Kusins ​​teorem

I verklig analys , en gren av matematiken, säger Cousins ​​sats att:

Om det för varje punkt i en sluten region (i moderna termer " sluten och avgränsad ") finns en cirkel med ändlig radie (i modern term, ett " kvarter "), så kan regionen delas in i ett ändligt antal underregioner som t.ex. att varje subregion är inre av en cirkel av en given mängd som har sitt centrum i subregionen.

Detta resultat bevisades ursprungligen av Pierre Cousin, en elev till Henri Poincaré , 1895, och det utökar den ursprungliga Heine–Borel-satsen om kompakthet för godtyckliga omslag av kompakta delmängder av $\mathbb {R} ^{n}$ . Pierre Cousin fick dock ingen kredit. Cousin's theorem tillskrevs allmänt Henri Lebesgue som Borel-Lebesgue-satsen . Lebesgue var medveten om detta resultat 1898 och bevisade det i sin avhandling från 1903.

I moderna termer anges det som:

₀ Låt ${\mathcal {C}}$ vara en fullständig täckning av [ a , b ], det vill säga en samling slutna delintervall av [ a , b ] med egenskapen att för varje x ∈ [ a , b ], finns det en δ >0 så att ${\mathcal {C}}$ innehåller alla delintervall av [ a , b ] som innehåller x och längd mindre än δ . Sedan finns det en partition { I ₁ , I ₂ , …, I _n } av icke-överlappande intervall för [ a , b ], där $I_{i }=[x_{i-1},x_{i}]\in {\mathcal {C}}$ och a = x < x ₁ < ⋯ < x _n = b för alla 1≤ i ≤ n .

Cousins ​​lemma studeras i omvänd matematik där det är en av de första tredje ordningens satser som är svåra att bevisa när det gäller de förståelseaxiom som behövs.

I integrationen Henstock–Kurzweil

Cousin's theorem är instrumentell i studiet av Henstock-Kurzweil integration , och i detta sammanhang är det känt som Cousins ​​lemma eller finhet teorem .

En mätare på $[a,b]$ är en strikt positiv verklig funktion $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$ , medan en taggad partition av $[a,b]$ är en ändlig sekvens

$P=\langle a=x_{0}<t_{1}< x_{1}<t_{2}<\cdots <x_{\ell -1}<t_{\ell }<x_{\ell }=b\rangle$

Givet en mätare $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$ och en taggad partition $P$ av $[a,b]$ , vi säger att $P$ är $\delta$ -fint om vi för alla $j<\ell$ , har $(x_{j-1},x_{j})\subseteq B{\big (}t_{j},\delta ( t_{j}){\big )}$ , där $B(x,r)$ betecknar den öppna kulan med radien $r$ centrerad på $x$ . Kusins ​​lemma heter nu som:

Om $a<b\in \mathbb {R}$ , då varje mätare $\delta :[a,b]\to \mathbb { R} ^{+}$ har en $\delta$ -fin partition.

Bevis för satsen

Cousin's teorem har ett intuitionistiskt bevis som använder den öppna induktionsprincipen, som lyder som följer:

En öppen delmängd $S$ av ett slutet reellt intervall $[a,b]$ sägs vara induktiv om den uppfyller att $[a, r)\subset S$ innebär $[a,r]\subset S$ . Den öppna induktionsprincipen säger att varje induktiv delmängd $S$ av $[a,b]$ måste vara hela mängden.

Bevis med öppen induktion

Låt $S$ vara uppsättningen av punkter $r$ så att det finns en $\delta$ -fintaggad partition på $[a,s]$ , vissa $s\geq r$ . Uppsättningen $S$ är öppen, eftersom den är stängd nedåt och vilken punkt som helst i den ingår i den öppna strålen [ $\displaystyle [a,b]\cap [a,t_{n}+\delta (t_{n}))\subset S}$ för någon associerad partition.

Dessutom är den induktiv. För alla $r$ , anta att $[a,r)\subset S$ . Med det antagandet (och med att antingen $r>a$ eller $r\in [a,a+\delta (a))\ delmängd S$ för att hantera kantfall) har vi en partition med längden $n$ med $x_{n}>\mathrm { max} (a,r-{\tfrac {1}{2}}\delta (r))$ . Sedan antingen $x_{n}>b-(t_{n}+\delta (t_{n})-x_{n})$ eller $x_{n}<b$ . I det första fallet ${\displaystyle b<t_{n}+\delta (t_{n})} ,$ så vi kan bara ersätta $x_{n}$ med $b$ och få en partition av $[a,b]$ som inkluderar $r$ .

Om $x_{n}<b$ , kan vi bilda en partition med längden $n+1$ som inkluderar $r$ . För att visa detta delar vi upp oss i fallen $r>x_{n}$ eller $r<x_{n}+\delta (x_{n) })$ . I det första fallet sätter vi $t_{n+1}=r$ , i det andra sätter vi $t_{n+1}=x_{ n}$ . I båda fallen kan vi sätta ${\displaystyle x_{n+1}=\mathrm {min } (b,t_{n+1}+{\tfrac {1}{2}}\delta (t_{n+1}))>x_{n}} och skaffa$ en giltig partition. Så $[a,r]\subset S$ i alla fall, och $S$ är induktiv.

Genom öppen induktion, $S=[a,b]$ .

Anteckningar

• Hildebrandt, TH (1925). The Borel Theorem and its Generalizations I JC Abbott (Ed.), The Chauvenet Papers: A collection of Prize-Winning Expository Papers in Mathematics. Mathematical Association of America.
• Raman, MJ (1997). Understanding Compactness: A Historical Perspective , Master of Arts-uppsats. University of California, Berkeley. arXiv : 1006.4131 .
• Bartle, RG (2001). A Modern Theory of Integration , Graduate Studies in Mathematics 32 , American Mathematical Society.