Klassisk elektromagnetism och speciell relativitet

Teorin om speciell relativitet spelar en viktig roll i den moderna teorin om klassisk elektromagnetism . Den ger formler för hur elektromagnetiska objekt, i synnerhet de elektriska och magnetiska fälten , förändras under en Lorentz-transformation från en tröghetsreferensram till en annan. Den belyser förhållandet mellan elektricitet och magnetism och visar att referensramen avgör om en observation följer elektrostatiska eller magnetiska lagar. Det motiverar en kompakt och bekväm notation för elektromagnetismens lagar, nämligen den "uppenbart kovarianta" tensorformen.

Maxwells ekvationer, när de först angavs i sin fullständiga form 1865, skulle visa sig vara förenliga med speciell relativitetsteori. Dessutom skulle de uppenbara tillfälligheter där samma effekt observerades på grund av olika fysiska fenomen av två olika observatörer visa sig inte vara tillfälliga det minsta av speciell relativitet. Faktum är att hälften av Einsteins första artikel från 1905 om speciell relativitet, " On the Electrodynamics of Moving Bodies", förklarar hur man transformerar Maxwells ekvationer.

Transformation av fälten mellan tröghetsramar

E- och B-fälten

Lorentz boost av en elektrisk laddning. Överst: Laddningen är i vila i ram F, så denna observatör ser ett statiskt elektriskt fält. En observatör i en annan bildruta F′ rör sig med hastigheten v relativt F, och ser laddningen röra sig med hastigheten − v med ett förändrat elektriskt fält E på grund av längdkontraktion och ett magnetfält B på grund av laddningens rörelse. Nederst: Liknande inställning, med laddningen i vila i ram F′.

Denna ekvation tar hänsyn till två tröghetsramar . Den primerade ramen rör sig i förhållande till den oprimade ramen med hastigheten v . Fält definierade i den primerade ramen indikeras med primtal, och fält som definieras i den oprimade ramen saknar primtal. Fältkomponenterna parallella med hastigheten v betecknas med $\mathbf {E} _{\parallel }$ och $\mathbf {B} _{\parallel }$ medan fältkomponenterna är vinkelräta mot v betecknas som $\mathbf {E} _{\perp }$ och $\mathbf {B} _{\perp }$ . I dessa två ramar som rör sig med relativ hastighet v är E - fälten och B -fälten relaterade till:

{\begin{aligned} \mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_ {\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end {Justerat}}

var

\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt { 1-v^{2}/c^{2}}}}

kallas Lorentz - faktorn och c är ljusets hastighet i fritt utrymme . Ekvationerna ovan är i SI . I CGS kan dessa ekvationer härledas genom att ersätta ${\frac {1}{c^{2}}}$ med ${\frac {1}{c}}$ och $v\times B$ med ${\displaystyle {\frac {1}{c}}v\times B} ,$ förutom $\gamma$ . Lorentz-faktorn ( $\gamma$ ) är densamma i båda systemen . De inversa transformationerna är desamma förutom v → − v .

Ett ekvivalent, alternativt uttryck är:

{\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({ \gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left( \mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

där $\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}$ är hastighetsenhetsvektorn . Med tidigare notationer har man faktiskt $(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\ mathbf {E} _{\parallel }$ och $(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v }} =\mathbf {B} _{\parallel }$ .

Komponent för komponent, för relativ rörelse längs x-axeln $\mathbf {v} =(v,0,0)$ , blir detta följande:

{\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left (E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\ höger)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}

Om ett av fälten är noll i en referensram, betyder det inte nödvändigtvis att det är noll i alla andra referensramar. Detta kan ses genom att till exempel göra det oprimade elektriska fältet noll i transformationen till det primade elektriska fältet. I det här fallet, beroende på orienteringen av det magnetiska fältet, kan det primerade systemet se ett elektriskt fält, även om det inte finns något i det oprimade systemet.

Detta betyder inte att två helt olika uppsättningar händelser ses i de två ramarna, utan att samma händelseförlopp beskrivs på två olika sätt (se Rörlig magnet och ledareproblem nedan).

