Torsionsgrupp
I gruppteorin är en gren av matematiken , en torsionsgrupp eller en periodisk grupp en grupp där varje element har ändlig ordning . Exponenten för en sådan grupp, om den existerar, är den minsta gemensamma multipeln av elementens ordning.
Till exempel följer det av Lagranges sats att varje finit grupp är periodisk och den har en exponent som delar sin ordning.
Oändliga exempel
Exempel på oändliga periodiska grupper inkluderar den additiva gruppen av ringen av polynom över ett ändligt fält, och kvotgruppen av rationalerna av heltal, såväl som deras direkta summeringar, Prüfer- grupperna . Ett annat exempel är den direkta summan av alla dihedriska grupper . Inget av dessa exempel har en ändlig genereringsmängd. Explicita exempel på ändligt genererade oändliga periodiska grupper konstruerades av Golod, baserat på gemensamt arbete med Shafarevich, se Golod–Shafarevich-satsen , och av Aleshin och Grigorchuk med hjälp av automater . Dessa grupper har oändlig exponent; exempel med finit exponent ges till exempel av Tarski monstergrupper konstruerade av Olshanskii.
Burnsides problem
Burnsides problem är en klassisk fråga som handlar om förhållandet mellan periodiska grupper och ändliga grupper , när endast ändligt genererade grupper beaktas: Styrkar specificering av en exponent ändlighet? Förekomsten av oändliga, ändligt genererade periodiska grupper som i föregående stycke visar att svaret är "nej" för en godtycklig exponent. Även om mycket mer är känt om vilka exponenter som kan förekomma för oändligt ändligt genererade grupper finns det fortfarande några för vilka problemet är öppet.
För vissa klasser av grupper, till exempel linjära grupper , är svaret på Burnsides problem begränsad till klassen positivt.
Matematisk logik
En av de intressanta egenskaperna hos periodiska grupper är att definitionen inte kan formaliseras i termer av första ordningens logik . Detta eftersom det skulle kräva ett axiom för formen
som innehåller en oändlig disjunktion och är därför otillåten: Första ordningens logik tillåter kvantifierare över en typ och kan inte fånga egenskaper eller delmängder av den typen. Det är inte heller möjligt att komma runt denna oändliga disjunktion genom att använda en oändlig uppsättning axiom: kompaktitetsteoremet antyder att ingen uppsättning första ordningens formler kan karakterisera de periodiska grupperna.
Besläktade föreställningar
Torsionsundergruppen i en abelisk grupp A är undergruppen av A som består av alla element som har ändlig ordning. En abelsk torsionsgrupp är en abelisk grupp där varje element har ändlig ordning. En vridningsfri abelisk grupp är en abelisk grupp där identitetselementet är det enda elementet med ändlig ordning.
Se även
- RI Grigorchuk, Grader av tillväxt för ändligt genererade grupper och teorin om invarianta medel. , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Matta. 48:5 (1984), 939–985 (ryska).