Nielsen–Schreiers sats

Inom gruppteorin , en gren av matematiken, säger Nielsen–Schreier-satsen att varje undergrupp i en fri grupp i sig själv är fri. Den är uppkallad efter Jakob Nielsen och Otto Schreier .

Uttalande av satsen

En fri grupp kan definieras från en grupppresentation som består av en uppsättning generatorer utan relationer. Det vill säga att varje element är en produkt av någon sekvens av generatorer och deras inverser, men dessa element följer inte några ekvationer förutom de som trivialt följer av gg −1 = 1. $Elementen i$ en fri grupp kan beskrivas som alla möjliga reducerade ord , de strängar av generatorer och deras inverser där ingen generator ligger intill sin egen invers. Två reducerade ord kan multipliceras genom att sammanfoga dem och sedan ta bort alla generator-inversa par som är resultatet av sammanlänkningen.

Nielsen –Schreiers sats säger att om H är en undergrupp av en fri grupp G , så är H själv isomorft till en fri grupp. Det vill säga, det finns en uppsättning S av element som genererar H , utan några icke-triviala relationer mellan elementen i S.

Nielsen –Schreier-formeln , eller Schreier-indexformeln , kvantifierar resultatet i det fall undergruppen har ändligt index: om G är en fri grupp med rang n (fri på n generatorer), och H är en undergrupp av ändligt index [ G : H ] = e , då är H fri från rang $1+e(n{-}1)$ .

Exempel

Låt G vara den fria gruppen med två generatorer $a,b$ , och låt H vara undergruppen som består av alla reducerade ord med jämn längd (produkter av ett jämnt antal bokstäver ${\displaystyle a,b,a^{-1},b^{-1}})$ . Då genereras H av dess sex element ${\displaystyle p=aa,\ q=ab,\ r=ba,\ s=bb,\ t=ab^{-1},\ u=a^{-1}b.} En faktorisering av ett reducerat$ ord i H in i dessa generatorer och deras inverser kan konstrueras helt enkelt genom att ta på varandra följande bokstäverpar i det reducerade ordet. Detta är dock inte en fri presentation av H eftersom de tre sista generatorerna kan skrivas i termer av de tre första som $s =rp^{-1}q,\ t=pr^{-1},\ u=p^{-1}q$ . Snarare genereras H som en fri grupp av de tre elementen $p=aa,\ q=ab,\ r=ba,$ som inte har några relationer bland dem; eller istället av flera andra trippel av de sex generatorerna. Vidare G fri på n = 2 generatorer, H har index e = [ G : H ] = 2 i G , och H är fri på 1 + e ( n –1) = 3 generatorer. Nielsen–Schreier-satsen säger att liksom H kan varje undergrupp av en fri grupp genereras som en fri grupp, och om indexet för H är ändligt, ges dess rang av indexformeln.

Bevis

Den fria gruppen G = π ₁ ( X ) har n = 2 generatorer som motsvarar slingorna a , b från baspunkten P i X . Undergruppen H av ord med jämn längd, med index e = [ G : H ] = 2, motsvarar den täckande grafen Y med två hörn som motsvarar bisatserna H och H' = aH = bH = a ⁻¹ H = b ⁻¹ H , och två lyfta kanter för var och en av de ursprungliga slingkanterna a , b . Att dra ihop en av kanterna på Y ger en homotopi-ekvivalens till en bukett med tre cirklar, så att H = π ₁ ( Y ) är en fri grupp på tre generatorer, till exempel aa , ab , ba .

Ett kort bevis på Nielsen-Schreier-satsen använder den algebraiska topologin för grundläggande grupper och täckande utrymmen . En fri grupp G på en uppsättning generatorer är den grundläggande gruppen av en bukett av cirklar , en topologisk graf X med en enda vertex och med en loop-kant för varje generator. Varje undergrupp H i den fundamentala gruppen är själv den fundamentala gruppen av ett sammanhängande täckande utrymme Y → X. Utrymmet Y är en (möjligen oändlig) topologisk graf, där Schreier-coset-grafen har en vertex för varje coset i G/H . I vilken ansluten topologisk graf som helst är det möjligt att krympa kanterna på ett spännande träd i grafen, vilket ger en bukett av cirklar som har samma fundamentala grupp H . Eftersom H är den grundläggande gruppen i en bukett av cirklar, är den själv fri.

Enkel homologi tillåter beräkningen av rangen H , som är lika med h ₁ ( Y ), det första Betti-talet för det täckande utrymmet, antalet oberoende cykler. För G fri från rang n har grafen X n kanter och 1 vertex; om vi antar att H har ändligt index [ G : H ] = e , har den täckande grafen Y en kanter och e hörn. Det första Betti-talet i en graf är lika med antalet kanter, minus antalet hörn, plus antalet anslutna komponenter; är rangen för H :

h_{1}(Y)\,=\,en-e+1\,=\,1+e(n{-}1).

