Lebesgue punkt

I matematik , givet en lokalt Lebesgue-integrerbar funktion $f$ på $\mathbb {R} ^{k}$ , en punkt $x$ i domänen $f$ är en Lebesgue-poäng om

$\lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{\lambda (B(x,r)}}\int _{B(x,r) }\!|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} y=0.$

Här är $B(x,r)$ en boll centrerad vid $x$ med radien $r>0$ och $\lambda (B(x,r))$ är dess Lebesgue-mått . Lebesgue-punkterna för $f$ är alltså punkter där $f$ inte svänger för mycket, i genomsnittlig mening.

Lebesgues differentieringssats säger att, givet alla ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})} ,$ är nästan varje $x$ en Lebesgue-punkt av $f$ .