Maupertuis princip

Inom klassisk mekanik säger Maupertuis princip (uppkallad efter Pierre Louis Maupertuis ) att den väg som följs av ett fysiskt system är den som har minst längd (med en lämplig tolkning av väg och längd ). Det är ett specialfall av den mer allmänt uttalade principen om minsta handling . Med hjälp av variationskalkylen resulterar det i en integral ekvationsformulering av rörelseekvationerna för systemet.

Matematisk formulering

Maupertuis princip säger att den sanna vägen för ett system som beskrivs av $N$ generaliserade koordinater $\mathbf {q} =\left(q_{1} ,q_{2},\ldots ,q_{N}\right)$ mellan två specificerade tillstånd $\mathbf {q} _{1}$ och $\mathbf {q} _{2 }$ är en stationär punkt (dvs. ett extremum (minimum eller maximum) eller en sadelpunkt) för den förkortade åtgärdsfunktionen

$${\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q}$$

där $\mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)$ är konjugerat momenta för de generaliserade koordinaterna, definierade av ekvationen

$$p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot { q}}_{k}}}$$

där $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ är den lagrangiska funktionen för systemet. Med andra ord, varje första ordningens störning av sökvägen resulterar i (högst) andra ordningens ändringar i ${\mathcal {S}}_{0}$ . Observera att den förkortade åtgärden ${\mathcal {S}}_{0}$ är en funktion (dvs. en funktion från ett vektorrum till dess underliggande skalära fält), som i det här fallet tar en funktion ( dvs vägarna mellan de två angivna tillstånden).

Jacobis formulering

För många system är den kinetiska energin $T$ kvadratisk i de generaliserade hastigheterna ${\dot {\mathbf {q} }}$

$$T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\ \mathbf {M} \ {\dot {\mathbf { q} }}^{\intercal }$$

även om masstensorn $\mathbf {M}$ kan vara en komplicerad funktion av de generaliserade koordinaterna $\mathbf {q}$ . För sådana system relaterar en enkel relation den kinetiska energin, det generaliserade momentet och de generaliserade hastigheterna

$$2T=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}$$

förutsatt att den potentiella energin $V(\mathbf {q} )$ inte involverar de generaliserade hastigheterna. Genom att definiera ett normaliserat avstånd eller metrisk $ds$ i utrymmet för generaliserade koordinater

$$ds^{2}=d\mathbf {q} \ \mathbf {M} \ d\mathbf {q^{\intercal }}$$

man kan omedelbart känna igen masstensorn som en metrisk tensor . Den kinetiska energin kan skrivas i masslös form

$$T={\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}$$

eller,

$$2Tdt={\sqrt {2T}}\ ds.$$

Därför kan den förkortade åtgärden skrivas

$${\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=} }\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}$$

eftersom den kinetiska energin $T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )$ är lika med den (konstanta) totala energin $E_{ \text{tot}}$ minus den potentiella energin $V(\mathbf {q} )$ . I synnerhet, om den potentiella energin är en konstant, reduceras Jacobis princip till att minimera väglängden ${\textstyle s=\int ds}$ i utrymmet för de generaliserade koordinaterna, vilket är ekvivalent med Hertz princip om minst krökning .

Jämförelse med Hamiltons princip

Hamiltons princip och Maupertuis princip förväxlas ibland med varandra och båda har kallats principen om minsta handling . De skiljer sig från varandra på tre viktiga sätt:

• deras definition av handlingen ...
  Hamiltons princip använder ${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt} , integralen$ av Lagrangian över tid , varierade mellan två fasta sluttider $t_{1}$ , $t_{2}$ och endpoints $q_{1}$ , $q_ {2}$ . Däremot använder Maupertuis princip den förkortade handlingsintegralen över de generaliserade koordinaterna , varierad längs alla konstanta energibanor som slutar på $\mathbf {q} _{1}$ och $\mathbf {q} _ {2}$ .
• lösningen som de bestämmer...
  Hamiltons princip bestämmer banan $\mathbf {q} (t)$ som en funktion av tiden, medan Maupertuis princip endast bestämmer banans form i de generaliserade koordinaterna. Till exempel bestämmer Maupertuis princip formen på ellipsen på vilken en partikel rör sig under påverkan av en omvänd kvadratisk central kraft som gravitation , men beskriver inte i sig hur partikeln rör sig längs den banan. (Denna tidsparameterisering kan dock bestämmas från själva banan i efterföljande beräkningar med användning av energibevarande.) Däremot specificerar Hamiltons princip direkt rörelsen längs ellipsen som en funktion av tiden.
• ...och begränsningarna för variationen.
  Maupertuis princip kräver att de två ändpunktstillstånden $q_{1}$ och $q_{2}$ ges och att energi bevaras längs varje bana. Hamiltons princip kräver däremot inte energibevarande, men kräver att ändpunktstiderna $t_{1}$ och $t_{2}$ specificeras liksom ändpunktstillstånden $q_{1}$ och $q_{2}$ .

Historia

Maupertuis var den första som publicerade en princip om minsta handling , där han definierade handling som ${\textstyle \int v\,ds} ,$ som skulle minimeras över alla vägar som förbinder två specificerade punkter. Maupertuis tillämpade dock principen endast på ljus, inte materia (se Maupertuis-hänvisningen från 1744 nedan) . Han kom fram till principen genom att betrakta Snells lag för ljusets brytning , som Fermat hade förklarat med Fermats princip , att ljus följer den kortaste tidens väg , inte avståndet. Detta oroade Maupertuis, eftersom han ansåg att tid och avstånd borde vara lika: "varför skulle ljuset föredra den kortaste tidens väg framför avståndets väg?" Följaktligen hävdar Maupertuis utan ytterligare motivering principen om minsta handling som likvärdig men mer grundläggande än Fermats princip , och använder den för att härleda Snells lag . Maupertuis säger specifikt att ljus inte följer samma lagar som materiella föremål.