Detta bevis beror på Reinhold Baer och Friedrich Levi ( 1936 ); det ursprungliga beviset av Schreier bildar Schreier-grafen på ett annat sätt som en kvot av Cayley-grafen för $G$ modulo verkan av $H$ .

Enligt Schreiers undergruppslemma kan en uppsättning generatorer för en fri presentation av $H$ konstrueras från cykler i den täckande grafen som bildas genom att sammanfoga en spännande trädbana från en baspunkt (identitetens coset) till en av coseten, en enkel icke-trädkant, och en omvänd spännande trädbana från kantens andra ändpunkt tillbaka till baspunkten.

Axiomatiska fundament

Även om flera olika bevis för Nielsen-Schreiers sats är kända, beror de alla på valets axiom . I beviset baserat på grundläggande grupper av buketter, till exempel, förekommer valets axiom i skepnad av påståendet att varje sammankopplad graf har ett spännande träd. Användningen av detta axiom är nödvändig, eftersom det finns modeller av Zermelo–Fraenkels mängdteori där valets axiom och Nielsen–Schreiers sats båda är falska. Nielsen–Schreiers sats innebär i sin tur en svagare version av valets axiom, för finita mängder.

Historia

Nielsen-Schreier-satsen är en icke-abelsk analog till ett äldre resultat av Richard Dedekind , att varje undergrupp av en fri abelisk grupp är fri abelisk .

Jakob Nielsen ( 1921 ) bevisade ursprungligen en begränsad form av satsen, och påstod att varje ändligt genererad undergrupp av en fri grupp är fri. Hans bevis innebär att utföra en sekvens av Nielsen-transformationer på undergruppens genereringsmängd som minskar deras längd (som reducerade ord i den fria grupp som de är hämtade från). Otto Schreier bevisade Nielsen-Schreiers sats i dess fulla allmänhet i sin habiliteringsavhandling från 1926 , Die Untergruppen der freien Gruppe, också publicerad 1927 i Abh. matematik. Sem. Hamburg. Univ.

Det topologiska beviset baserat på grundläggande grupper av buketter av cirklar beror på Reinhold Baer och Friedrich Levi ( 1936 ) . Ett annat topologiskt bevis, baserat på Bass-Serre-teorin om grupphandlingar på träd , publicerades av Jean-Pierre Serre ( 1970 ).

Se även

Fundamental sats av cykliska grupper , ett liknande resultat för cykliska grupper som i det oändliga fallet kan ses som ett specialfall av Nielsen–Schreiers sats
Kurosh undergruppssats

Anteckningar

Baer, Reinhold ; Levi, Friedrich (1936), "Freie Produkte und ihre Untergruppen", Compositio Mathematica , 3 : 391–398 .
Fried, Michael D. ; Jarden, Moshe (2008), Fältarithmetic , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3:e upplagan), Springer-Verlag , sid. 70, ISBN 978-3-540-77269-9 , Zbl 1145.12001 .
Howard, Paul E. (1985), "Subgroups of a free group and the axiom of choice", The Journal of Symbolic Logic , 50 (2): 458–467, doi : 10.2307/2274234 , JSTOR 2274234 , MR 0793122 .
Johnson, DL (1980), Ämnen i teorin om grupppresentationer , London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie, vol. 42, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4 .
Johnson, DL (1997), Presentations of Groups , London Mathematical Society studenttexter, vol. 15 (andra upplagan), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58542-2 .
Läuchli, Hans (1962), "Auswahlaxiom in der Algebra", Commentarii Mathematici Helvetici , 37 : 1–18, doi : 10.1007/bf02566957 , hdl : 20.500.11850/131680/13168 1 , 6 7 01 1316801 , 6 7 01 13168 01 , 20.500.11850 . 589 .
Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (1976), Combinatorial Group Theory (2:a reviderade upplagan), Dover Publications .
Nielsen, Jakob (1921), "Om räkning med icke-kommutativa faktorer och dens användning i gruppteorien", Math. Tidsskrift B (på danska), 1921 : 78–94, JFM 48.0123.03 .
Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 148 (4:e upplagan), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 .
Serre, J.-P. (1970), Groupes Discretes , Extrait de I'Annuaire du College de France, Paris .
Serre, J.-P. (1980), Trees , Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9 .
Stillwell, John (1993), Klassisk topologi och kombinatorisk gruppteori , Graduate Texts in Mathematics, vol. 72 (2:a uppl.), Springer-Verlag .