Lebesgues nedbrytningssats

Inom matematiken , närmare bestämt i måttteorin , säger Lebesgues nedbrytningssats att för varje två σ-finita tecken mått $\mu$ och $\nu$ på ett mätbart utrymme $(\Omega ,\Sigma ),$ det finns två σ-finita teckenmått $\nu _{0}$ och $\nu _{1}$ så att:

$\nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,$
$\nu _{0}\ll \mu$ (det vill säga $\nu _{0}$ är absolut kontinuerlig med avseende på $\mu$ )
$\nu _{1}\perp \mu$ (det vill säga $\nu _{1}$ och $\mu$ är singular ).

Dessa två mått bestäms unikt av $\mu$ och $\nu .$

Förfining

Lebesgues nedbrytningssats kan förfinas på ett antal sätt.

För det första kan sönderdelningen av den singulära delen av ett vanligt Borelmått på den verkliga linjen förfinas:

\,\nu =\nu _{\mathrm {forts} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _ {\mathrm {pp} }

var

ν _forts är den absolut kontinuerliga delen
ν _sing är den singularis kontinuerliga delen
ν _pp är den rena punktdelen (ett diskret mått) .

För det andra klassificeras absolut kontinuerliga mått av Radon-Nikodyms sats , och diskreta mått är lätta att förstå. Följaktligen (singulära kontinuerliga mått bortsett från), ger Lebesgue-nedbrytning en mycket explicit beskrivning av mått. Cantor -måttet (sannolikhetsmåttet på den reala linjen vars kumulativa fördelningsfunktion är Cantor-funktionen ) är ett exempel på ett singular kontinuerligt mått.

Relaterade begrepp

Nedbrytning av Lévy–Itō

Den analoga ^{[ citat behövs ]} sönderdelningen för en stokastisk process är Lévy–Itō-sönderdelningen : givet en Lévy-process X, kan den sönderdelas som en summa av tre oberoende Lévy-processer $X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}$ där:

$X^{(1)}$ är en Brownsk rörelse med drift, motsvarande den absolut kontinuerliga delen;
$X^{(2)}$ är en sammansatt Poisson-process , motsvarande den rena punktdelen;
$X^{(3)}$ är en kvadratisk integrerbar ren hoppmartingal som nästan säkert har ett räknebart antal hopp på ett ändligt intervall, motsvarande den singulära kontinuerliga delen.

Se även

Nedbrytning av spektrum
Hahns sönderdelningssats och motsvarande Jordans sönderdelningssats

Citat

Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory , Graduate Texts in Mathematics , vol. 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9 , MR 0033869 , Zbl 0283.28001
Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Verklig och abstrakt analys. A Modern Treatment of Theory of Functions of a Real Variable , Graduate Texts in Mathematics, vol. 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1 , MR 0188387 , Zbl 0137.03202
Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis , McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3 , MR 0344043 , Zbl 0278.26001

Den här artikeln innehåller material från Lebesgues nedbrytningssats om PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Erkännande/Dela Lika .