den punkt där fältet mäts, och θ är vinkel mellan

\mathbf {v}

och

\mathbf {r} '

.

När $v 2 ≪ c 2$ kan det elektriska fältet och magnetfältet approximeras som

\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}' } }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

Dessa ekvationer härleddes först av Oliver Heaviside 1888. Vissa författare kallar ovanstående ekvation för ${\displaystyle \mathbf {B} } "$ Biot–Savart-lagen för en punktladdning" på grund av dess nära likhet med standarden Biot–Savart lag. Men detta språk är missvisande eftersom Biot-Savart-lagen endast gäller för konstanta strömmar och en punktladdning som rör sig i rymden inte utgör en konstant ström.

Magnetsvarsapplikationer

Biot-Savart-lagen kan användas vid beräkning av magnetiska svar även på atomär eller molekylär nivå, t.ex. kemiska avskärmningar eller magnetiska känsligheter , förutsatt att strömtätheten kan erhållas från en kvantmekanisk beräkning eller teori.

Aerodynamiska tillämpningar

Figuren visar hastigheten (

dV

) inducerad vid en punkt P av ett element av virveltråd (

dl

) med styrka

\Gamma

.

Biot-Savart-lagen används också i aerodynamisk teori för att beräkna hastigheten som induceras av virvellinjer .

I den aerodynamiska applikationen är rollerna för virvel och ström omvända i jämförelse med den magnetiska applikationen.

likställdes magnetfältstyrkan H direkt med ren vorticitet (spin), medan B var en viktad virvel som vägdes för virvelhavets densitet. Maxwell ansåg magnetisk permeabilitet μ vara ett mått på virvelhavets densitet. Därav förhållandet,

Magnetisk induktionsström: $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$ var i huvudsak en rotationsanalogi till det linjära elektriska strömförhållandet,
Elektrisk konvektionsström: $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,$ där ρ är elektrisk laddningstäthet.

B sågs som en slags magnetisk ström av virvlar inriktade i deras axiella plan, där H var virvlarnas omkretshastighet.

Den elektriska strömekvationen kan ses som en konvektiv ström av elektrisk laddning som involverar linjär rörelse. I analogi är den magnetiska ekvationen en induktiv ström som involverar spinn. Det finns ingen linjär rörelse i den induktiva strömmen längs B -vektorns riktning. Den magnetiska induktiva strömmen representerar kraftlinjer. I synnerhet representerar den linjer med omvänd kvadratisk lagkraft.

Inom aerodynamik bildar de inducerade luftströmmarna solenoidala ringar runt en virvelaxel. Analogi kan göras att virvelaxeln spelar den roll som elektrisk ström spelar i magnetism . Detta sätter luftströmmarna från aerodynamiken (vätskehastighetsfältet) till motsvarande roll som den magnetiska induktionsvektorn B i elektromagnetism.

I elektromagnetism bildar B -linjerna solenoidala ringar runt källans elektriska ström, medan luftströmmarna (hastigheten) inom aerodynamik bildar solenoidala ringar runt källans virvelaxel.

Därför spelar virveln i elektromagnetism rollen som "effekt", medan virveln i aerodynamik spelar rollen som "orsak". Men när vi tittar på B -linjerna isolerat, ser vi exakt det aerodynamiska scenariot såtillvida att B är virvelaxeln och H är omkretshastigheten som i Maxwells 1861-tidning.

I två dimensioner , för en virvellinje med oändlig längd, ges den inducerade hastigheten vid en punkt av

v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}

där

Γ

är virvelns styrka och r är det vinkelräta avståndet mellan punkten och virvellinjen. Detta liknar det magnetiska fältet som produceras på ett plan av en oändligt lång rak tunn tråd vinkelrät mot planet.

Detta är ett begränsande fall av formeln för virvelsegment med ändlig längd (liknande en ändlig tråd):

v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]

där A och B är vinklarna (förtecknade) mellan linjen och segmentets två ändar.

