Dirichlet problem

I matematik är ett Dirichlet-problem problemet med att hitta en funktion som löser en specificerad partiell differentialekvation (PDE) i det inre av en given region som tar föreskrivna värden på regionens gräns.

Dirichlet-problemet kan lösas för många PDE, även om det ursprungligen ställdes för Laplaces ekvation . I så fall kan problemet förklaras enligt följande:

Givet en funktion f som har värden överallt på gränsen för en region i R ⁿ , finns det en unik kontinuerlig funktion u två gånger kontinuerligt differentierbar i det inre och kontinuerlig på gränsen, så att u är harmonisk i det inre och u = f på gränsen?

Detta krav kallas Dirichlets gränsvillkor . Huvudfrågan är att bevisa att det finns en lösning; unikhet kan bevisas med maximiprincipen .

Historia

Dirichlet-problemet går tillbaka till George Green , som studerade problemet på allmänna domäner med allmänna gränsvillkor i sin uppsats om tillämpningen av matematisk analys på teorierna om elektricitet och magnetism, publicerad 1828. Han reducerade problemet till ett problem att konstruera vad vi nu kallar Greens funktioner , och hävdade att Greens funktion existerar för vilken domän som helst. Hans metoder var inte rigorösa med dagens mått mätt, men idéerna var mycket inflytelserika i den efterföljande utvecklingen. Nästa steg i studien av Dirichlets problem togs av Karl Friedrich Gauss , William Thomson ( Lord Kelvin ) och Peter Gustav Lejeune Dirichlet , som problemet döptes efter, och lösningen på problemet (åtminstone för bollen) med hjälp av Poisson -kärnan var känd för Dirichlet (att döma av hans papper från 1850 som lämnats in till den preussiska akademin). Lord Kelvin och Dirichlet föreslog en lösning på problemet genom en variationsmetod baserad på minimering av "Dirichlets energi". Enligt Hans Freudenthal (i Dictionary of Scientific Biography , vol. 11) var Bernhard Riemann den första matematikern som löste detta variationsproblem baserat på en metod som han kallade Dirichlets princip . Förekomsten av en unik lösning är mycket rimlig av det "fysiska argumentet": varje laddningsfördelning på gränsen bör, enligt elektrostatikens lagar, bestämma en elektrisk potential som lösning. Men Karl Weierstrass fann ett fel i Riemanns argument, och ett rigoröst bevis på existens hittades först 1900 av David Hilbert , med hjälp av hans direkta metod i variationskalkylen . Det visar sig att förekomsten av en lösning känsligt beror på jämnheten hos gränsen och de föreskrivna uppgifterna.

Allmän lösning

För en domän $D$ som har en tillräckligt jämn gräns $\partial D$ ges den allmänna lösningen på Dirichlet-problemet av

$u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\ partiell G(x,s)}{\partial n}}\,ds,$

där $G(x,y)$ är den grönas funktion för den partiella differentialekvationen, och

${\frac {\partial G(x,s )}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\summa _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x ,s)}{\partial s_{i}}}$

är derivatan av den gröna funktionen längs den inåtriktade enhetens normalvektor ${\widehat {n}}$ . Integrationen utförs på gränsen, med måttet $ds$ . Funktionen $\nu (s)$ ges av den unika lösningen till Fredholms integralekvation av det andra slaget,

$f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)} {\partial n}}\,ds.$

Den gröna funktion som ska användas i ovanstående integral är en som försvinner på gränsen:

$G(x,s)=0$

för $s\in \partial D$ och $x\in D$ . En sådan gröns funktion är vanligtvis summan av det fria fältet gröns funktion och en harmonisk lösning på differentialekvationen.

Existens

Dirichlet-problemet för harmoniska funktioner har alltid en lösning, och den lösningen är unik, när gränsen är tillräckligt jämn och $f(s)$ är kontinuerlig. Mer exakt, det har en lösning när

$\partial D\in C^{1,\alpha }$

för vissa $\alpha \in (0,1)$ , där $C^{1,\alpha }$ anger Hölder-villkoret .

Exempel: enhetsskivan i två dimensioner

I vissa enkla fall kan Dirichlet-problemet lösas explicit. Till exempel, lösningen på Dirichlet-problemet för enhetsskivan i R ² ges av Poissons integralformel .

Om $f$ är en kontinuerlig funktion på gränsen $\partial D$ för den öppna enhetsskivan $D$ , då är lösningen på Dirichlet-problemet $u(z)$ ges av

$u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }) {\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D ,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}$

Lösningen $u$ är kontinuerlig på den slutna enhetsskivan ${\bar {D}}$ och harmonisk på $D.$

Integranden är känd som Poisson-kärnan ; denna lösning följer av Greens funktion i två dimensioner:

$G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |zx|+\gamma (z,x),$

där $\gamma (z,x)$ är harmonisk ( $\Delta _{x}\gamma (z,x)=0$ ) och vald så att $G(z,x)=0$ för $x\in \partial D$ .

