Hemma prime

I talteorin är hemprimtal HP ( n ) för ett heltal n större än 1 det primtal som erhålls genom att upprepade gånger faktorisera den ökande sammanlänkningen av primtalsfaktorer inklusive upprepningar. Det m: te mellansteget i processen att bestämma HP( n ) betecknas HPn ( m ). Till exempel, HP(10) = 773, som 10 faktorer som 2×5 ger HP10(1) = 25, 25 faktorer som 5×5 vilket ger HP10(2) = HP25(1) = 55, 55 = 5×11 antyder HP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511, och 511 = 7×73 ger HP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773, ett primtal. Vissa källor använder den alternativa notationen HPn för homeprime, och utelämnar parenteser. Undersökningar av hemmaprimtal utgör en mindre sidofråga i talteorin. Dess frågor har fungerat som testfält för implementering av effektiva algoritmer för faktorisering av sammansatta tal , men ämnet är egentligen ett ämne inom rekreationsmatematik .

Det utestående beräkningsproblemet från och med 2016 är huruvida HP(49) = HP(77) kan beräknas i praktiken. Eftersom varje iteration är större än den föregående fram tills ett primtal uppnås, blir faktoriseringar i allmänhet svårare så länge som ett slut inte nås. Från och med augusti 2016 avser jakten på HP(49) faktoriseringen av en 251-siffrig sammansatt faktor på HP49(119) efter att ett avbrott uppnåddes den 3 december 2014 med beräkningen av HP49(117). Detta följde på faktoriseringen av HP49(110) den 8 september 2012 och av HP49(104) den 11 januari 2011, och tidigare beräkningar som sträckte sig över större delen av ett decennium som i stor utsträckning använde beräkningsresurser. Detaljer om historiken för denna sökning, såväl som sekvenserna som leder till hemmaprimtal för alla andra tal till 100, finns på Patrick De Geests worldofnumbers-webbplats. En wiki som i första hand förknippas med Great Internet Mersenne Prime Search upprätthåller fullständiga kända data till 1000 i bas 10 och har även listor för baserna 2 till 9.

Primtal i HP( n ) är

2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17. 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, ... (sekvens A037274 i OEIS )

Bortsett från de beräkningsproblem som har ägnat så mycket tid åt dem, verkar det som ett absolut bevis på existensen av ett hemprimtal för ett specifikt tal kan innebära dess effektiva beräkning. I rent heuristiska termer har existensen sannolikhet 1 för alla tal, men sådan heuristik gör antaganden om siffror från en mängd olika processer som, även om de sannolikt är korrekta, inte uppfyller den bevisstandard som vanligtvis krävs för matematiska påståenden .

Egenskaper

HP(n) = n för n primtal.

Tidig historia och ytterligare terminologi

Även om det är osannolikt att idén inte skapades flera gånger tidigare, verkar den första referensen i tryck vara en artikel skriven 1990 i en liten och nu nedlagd publikation som heter Recreational and Educational Computation . Samma person som skrev artikeln, Jeffrey Heleen, återvände till ämnet i volymen 1996–7 av Journal of Recreational Mathematics i en artikel med titeln Family Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicing , som inkluderade alla resultat HP( n ) för n till 100 andra än de som fortfarande är olösta. Den inkluderade också en nu föråldrad lista med tresiffriga olösta nummer (de 58 listade har halverats exakt i augusti 2012). Det verkar som om den här artikeln till stor del är ansvarig för att provocera fram försök från andra att lösa fallet med 49 och 77. Artikeln använder termerna dotter och förälder för att beskriva kompositer och de primtal som de leder till, med tal som leder till samma hemprimtal som kallas syskon (även om en är en iteration av en annan), och kallar antalet iterationer som krävs för att nå en förälder, beständigheten av ett nummer under kartan för att få ett hem primtal, antalet liv . Den korta artikeln gör inte mycket annat än att ange ämnets ursprung, definiera termer, ge ett par exempel, nämna maskiner och metoder som användes vid den tiden, och sedan ge tabeller. Det verkar som om herr De Geest är ansvarig för notationen som nu används. OEIS använder också hemlighet som term för antalet tal, inklusive själva primtal, som har ett visst primtal som primtal .

Se även

Anteckningar

^ WraithX (3 december 2014). "HP49(100)..." mersenneforum.org .
^ WraithX (8 september 2012). "HP49(100)..." mersenneforum.org .

Sloane, N.J.A. (red.). "Sekvens A037274 (Hemprimtal: för n >= 2, a(n) = det primtal som slutligen uppnås när du börjar med n, sammanfoga dess primtalsfaktorer (A037276) och upprepa tills ett primtal uppnås (a(n) = -1 om inget primtal nås))" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS.
http://www.worldofnumbers.com/topic1.htm
http://mathworld.wolfram.com/HomePrime.html
Hem Prime Search på Prime Wiki
J. Heleen, Family Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicing, J. Rec. Matematik. , 28 , s. 116-9, 1996-7
J. Heleen, Family Numbers: Mathemagical Black Holes, Recreational and Educational Computing, 5 :5, sid. 6, 1990

[1] WraithX (3 december 2014). "HP49(100)..." mersenneforum.org .

[2] WraithX (8 september 2012). "HP49(100)..." mersenneforum.org .

Primtalsklasser _
Med formeln	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Dubbel Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriell ( $n!\pm1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euklid ( $p n # + 1$ ) Pythagoras ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot 3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot 2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot 2 n - 1$ ) Kubansk ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Efter heltalssekvens	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Skiljeväggar klocka Motzkin
Efter egendom	Wieferich ( par ) Vägg–Sun–Sol Wolstenholme Wilson Tur Lyckligt lottad Ramanujan Pillai Regelbunden Stark Akter Supersingular (elliptisk kurva) Supersingular (månskensteori) Bra Super Higgs Mycket kototient Unik
Basberoende _	Palindromisk Emirp Återförena $(10 n - 1)/9$ Permutable Cirkulär Avkortbar Minimal Delikat Urtida Fullt ångra sig Unik Lycklig Själv Smarandache–Wellin Strobogrammatisk Dihedral tetradisk
Mönster	Tvilling ( $p, p + 2$ ) Bi-twin kedja ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplett ( $p, p + 2 eller p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k -tuppel Kusin ( $p, p + 4$ ) Sexig ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Aritmetisk progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanserad ( $på varandra följande p - n, p, p + n$ )
Efter storlek	Mega (1 000 000+ siffror) Största kända lista
Komplexa tal	Eisenstein prime Gaussisk primtal
Sammansatta siffror	Pseudoprime katalanska Elliptisk Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer–Lucas Stark Carmichael nummer Nästan prime Semiprime Interprime Fördärvlig
Relaterade ämnen	Sannolikt primtal Industriell prime Olaglig prime Formel för primtal Prime gap
Första 60 primtal	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Lista över primtal