Generisk egendom

I matematik kallas egenskaper som gäller för "typiska" exempel generiska egenskaper . Till exempel är en generisk egenskap för en klass av funktioner en som är sann för "nästan alla" av dessa funktioner, som i påståendena "Ett generiskt polynom har inte en rot vid noll" eller "En generisk kvadratmatris är inverterbar ." Som ett annat exempel är en generisk egenskap för ett utrymme en egenskap som håller i "nästan alla" punkter i utrymmet, som i uttalandet, "Om f : M → N är en jämn $funktion mellan jämna grenrör,$ då en generisk punkt av $N$ är inte ett kritiskt värde för $f$ ." (Detta är enligt Sards teorem .)

Det finns många olika föreställningar om "generisk" (vad som menas med "nästan alla") i matematik, med motsvarande dubbla föreställningar om "nästan ingen" ( försumbar mängd ); de två huvudklasserna är:

I måttteorin är en generisk egenskap en som gäller nästan överallt , där det dubbla konceptet är nolluppsättning , vilket betyder "med sannolikhet 0".
Inom topologi och algebraisk geometri är en generisk egenskap en som håller på en tät öppen uppsättning , eller mer allmänt på en restmängd , där det dubbla konceptet är en ingenstans tät uppsättning , eller mer allmänt en mager uppsättning .

Det finns flera naturliga exempel där dessa föreställningar inte är lika. Till exempel är uppsättningen av Liouville-tal generisk i topologisk mening, men har Lebesgue-mått noll.

I måttteori

I måttteorin är en generisk egenskap en som gäller nästan överallt . Det dubbla konceptet är en nollmängd , det vill säga en uppsättning av måttet noll.

Med sannolikhet

I sannolikhet är en generisk egenskap en händelse som inträffar nästan säkert , vilket betyder att den inträffar med sannolikhet 1. Till exempel säger lagen om stora siffror att urvalets medelvärde nästan säkert konvergerar till populationsmedelvärdet. Detta är definitionen i måttteorifallet specialiserat på ett sannolikhetsutrymme.

I diskret matematik

I diskret matematik , använder man termen nästan alla för att betyda kofinit (alla utom ändligt många), cocountable (alla utom countably många), för tillräckligt stora antal, eller, ibland, asymptotiskt nästan säkert . Konceptet är särskilt viktigt vid studiet av slumpmässiga grafer .

I topologi

Inom topologi och algebraisk geometri är en generisk egenskap en egenskap som håller på en tät öppen mängd, eller mer allmänt på en restmängd (en räknebar skärning av täta öppna mängder), med det dubbla konceptet som en sluten ingenstans tät mängd , eller mer allmänt en mager uppsättning (en räknebar förening av ingenstans täta slutna uppsättningar).

Enbart densitet är dock inte tillräcklig för att karakterisera en generisk egenskap. Detta kan ses även i de reella talen , där både de rationella talen och deras komplement, de irrationella talen, är täta. Eftersom det inte är meningsfullt att säga att både en mängd och dess komplement uppvisar typiskt beteende, kan både de rationella och irrationella inte vara exempel på mängder som är tillräckligt stora för att vara typiska. Följaktligen förlitar vi oss på den starkare definitionen ovan som antyder att de irrationella är typiska och de rationella inte.

För tillämpningar, om en egenskap håller på en restuppsättning , kanske den inte håller för varje punkt, men om den störs något kommer i allmänhet att landa en inuti restuppsättningen (ingenstans tätheten av komponenterna i den magra uppsättningen), och dessa är alltså det viktigaste fallet att ta upp i satser och algoritmer.

I funktionsutrymmen

En egenskap är generisk i C ^r om uppsättningen som innehåller den här egenskapen innehåller en återstående delmängd i C ^{r -} topologin . Här är C ^r funktionsrummet vars medlemmar är kontinuerliga funktioner med r kontinuerliga derivator från ett grenrör M till ett grenrör N .

Utrymmet C ^r ( M , N ), av C ^r- mappningar mellan M och N , är ett Baire-utrymme , därför är varje restmängd tät . Denna egenskap hos funktionsutrymmet är det som gör generiska egenskaper typiska .

I algebraisk geometri

Algebraiska varianter

En egenskap hos en irreducerbar algebraisk variant X sägs vara sann generiskt om den gäller förutom på en riktig Zariski-stängd delmängd av X , med andra ord om den håller på en icke-tom Zariski-öppen delmängd. Denna definition överensstämmer med den topologiska ovan, eftersom för irreducerbara algebraiska varianter är alla icke-tomma öppna mängder tät.