Om en laddningspartikel q rör sig med hastigheten u med avseende på ram S, så är Lorentzkraften i ram S:

\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}

I ram S' är Lorentz-kraften:

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

0 En härledning för transformationen av Lorentzkraften för det speciella fallet u = ges här. En mer allmän kan ses här.

Transformationerna i denna form kan göras mer kompakta genom att introducera den elektromagnetiska tensorn (definierad nedan), som är en kovariant tensor .

D- och H-fälten

För den elektriska förskjutningen D och den magnetiska intensiteten H , med användning av de konstitutiva relationerna och resultatet för c ² :

\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,

ger

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H } '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

Analogt för E och B bildar D och H den elektromagnetiska förskjutningstensorn .

φ- och A-fälten

En alternativ enklare transformation av EM-fältet använder de elektromagnetiska potentialerna - den elektriska potentialen φ och magnetisk potential A :

{\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left( \varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel}-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right )\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}

där $\scriptstyle A_{\parallel }$ är den parallella komponenten av A till riktningen för relativ hastighet mellan ramar v , och $\scriptstyle A_{\bot }$ är den vinkelräta komponenten. Dessa liknar genomskinligt den karakteristiska formen av andra Lorentz-transformationer (som tidsposition och energimomentum), medan transformationerna av E och B ovan är något mer komplicerade. Komponenterna kan samlas ihop som:

{\begin{aligned}\mathbf {A} ' &=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \ cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \ höger)\end{aligned}}

ρ- och J-fälten

Analogt för laddningstätheten ρ och strömtätheten J ,

{\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\g \left(J_{\parallel}-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\ höger)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}

Samla komponenter tillsammans:

{\begin{aligned}\mathbf {J} ' &=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right) \mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\ höger)\end{aligned}}

Icke-relativistiska approximationer

För hastigheter v ≪ c , den relativistiska faktorn γ ≈ 1, vilket ger:

{\begin{aligned}\mathbf {E } '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{ 2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}

så att det inte finns något behov av att skilja mellan de rumsliga och tidsmässiga koordinaterna i Maxwells ekvationer .

Samband mellan elektricitet och magnetism

En del av kraften mellan rörliga laddningar kallar vi den magnetiska kraften. Det är verkligen en aspekt av en elektrisk effekt.

— Richard Feynman

Härleds magnetism från elektrostatik

Den valda referensramen avgör om ett elektromagnetiskt fenomen ses som en effekt av elektrostatik eller magnetism eller en kombination av de två. Författare härleder vanligtvis magnetism från elektrostatik när speciell relativitet och laddningsinvarians beaktas. Feynman Lectures on Physics (vol. 2, kap. 13-6) använder denna metod för att härleda den "magnetiska" kraften på en rörlig laddning bredvid en strömförande tråd. Se även Haskell och Landau.

Fält blandas i olika ramar

Ovanstående transformationsregler visar att det elektriska fältet i en ram bidrar till magnetfältet i en annan ram, och vice versa. Detta beskrivs ofta genom att säga att det elektriska fältet och det magnetiska fältet är två inbördes relaterade aspekter av ett enda föremål, kallat det elektromagnetiska fältet . Hela det elektromagnetiska fältet kan faktiskt representeras i en enda rang-2-tensor som kallas den elektromagnetiska tensorn ; se nedan.

Rörlig magnet och ledare problem

Ett berömt exempel på blandning av elektriska och magnetiska fenomen i olika referensramar kallas "rörliga magnet- och ledareproblem", citerat av Einstein i hans 1905 uppsats om Special Relativity.

Om en ledare rör sig med konstant hastighet genom en stationär magnets fält, kommer virvelströmmar att produceras på grund av en magnetisk kraft på elektronerna i ledaren. I ledarens rastram kommer magneten å andra sidan att röra sig och ledaren stationär. Klassisk elektromagnetisk teori förutspår att exakt samma mikroskopiska virvelströmmar kommer att produceras, men de kommer att bero på en elektrisk kraft.

