Historia om variationsprinciper i fysik

En variationsprincip inom fysiken är en alternativ metod för att bestämma tillståndet eller dynamiken i ett fysiskt system, genom att identifiera det som ett extremum (minimum, maximum eller sadelpunkt) för en funktion eller funktion. Den här artikeln beskriver den historiska utvecklingen av sådana principer.

Innan modern tid

Variationsprinciper finns bland tidigare idéer inom lantmäteri och optik . Repsträckarna i det forntida Egypten sträckte upp snörade rep mellan två punkter för att mäta vägen som minimerade avståndet till separation, och Claudius Ptolemaios , i sin Geographia (Bk 1, kap 2), betonade att man måste korrigera för "avvikelser från en rak kurs". "; i det antika Grekland säger Euclid i sin Catoptrica att, för ljusets väg som reflekteras från en spegel, är infallsvinkeln lika med reflektionsvinkeln ; och Hero of Alexandria visade senare att denna väg var den kortaste längden och minsta tiden.

Detta generaliserades till refraktion av Pierre de Fermat , som på 1600-talet förfinade principen till "ljus färdas mellan två givna punkter längs den kortaste tidens väg "; nu känd som principen om minsta tid eller Fermats princip .

Principen för extrem handling

Kredit för formuleringen av principen om minsta handling ges vanligtvis till Pierre Louis Maupertuis , som skrev om det 1744 och 1746, även om den verkliga prioriteringen är mindre tydlig, som diskuteras nedan.

Maupertuis ansåg att "Naturen är sparsam i alla sina handlingar", och tillämpade principen brett: "Rörelsens och vilans lagar härledda från denna princip är exakt desamma som de som observeras i naturen, vi kan beundra tillämpningen av den på alla Djurens rörelse, den vegetativa tillväxten av växter ... är bara dess konsekvenser, och universums skådespel blir så mycket större, så mycket vackrare, desto värdigare för dess författare, när man vet att ett litet antal lagar, mest klokt etablerade, räcker för alla rörelser."

När det gäller fysiken föreslog Maupertuis att den kvantitet som skulle minimeras var produkten av varaktigheten (tiden) av rörelsen inom ett system av "vis viva ", dubbelt vad vi nu kallar systemets kinetiska energi.

Leonhard Euler gav en formulering av handlingsprincipen 1744, i mycket igenkännliga termer, i Additamentum 2 till hans "Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes". Han börjar andra stycket:

"Sitt massa corporis projecti == M , ejusque, dum spatiolum == ds emetitur, celeritas debita altitudini == v ; erit quantitas motus corporis in hoc loco == $M{\sqrt {v}}$ ; quae per ipsum spatiolum ds multiplicata, dabit $M\,ds{\sqrt {v}}$ motum corporis collectivum per spatiolum ds . Iam dico lineam a corpore descriptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit $\int Mds{\sqrt {v}}$ , seu, ob M constans, $\int ds{\sqrt {v}}$ minimum. "

En översättning av detta avsnitt lyder:

"Låt projektilens massa vara M , och låt dess kvadratiska hastighet som är resultatet av dess höjd vara $v$ medan den förflyttas över en sträcka ds . Kroppen kommer att ha ett momentum $M{\sqrt { v}}$ som, när den multipliceras med avståndet ds , ger ${\displaystyle Mds{\sqrt {v}}} ,$ kroppens rörelsemängd integrerat över avståndet ds . Nu hävdar jag att kurvan alltså beskrivs av kroppen som den kurva (från alla andra kurvor som förbinder samma ändpunkter) som minimerar $\int Mds{\sqrt {v}}$ eller, förutsatt att M är konstant, $\int ds{\sqrt {v}}$ ."

Som Euler säger är $\int Mds{\sqrt {v}}$ integralen av momentumet över tillryggalagd sträcka (observera att här betecknar $v$ i motsats till vanlig notation den kvadratiska hastigheten ) som i modern notation är lika med den reducerade åtgärden $\int p\,dq$ . Således gjorde Euler ett likvärdigt och (uppenbarligen) oberoende uttalande av variationsprincipen samma år som Maupertuis, om än något senare. I ganska allmänna termer skrev han att "Eftersom universums struktur är mest perfekt och är ett verk av en mycket vis Skapare, sker ingenting i universum där någon relation mellan maximum och minimum inte uppträder." Euler gjorde dock ingen anspråk på någon prioritet, vilket följande avsnitt visar.

Maupertuis prioritet ifrågasattes 1751 av matematikern Samuel König , som hävdade att den hade uppfunnits av Gottfried Leibniz 1707. Även om den liknar många av Leibniz argument, har principen i sig inte dokumenterats i Leibniz verk. König visade själv en kopia av ett brev från Leibniz från 1707 till Jacob Hermann med principen, men originalbrevet har gått förlorat. I tvistemål anklagades König för förfalskning, och till och med kungen av Preussen gick in i debatten och försvarade Maupertuis, medan Voltaire försvarade König. Euler, snarare än att göra anspråk på prioritet, var en pålitlig försvarare av Maupertuis, och Euler själv åtalade König för förfalskning inför Berlinakademin den 13 april 1752. Påståendena om förfalskning granskades på nytt 150 år senare, och arkivarbete av CI Gerhardt 1898 och W. Kabitz 1913 avslöjade andra kopior av brevet, och tre andra citerade av König, i Bernoullis arkiv.

