Lebesgue ryggrad

I matematik , inom området för potentiell teori , är en Lebesgue-ryggrad eller Lebesgue-törn en typ av uppsättning som används för att diskutera lösningar på Dirichlet-problemet och relaterade problem med potentiell teori. Lebesgue-ryggraden introducerades 1912 av Henri Lebesgue för att visa att Dirichlet-problemet inte alltid har en lösning, särskilt när gränsen har en tillräckligt vass kant som sticker ut i det inre av regionen.

Definition

En typisk Lebesgue-ryggrad i $\mathbb {R} ^{n}$ , för $n\geq 3,$ definieras enligt följande

$S=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0,x_{1}^ {2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq \exp(-1/x_{n}^{2})\}.$

De viktiga egenskaperna hos denna mängd är att den är sammankopplad och vägkopplad i den euklidiska topologin i $\mathbb {R} ^{n}$ och ursprunget är en gränspunkt för mängden, och ändå mängden är tunn vid ursprunget, enligt definitionen i artikeln Fin topologi (potentialteori) .

Observationer

Mängden $S$ är inte stängd i den euklidiska topologin eftersom den inte innehåller ursprunget som är en gränspunkt för ${\displaystyle S} ,$ men mängden är stängd i den fina topologin i $\mathbb {R} ^{n}$ .

Som jämförelse är det inte möjligt i $\mathbb {R} ^{2}$ att konstruera en sådan sammankopplad mängd som är tunn i origo.

•   JL Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart , Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9 .
•   LL Helms (1975). Introduktion till potentialteori . RE Krieger ISBN 0-88275-224-3 .