Biot-Savart-lagen, Ampères kretslag och Gauss lag för magnetism

I en magnetostatisk situation kommer magnetfältet B , beräknat från Biot-Savart-lagen, alltid att uppfylla Gauss lag för magnetism och Ampères lag :

Bevis

Börjar med Biot–Savart-lagen:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J } (\mathbf {l} )\ gånger {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}

Ersätter relationen

{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}} }=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)

och med hjälp av produktregeln för lockar , samt det faktum att J inte är beroende av

\mathbf {r}

, kan denna ekvation skrivas om som

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{ \frac {\mathbf {J} (\mathbf {l} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}

Eftersom divergensen för en krull alltid är noll, etablerar detta Gauss lag för magnetism . Sedan tar vi krullen på båda sidorna, använder formeln för krullen för en krull och igen med det faktum att J inte är beroende av $\mathbf {r}$ , så får vi så småningom resultatet

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} ( \mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)-{\frac {\mu _{0}} {4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf { r} -\mathbf {l} |}}\right)

Slutligen, koppla in relationerna

{\begin{aligned }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{ |\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\höger),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} | }}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )\end{aligned}}

(där

δ

är Dirac delta-funktionen ), genom att använda det faktum att divergensen för J är noll (på grund av antagandet om magnetostatik ), och att utföra en integration av delar , visar sig resultatet vara

\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}

dvs Ampères lag . (På grund av antagandet om magnetostatik ,

{\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0} } ,

så det finns ingen extra förskjutnings aktuell term i Ampères lag.)

I en icke- magnetostatisk situation upphör Biot-Savart-lagen att vara sann (den ersätts av Jefimenkos ekvationer ), medan Gauss' lag för magnetism och Maxwell-Ampère-lagen fortfarande är sanna.

Teoretisk bakgrund

Till en början upptäcktes Biot–Savart-lagen experimentellt, sedan härleddes denna lag teoretiskt på olika sätt. I The Feynman Lectures on Physics betonas till en början likheten mellan uttryck för den elektriska potentialen utanför den statiska fördelningen av laddningar och den magnetiska vektorpotentialen utanför systemet med kontinuerligt fördelade strömmar, och sedan beräknas magnetfältet genom krullen från vektorpotentialen. Ett annat tillvägagångssätt involverar en generell lösning av den inhomogena vågekvationen för vektorpotentialen i fallet med konstanta strömmar. Magnetfältet kan också beräknas som en konsekvens av Lorentz-transformationerna för den elektromagnetiska kraft som verkar från en laddad partikel på en annan partikel. Två andra sätt att härleda Biot-Savart-lagen inkluderar: 1) Lorentz-transformation av de elektromagnetiska tensorkomponenterna från en rörlig referensram, där det bara finns ett elektriskt fält med en viss fördelning av laddningar, till en stationär referensram, i vilken dessa avgifter rör sig. 2) användningen av metoden för retarderade potentialer .

Se även

människor

Elektromagnetism

Darwin Lagrangian

Anteckningar

^ "Biot–Savart lag" . Random House Webster's Unabridged Dictionary .
^ Jackson, John David (1999). Klassisk elektrodynamik (3:e upplagan). New York: Wiley. Kapitel 5. ISBN 0-471-30932-X .
^ ^a ^b Zhan, Marcus (2003). "Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach" . cow.mit.edu . Hämtad 3 juli 2022 . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )
^ Electromagnetism (2nd Edition), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
^ Superpositionsprincipen gäller för de elektriska och magnetiska fälten eftersom de är lösningen på en uppsättning linjära differentialekvationer , nämligen Maxwells ekvationer , där strömmen är en av "källtermerna".
^ "Magnetiskt fält av en strömslinga" .
^ Freeland, RM (2015). "Mathematics of Magsail" . Journal of the British Interplanetary Society . 68 : 306–323 – via bis-space.com.
^ "Fält utanför axeln i en strömslinga" . tiggerntatie.github.io . Hämtad 6 september 2022 . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )
^ ^a ^b Griffiths, David J. (1998). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Prentice Hall. s. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X .
^ Knight, Randall (2017). Fysik för vetenskapsmän och ingenjörer (4:e upplagan). Pearson Higher Ed. sid. 800.
^ "Magnetiskt fält från en rörlig punktladdning" . Arkiverad från originalet 2009-06-19 . Hämtad 2009-09-30 .
^ Se den varnande fotnoten i Griffiths sid. 219 eller diskussionen i Jackson sid. 175–176.
^ Maxwell, JC "On Physical Lines of Force" (PDF) . Wikimedia commons . Hämtad 25 december 2011 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Se Jackson, sidan 178–79 eller Griffiths sid. 222–24. Presentationen i Griffiths är särskilt grundlig, med alla detaljer preciserade.
^ Feynman föreläser om fysik Vol. II kap. 14: Magnetfältet i olika situationer
^ David Tong. Föreläsningar om elektromagnetism. University of Cambridge, del IB och del II Mathematical Tripos (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html .
^ Daniel Zile och James Overdui. Härledning av Biot-Savart-lagen från Coulombs lag och konsekvenser för gravitationen. APS aprilmöte 2014, abstrakt id. D1,033. https://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33 .