Ytterligare utvecklingar

Euler fortsatte att skriva om ämnet; i sina Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748) kallade han kvantiteten "ansträngning". Hans uttryck motsvarar vad vi nu skulle kalla potentiell energi , så att hans uttalande om minsta verkan i statik motsvarar principen att ett system av kroppar i vila kommer att anta en konfiguration som minimerar den totala potentiella energin.

Principens fulla betydelse för mekaniken angavs av Joseph Louis Lagrange 1760, även om variationsprincipen inte användes för att härleda rörelseekvationerna förrän nästan 75 år senare, när William Rowan Hamilton 1834 och 1835 tillämpade variationsprincip till funktionen $L=TV$ för att erhålla vad som nu kallas de lagrangska rörelseekvationerna .

Alternativa formuleringar

1842 tog Carl Gustav Jacobi sig an problemet om variationsprincipen fann minima eller andra extrema (t.ex. en sadelspets ) ; det mesta av hans arbete fokuserade på geodetik på tvådimensionella ytor. De första tydliga allmänna uttalandena gavs av Marston Morse på 1920- och 1930-talen, vilket ledde till vad som nu är känt som Morse-teorin . Till exempel visade Morse att antalet konjugerade punkter i en bana var lika med antalet negativa egenvärden i den andra varianten av Lagrangian.

Andra extrema principer för klassisk mekanik har formulerats, såsom Gauss princip om minsta begränsning och dess följd, Hertz princip om minsta krökning .

Efter fält

Elektromagnetism

Åtgärden för elektromagnetism är:

${\mathcal {S}}=-\int {\frac {1}{4\mu _ {0}}}\,\mathrm {d} ^{4}x\,F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta}-\int \mathrm {d} ^{4}x\,j ^{\alpha }A_{\alpha }$

I relativitetsteorin

Einstein -Hilbert-aktionen som ger upphov till vakuumet Einsteins fältekvationer är

${\mathcal {S}}[g]={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\ int _{\mathcal {M}}R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ ,

där $g=\det(g_{\alpha \beta })$ är determinanten för en rumtids Lorentz-metrik och $R$ är den skalära krökningen .

Kvantmekanik

• Summa över möjliga vägar, Feynman ansats. Se Path integral formulering
• Dirac-Frenkels variationsprincip

Tydlig teleologi

Även om det är likvärdigt matematiskt, finns det en viktig filosofisk skillnad mellan differentialekvationerna för rörelse och deras integrerade motsvarighet. Differentialekvationerna är påståenden om kvantiteter lokaliserade till en enda punkt i rymden eller enstaka ögonblick. Till exempel, Newtons andra lag $F=ma$ anger att den momentana kraften $F$ som appliceras på en massa $m$ ger en acceleration $a$ samtidigt omedelbart . Åtgärdsprincipen är däremot inte lokaliserad till en punkt; snarare involverar det integraler över ett tidsintervall och (för fält) utsträckt område av rymden. Dessutom, i den vanliga formuleringen av klassiska handlingsprinciper, är systemets initiala och slutliga tillstånd fixerade, t.ex.

Givet att partikeln börjar vid position $x_{1}$ vid tidpunkten $t_{1}$ och slutar vid position $x_{2}$ vid tidpunkten $t_{2}$ , den fysiska banan som förbinder dessa två slutpunkter är ett extremum av handlingsintegralen.

I synnerhet tycks fastställandet av sluttillståndet ge handlingsprincipen en teleologisk karaktär som har varit kontroversiell historiskt. Denna skenbara teleologi elimineras i den kvantmekaniska versionen av handlingsprincipen.

• ^ PLN de Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles. (1744) Mém. Som. Sc. Paris sid. 417.
• ^ PLN de Maupertuis, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Berlin, sid. 267.
• ^ Leonhard Euler, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Bousquet, Lausanne och Genève. 320 sidor. Omtryckt i Leonhardi Euleri Opera Omnia: Series I vol 24. (1952) C. Cartheodory (red.) Orell Fuessli, Zürich. skannad kopia av fullständig text på The Euler Archive , Dartmouth.
• ^ WR Hamilton, "På en allmän metod i dynamik." Filosofiska transaktioner av det kungliga samhället del I (1834) p.247-308 ; Del II (1835) sid. 95-144 . ( Från samlingen Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers redigerade av David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irland. (2000); även recenserad som On a General Method in Dynamics )
• ^ GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842-1843 . A. Clebsch (red.) (1866); Reimer; Berlin. 290 sidor, tillgänglig online. Œuvres kompletterar volym 8 på Gallica-Math från Gallica Bibliothèque nationale de France .
• ^ Gerhardt CI. (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
• ^ Kabitz W. (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen , 36 .
• ^ Marston Morse (1934). "The Calculus of Variations in the Large", American Mathematical Society Colloquium Publication 18 ; New York.
• ^ Chris Davis. Idle theory (1998)
• ^ Euler, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes: Additamentum II , Ibid.
• ^ JJ O'Connor och EF Robertson, " The Berlin Academy and forgery ", (2003), på MacTutor History of Mathematics-arkivet .
• Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.