Lebesgues lemma

För Lebesgues lemma för öppna omslag av kompakta utrymmen i topologi, se Lebesgues tallemma

I matematik är Lebesgues lemma ett viktigt uttalande inom approximationsteorin . Den tillhandahåller en gräns för projektionsfelet, som styr approximationsfelet av ett linjärt delrum baserat på en linjär projektion i förhållande till det optimala felet tillsammans med operatörsnormen för projektionen.

Påstående

Låt $(V, ||\cdot||)$ vara ett normerat vektorrum , $U$ ett delrum till $V$ , och $P$ en linjär projektor på $U.$ Sedan för varje $v$ i $V$ :

\|v-Pv\|\leq (1+\|P\|)\inf _{u\in U}\|vu\|.

Beviset är en enradsapplikation av triangelolikheten : för alla $u$ i $U$ , genom att skriva $v - Pv$ som $(v - u) + (u - Pu) + P (u - v)$ , följer det att

{v-\display style \| |\leq \|vu\|+\|u-Pu\|+\|P(uv)\|\leq (1+\|P\|)\|uv\|}

där den sista olikheten använder det faktum att $u = Pu$ tillsammans med definitionen av operatornormen $|| P ||$ .

Se även

Lebesgue konstant (interpolation)

DeVore, Ronald A. ; Lorentz, George G. (1993). Konstruktiv approximation . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 303. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-50627-6 . MR 1261635 . Zbl 0797.41016 .