Metoder för lösning

För avgränsade domäner kan Dirichlet-problemet lösas med Perron-metoden , som bygger på maximiprincipen för subharmoniska funktioner . Detta tillvägagångssätt beskrivs i många läroböcker. Den är inte väl lämpad för att beskriva mjukhet hos lösningar när gränsen är jämn. En annan klassisk Hilbert- rymdmetod genom Sobolev-utrymmen ger sådan information. Lösningen av Dirichlet-problemet med Sobolev-rymden för plana domäner kan användas för att bevisa den smidiga versionen av Riemanns kartläggningssats . Bell (1992) har beskrivit ett annat tillvägagångssätt för att etablera Riemanns smidiga kartläggningssats, baserat på de reproducerande kärnorna av Szegő och Bergman, och i sin tur använt det för att lösa Dirichlet-problemet. De klassiska metoderna för potentialteorin gör att Dirichlet-problemet kan lösas direkt i termer av integraloperatorer , för vilka standardteorin för kompakt- och Fredholm-operatorer är tillämplig. Samma metoder fungerar lika för Neumann-problemet .

Generaliseringar

Dirichlet-problem är typiska för elliptiska partiella differentialekvationer , och potentialteori , och Laplace-ekvationen i synnerhet. Andra exempel inkluderar den biharmoniska ekvationen och relaterade ekvationer i elasticitetsteorin .

De är en av flera typer av klasser av PDE-problem som definieras av informationen som ges vid gränsen, inklusive Neumann-problem och Cauchy-problem .

Exempel: ekvation av en ändlig sträng fäst vid en rörlig vägg

Betrakta Dirichlet-problemet för vågekvationen som beskriver en sträng fäst mellan väggar med ena änden fäst permanent och den andra rör sig med konstant hastighet, dvs d' Alemberts ekvation på det triangulära området av den kartesiska produkten av rummet och tiden:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u (x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,} u ( , t )$

$0 ,t)=0,}$

$u(\lambda t,t)=0.$

Som man enkelt kan kontrollera genom substitution är lösningen som uppfyller det första villkoret

$u(x,t)=f(tx)-f(x+t).$

Dessutom vill vi

$f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.$

Ersätter

$\tau =(\lambda +1)t,$

vi får tillståndet av självlikhet

$f(\gamma \tau )=f(\tau ),$

var

$\gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.$

Den uppfylls till exempel av den sammansatta funktionen

$\sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x) ]$

med

$\lambda =e^{2\pi }=1^{-i},$

alltså i allmänhet

$f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],$

där $g$ är en periodisk funktion med en periodlogg $\displaystyle \log(\gamma )}$ :

$g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),$

och vi får den allmänna lösningen

$u(x,t)=g[\log(tx)]-g[\log(x+t)].$

Se även

• Lebesgue ryggrad

Anteckningar

• A. Yanushauskas (2001) [1994], "Dirichlet problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   SG Krantz, Dirichlet-problemet . §7.3.3 i Handbook of Complex Variables . Boston, MA: Birkhäuser, sid. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .
• S. Axler , P. Gorkin , K. Voss, Dirichlet-problemet på kvadratiska ytor , Mathematics of Computation 73 (2004), 637–651.
•   Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen (2:a upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4 .
• Gérard, Patrick; Leichtnam, Éric : Ergodiska egenskaper hos egenfunktioner för Dirichlet-problemet. Duke Math. J. 71 (1993), nr. 2, 559-607.
•   John, Fritz (1982), Partiella differentialekvationer , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4:e upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
•   Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Partiella differentialekvationer, med tillägg av Lars Gårding och AN Milgram , Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0049-3 .
•   Agmon, Shmuel (2010), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4910-1
• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press .
•   Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2006), Funktionsteori för en komplex variabel , Graduate Studies in Mathematics , vol. 40 (3:e upplagan), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4 .
•   Taylor, Michael E. (2011), Partiella differentialekvationer I. Basic theory , Applied Mathematical Sciences, vol. 115 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1 .
•   Zimmer, Robert J. (1990), Essential results of functional analysis , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4 .
•   Folland, Gerald B. (1995), Introduktion till partiella differentialekvationer (2:a upplagan), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2 .
•   Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introduktion till teorin om linjära partiella differentialekvationer , Studier i matematik och dess tillämpningar, vol. 14, Elsevier, ISBN 0444864520 .
•   Bell, Steven R. (1992), The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping , Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X .
•   Warner, Frank W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0387908943 .
•   Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of Algebraic Geometry , Wiley Interscience, ISBN 0471050598 .
• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces , Interscience .
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Connections and conformal mapping", Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790

externa länkar

• "Dirichlet problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Problem" . MathWorld .