Kovariant formulering i vakuum

Lagarna och matematiska objekten i klassisk elektromagnetism kan skrivas i en form som är uppenbart samvariant . Här görs detta bara för vakuum (eller för de mikroskopiska Maxwell-ekvationerna, utan att använda makroskopiska beskrivningar av material som elektrisk permittivitet ), och använder SI-enheter .

Det här avsnittet använder Einstein-notation , inklusive Einsteins summeringskonvention . Se även Ricci-kalkyl för en sammanfattning av tensorindexnotationer och höjning och sänkning av index för definition av upphöjda och nedsänkta index, och hur man växlar mellan dem. Minkowskis metriska tensor η här har metrisk signatur (+ − − −).

Fälttensor och 4-ström

Ovanstående relativistiska transformationer antyder att de elektriska och magnetiska fälten är sammankopplade i ett matematiskt objekt med 6 komponenter: en antisymmetrisk andrarangstensor eller en bivector . Detta kallas den elektromagnetiska fälttensorn , vanligtvis skriven som F ^μν . I matrisform:

{\ displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z }&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}

där c ljusets hastighet - i naturliga enheter c = 1.

Det finns ett annat sätt att slå samman de elektriska och magnetiska fälten till en antisymmetrisk tensor, genom att ersätta E / c → B och B → − E / c , för att få den dubbla tensorn G ^μν .

{\ displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y }/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}

I samband med speciell relativitet transformeras båda dessa enligt Lorentz-transformationen enligt

F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }

,

där Λ ^α_ν är Lorentz-transformationstensorn för en förändring från en referensram till en annan. Samma tensor används två gånger i summeringen.

Laddningen och strömtätheten, källorna till fälten, kombineras också till fyrvektorn

J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)

kallas fyrströmmen .

Maxwells ekvationer i tensorform

Med dessa tensorer reducerar Maxwells ekvationer till:

Maxwells ekvationer (kovariansformulering)

${\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\ alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}& =0\end{aligned}}$

där partiella derivator kan skrivas på olika sätt, se 4-gradient . Den första ekvationen som listas ovan motsvarar både Gauss lag (för β = 0) och Ampère-Maxwells lag (för β = 1, 2, 3). Den andra ekvationen motsvarar de två återstående ekvationerna, Gauss lag för magnetism (för β = 0) och Faradays lag (för β = 1, 2, 3).

Dessa tensorekvationer är uppenbart kovarianta , vilket betyder att ekvationerna kan ses vara kovarianta av indexpositionerna. Denna korta form av att skriva Maxwells ekvationer illustrerar en idé som delas bland vissa fysiker, nämligen att fysikens lagar tar en enklare form när de skrivs med tensorer .

Genom att sänka indexen på F ^αβ för att erhålla F _αβ :

F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }

den andra ekvationen kan skrivas i termer av F _αβ som:

{\pha{displaystyle\eapsi \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\ gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^ {\alpha }}}=0}

där $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$ är den kontravarianta Levi-Civita-symbolen . Lägg märke till den cykliska permutationen av index i denna ekvation: ${\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\& \nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}$ .

Ett annat kovariant elektromagnetiskt objekt är den elektromagnetiska spänningsenergitensorn , en kovariant rank-2-tensor som inkluderar Poynting-vektorn , Maxwell-spänningstensorn och elektromagnetisk energitäthet.

4-potential

EM-fälttensorn kan också skrivas

F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,

var

A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y },A_{z}\right)\,,

är fyrpotentialen och

x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)

är fyrapositionen .

Genom att använda 4-potentialen i Lorenz-mätaren kan en alternativ uppenbart kovariansformulering hittas i en enda ekvation (en generalisering av en ekvation som beror på Bernhard Riemann av Arnold Sommerfeld , känd som Riemann–Sommerfeld-ekvationen, eller den kovarianta formen av Maxwells ekvationer):

Maxwells ekvationer (samvariant Lorenz gauge formulering)

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$

där $\Box$ är den d'Alembertian operatorn, eller fyra-laplacian.

Se även

Fotnoter