Höll grupp

Inom området för modern algebra känd som gruppteori , är Held- gruppen He en sporadisk enkel ordningsgrupp

2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 ² · 7 ³ · 17 = 4030387200

≈ 4 × 10 ⁹ .

Historia

Han är en av de 26 sporadiska grupperna och hittades av Dieter Held ( 1969a , 1969b ) under en undersökning av enkla grupper som innehåller en involution vars centraliserare är isomorf till den hos en involution i Mathieu-gruppen M ₂₄ . En andra sådan grupp är den linjära gruppen L5 (2) _. Held-gruppen är den tredje möjligheten, och dess konstruktion färdigställdes av John McKay och Graham Higman .

Den yttre automorfismgruppen har ordning 2 och Schur-multiplikatorn är trivial.

Framställningar

Den minsta trogna komplexa representationen har dimension 51; det finns två sådana representationer som är dualer av varandra.

Det centraliserar ett element av ordning 7 i Monstergruppen . Som ett resultat spelar primtal 7 en speciell roll i gruppens teori; till exempel är den minsta representationen av den hållna gruppen över något fält den 50-dimensionella representationen över fältet med 7 element, och den verkar naturligt på en vertexoperatoralgebra över fältet med 7 element.

Den minsta permutationsrepresentationen är en rang 5-åtgärd på 2058 poäng med punktstabilisator Sp ₄ (4):2.

Automorfismgruppen He:2 i Held-gruppen He är en undergrupp till Fischer-gruppen Fi ₂₄ .

Generaliserat monstruöst månsken

Conway och Norton föreslog i sin tidning från 1979 att monstruöst månsken inte är begränsat till monstret, utan att liknande fenomen kan hittas för andra grupper. Larissa Queen och andra fann sedan att man kan konstruera expansionerna av många Hauptmoduln från enkla kombinationer av dimensioner av sporadiska grupper. För He är den relevanta McKay-Thompson-serien $T_{7A}(\tau )$ där man kan ställa in konstanttermen a(0) = 10 ( OEIS : A007264 ),

{\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10 \\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta ( 7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{ 2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}

och η ( τ ) är Dedekind eta-funktionen .

Presentation

Det kan definieras i termer av generatorerna a och b och relationer

a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[ a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4} ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.

Maximala undergrupper

Butler (1981) fann de 11 konjugationsklasserna av maximala undergrupper av He enligt följande:

S4 ₍ 4):2
2 ² .L ₃ (4).S ₃
2 ⁶ :3.S ₆
2 ⁶ :3.S ₆
2 ¹⁺⁶ .L ₃ (2)
7 ² :2.L ₂ (7)
3.S ₇
7 ¹⁺² :(3 × S ₃ )
S ₄ × L ₃ (2)
7:3 × L ₃ (2)
5 ² :4A ₄

Butler, Gregory (1981), "The maximum subgroups of the sporadic simple group of Held", Journal of Algebra , 69 (1): 67–81, doi : 10.1016/0021-8693(81)90127-7 , ISSN 0021- 8693 , MR 0613857
Held, D. (1969a), "Några enkla grupper relaterade till M ₂₄ ", i Brauer, Richard; Shah, Chih-Han (red.), Theory of Finite Groups: A Symposium , WA Benjamin
Held, Dieter (1969b), "The simple groups related to M ₂₄ ", Journal of Algebra , 13 (2): 253–296, doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X , MR 0249500
Ryba, AJE (1988), "Calculation of the 7-modular characters of the Held group", Journal of Algebra , 117 (1): 240–255, doi : 10.1016/0021-8693(88)90252-9 , MR 0955602

externa länkar