Griffiths, David J. (1998). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X .
Feynman, Richard (2005). The Feynman Lectures on Physics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9045-2 .

Vidare läsning

Electricity and Modern Physics (2nd Edition), GAG Bennet, Edward Arnold (UK), 1974, ISBN 0-7131-2459-8
Essential Principles of Physics, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6:e upplagan), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), RG Lerner , GL Trigg, VHC förlag, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

externa länkar

Media relaterade till Biot-Savart-lagen på Wikimedia Commons
MISN-0-125 The Ampère–Laplace–Biot–Savart Law av Orilla McHarris och Peter Signell för Project PHYSNET .

[1] "Biot–Savart lag" . Random House Webster's Unabridged Dictionary .

[2] Jackson, John David (1999). Klassisk elektrodynamik (3:e upplagan). New York: Wiley. Kapitel 5. ISBN 0-471-30932-X .

[:0-3] Zhan, Marcus (2003). "Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach" . cow.mit.edu . Hämtad 3 juli 2022 . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )

[4] Electromagnetism (2nd Edition), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

[5] Superpositionsprincipen gäller för de elektriska och magnetiska fälten eftersom de är lösningen på en uppsättning linjära differentialekvationer , nämligen Maxwells ekvationer , där strömmen är en av "källtermerna".

[6] "Magnetiskt fält av en strömslinga" .

[:14-7] Freeland, RM (2015). "Mathematics of Magsail" . Journal of the British Interplanetary Society . 68 : 306–323 – via bis-space.com.

[8] "Fält utanför axeln i en strömslinga" . tiggerntatie.github.io . Hämtad 6 september 2022 . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )

[Griffiths-9] Griffiths, David J. (1998). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Prentice Hall. s. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X .

[10] Knight, Randall (2017). Fysik för vetenskapsmän och ingenjörer (4:e upplagan). Pearson Higher Ed. sid. 800.

[11] "Magnetiskt fält från en rörlig punktladdning" . Arkiverad från originalet 2009-06-19 . Hämtad 2009-09-30 .

[12] Se den varnande fotnoten i Griffiths sid. 219 eller diskussionen i Jackson sid. 175–176.

[13] Maxwell, JC "On Physical Lines of Force" (PDF) . Wikimedia commons . Hämtad 25 december 2011 .

[GaussAmpereProof-14] Se Jackson, sidan 178–79 eller Griffiths sid. 222–24. Presentationen i Griffiths är särskilt grundlig, med alla detaljer preciserade.

[15] Feynman föreläser om fysik Vol. II kap. 14: Magnetfältet i olika situationer

[16] David Tong. Föreläsningar om elektromagnetism. University of Cambridge, del IB och del II Mathematical Tripos (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html .

[17] Daniel Zile och James Overdui. Härledning av Biot-Savart-lagen från Coulombs lag och konsekvenser för gravitationen. APS aprilmöte 2014, abstrakt id. D1,033. https://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33 .