Till exempel, med det jakobianska kriteriet för regelbundenhet, är en generisk punkt för en variation över ett fält med karakteristisk noll jämn. (Detta påstående är känt som generisk jämnhet .) Detta är sant eftersom det jakobianska kriteriet kan användas för att hitta ekvationer för de punkter som inte är jämna: De är exakt de punkter där den jakobiska matrisen för en punkt med X inte har full rang . I karakteristisk noll är dessa ekvationer icke-triviala, så de kan inte vara sanna för varje punkt i sorten. Följaktligen är mängden av alla icke-regelbundna punkter av X en riktig Zariski-sluten delmängd av X .

Här är ett annat exempel. Låt f : X → Y vara en vanlig karta mellan två algebraiska varieteter. För varje punkt y i Y , beakta dimensionen av fibern av f över y , det vill säga dim f ⁻¹ ( y ). Generellt sett är detta antal konstant. Det är inte nödvändigtvis konstant överallt. Om, säg, X är uppblåsningen av Y i en punkt och f är den naturliga projektionen, så är den relativa dimensionen av f noll förutom vid punkten som är uppblåst, där den är svag Y - 1.

Vissa egenskaper sägs hålla mycket generiskt . Ofta betyder detta att markfältet är oräkneligt och att egenskapen är sann förutom på en räknebar förening av riktiga Zariski-slutna delmängder (dvs egenskapen håller på en tät G _δ -mängd ). Till exempel förekommer denna uppfattning om mycket generisk när man överväger rationell anknytning . Andra definitioner av mycket generiska kan dock förekomma i andra sammanhang.

Generisk poäng

I algebraisk geometri är en generisk punkt för en algebraisk variation en punkt vars koordinater inte uppfyller någon annan algebraisk relation än de som tillfredsställs av varje punkt i sorten. Till exempel är en generisk punkt i ett affint utrymme över ett fält $k$ en punkt vars koordinater är algebraiskt oberoende över $k$ .

I schemateorin , där punkterna är undersorterna, är en generisk punkt för en sort en punkt vars stängning för Zariski-topologin är hela sorten.

En generisk egenskap är en egenskap hos den generiska punkten. För vilken rimlig egenskap som helst visar det sig att egenskapen är sann generiskt på subvarieteten (i betydelsen att den är sann på en öppen tät delmängd) om och endast om egenskapen är sann vid den generiska punkten. Sådana resultat bevisas ofta med metoderna för gränsvärden för affina system utvecklade i EGA IV 8.

Allmän ståndpunkt

Ett relaterat begrepp inom algebraisk geometri är allmän position , vars exakta betydelse beror på sammanhanget. Till exempel, i det euklidiska planet är tre punkter i den allmänna positionen inte kolinjära . Detta beror på att egenskapen att inte vara kolinjär är en generisk egenskap hos konfigurationsutrymmet för ^tre punkter i R2 .

I beräkningsbarhet

I beräkningsbarhet och algoritmisk slumpmässighet kallas en oändlig sträng av naturliga tal $f\in \omega ^{\omega }$ 1-generisk om, för varje ce-mängd $W \subseteq \omega ^{<\omega }$ , antingen $f$ har ett initialt segment $\sigma$ i $W$ , eller $f$ har ett initialt segment $\sigma$ så att varje tillägg $\tau \succcurlyeq \sigma$ inte finns i W. 1-generics är viktiga i beräkningsbarhet, eftersom många konstruktioner kan förenklas genom att överväga en lämplig 1-generisk. Några nyckelegenskaper är:

En 1-generisk innehåller varje naturligt tal som ett element;
Ingen 1-generisk är beräkningsbar (eller ens begränsad av en beräkningsbar funktion);
Alla 1-generika $f$ är generaliserade låga : $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ .

1-genericitet är kopplat till det topologiska begreppet "generic", enligt följande. Baire space $\omega ^{\omega }$ har en topologi med grundläggande öppna mängder $[\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f \}$ för varje ändlig sträng av naturliga tal $\sigma \in \omega ^{<\omega }$ . Då är ett element $f\in \omega ^{\omega }$ 1-generiskt om och endast om det inte är på gränsen för någon öppen mängd. I synnerhet krävs 1-generika för att möta varje tät öppen uppsättning (även om detta är en strikt svagare egenskap, kallad svagt 1-generisk ).

Genericitetsresultat

Sards sats : Om $f\colon M\to N$ är en jämn funktion mellan jämna grenrör , så är en generisk punkt på N inte ett kritiskt värde på f – kritiska värden på f är en nollmängd i N. _
Jacobianskt kriterium / generisk jämnhet : En generisk punkt för en variation över ett fält med karakteristisk noll är jämn.
Styrbarhet och observerbarhet för linjära tidsinvarianta system är generiska både i topologisk och mätteoretisk mening.

Wiggins, Stephen (2003), Introduktion till tillämpade olinjära dynamiska system och kaos , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 3288522