Generiskt filter

Inom det matematiska området för mängdteori är ett generiskt filter ett slags objekt som används i teorin om forcering , en teknik som används för många syften, men särskilt för att fastställa oberoendet av vissa påståenden från vissa formella teorier, såsom ZFC . Till exempel, Paul Cohen använde tvång för att fastställa att ZFC, om det är konsekvent, inte kan bevisa kontinuumhypotesen , som säger att det finns exakt alef-ett reella tal . I den samtida omtolkningen av Cohens bevis fortsätter det genom att konstruera ett generiskt filter som kodar mer än $\aleph _{1}$ reals, utan att ändra värdet på $\aleph _{1 }$ .

Formellt, låt P vara en delvis ordnad uppsättning och låt F vara ett filter på P ; det vill säga F är en delmängd av P så att:

1. F är icke-tom
2. Om p , q ∈ P och p ≤ q och p är ett element av F , så är q ett element av F ( F är stängt uppåt )
3. Om p och q är element av F , så finns det ett element r av F så att r ≤ p och r ≤ q ( F är nedåtriktad )

Om D nu är en samling av täta öppna delmängder av P , i topologin vars grundläggande öppna mängder är alla mängder av formen { q | q ≤ p } för särskilt p i P , då sägs F vara D -generisk om F uppfyller alla mängder i D ; det är,

$F\cap E\neq \varnothing ,\,$ för alla E ∈ D.

På liknande sätt, om M är en transitiv modell av ZFC (eller något tillräckligt fragment därav), med P ett element av M , så sägs F vara M -generisk , eller ibland generisk över M , om F möter alla täta öppna delmängder av P som är delar av M .

Se även

• 1-generisk – Fastighetsinnehav för typiska exempel Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål i beräkningsbarhet
• Rasiowa–Sikorski lemma

•   K. Ciesielski (1997). Mängdlära för den arbetande matematikern . London Mathematical Society, Student Texts 39. Cambridge University Press. ISBN 9780521594653 .