Några månader senare, långt innan Maupertuis verk dök upp i tryck, definierade Leonhard Euler självständigt handling i sin moderna förkortade form ${\textstyle {\mathcal {S} }_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int mv\,ds\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int p\,dq}$ och applicerade det på en partikels rörelse, men inte på ljus (se Euler-hänvisningen från 1744 nedan) . Euler insåg också att principen bara gällde när hastigheten endast var en funktion av positionen, dvs när den totala energin var bevarad. (Massfaktorn i handlingen och kravet på energihushållning var inte relevanta för Maupertuis, som bara sysslade med ljus.) Euler använde denna princip för att härleda rörelseekvationerna för en partikel i enhetlig rörelse, i en enhetlig och icke- enhetligt kraftfält, och i ett centralt kraftfält. Eulers tillvägagångssätt är helt förenligt med den moderna förståelsen av Maupertuis princip som beskrivs ovan, förutom att han insisterade på att handlingen alltid skulle vara ett minimum, snarare än en stationär punkt.

Två år senare citerar Maupertuis Eulers verk från 1744 som en "vacker tillämpning av min princip på planeternas rörelse" och fortsätter med att tillämpa principen om minsta verkan på hävstångsproblemet i mekanisk jämvikt och på perfekt elastiska och perfekt oelastiska kollisioner ( se 1746 års publikation nedan ). Maupertuis tar alltså äran för att ha uppfattat principen om minsta handling som en allmän princip som är tillämplig på alla fysiska system (inte bara för ljus), medan de historiska bevisen tyder på att Euler var den som gjorde detta intuitiva språng. Noterbart är att Maupertuis definitioner av åtgärden och protokoll för att minimera den i detta dokument är oförenliga med det moderna tillvägagångssätt som beskrivs ovan. Maupertuis publicerade arbete innehåller alltså inte ett enda exempel där han använde Maupertuis princip (som för närvarande förstås).

År 1751 ifrågasattes Maupertuis prioritet för principen om minsta handling i tryck ( Nova Acta Eruditorum i Leipzig) av en gammal bekant, Johann Samuel Koenig , som citerade ett brev från 1707 som påstås ha från Leibniz till Jakob Hermann som beskrev resultat som liknade de som erhölls av Euler 1744.

Maupertuis och andra krävde att Koenig skulle framställa originalet av brevet för att bekräfta att det hade skrivits av Leibniz. Leibniz dog 1716 och Hermann 1733, så ingen av dem kunde gå i god för Koenig. Koenig påstod sig ha brevet kopierat från originalet som ägdes av Samuel Henzi , och ingen aning om var originalet fanns, eftersom Henzi hade avrättats 1749 för att ha organiserat Henzi-konspirationen för att störta den aristokratiska regeringen i Bern . Följaktligen begränsade Koenig sig till att hävda att principen var felaktig.

Det fanns en politisk och metafysisk dimension i tvisten: den Newtonsk-Wolffska kontroversen. Preussiska vetenskapsakademin var då i en kontrovers om Leibniz och Wolffs filosofi. Euler, Fredrik den store, Maupertuis och Voltaire var Newtonianer, medan Koenig var Wolffian.

Följaktligen förklarade Berlinakademin under Eulers ledning att brevet var en förfalskning och att dess president, Maupertuis, kunde fortsätta att hävda prioritet för att ha uppfunnit principen, och Koenig fortsatte att kämpa för Leibniz prioritet.

Därefter blev Voltaire och Fredrik II , kung av Preussen, inblandade i bråket. Voltaire komponerade Diatribe du docteur Akakia ("Doktor Akakias Diatribe") för att satirisera Maupertuis vetenskapliga teorier (inte begränsat till principen om minsta handling). Detta gjorde Frederick mycket arg, som beordrade att alla kopior av broschyren skulle brännas . Därefter lämnade Voltaire Berlin för att aldrig återvända.

Inga framsteg gjordes förrän i början av 1900-talet, då andra oberoende kopior av Leibniz brev upptäcktes.

Se även

• Analytisk mekanik
• Hamiltons princip
• Gauss princip om minsta begränsning (beskriver även Hertz princip om minsta krökning )
• Hamilton–Jacobis ekvation

• Pierre Louis Maupertuis , Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (original 1744 fransk text) ; Överensstämmelse mellan olika naturlagar som verkade oförenliga (engelsk översättning)
• Leonhard Euler , Methodus inveniendi/Additamentum II (original 1744 latinsk text) ; Methodus inveniendi/Bilaga 2 (engelsk översättning)
• Pierre Louis Maupertuis , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (fransk text i original 1746) ; Härledning av lagarna för rörelse och jämvikt från en metafysisk princip ( engelsk översättning)
• Leonhard Euler , Exposé concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (original 1752 fransk text) ; Undersökning av Leibniz brev (engelsk översättning)
• König JS "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
• JJ O'Connor och EF Robertson, " The Berlin Academy and forgery ", (2003), på The MacTutor History of Mathematics-arkivet .
• CI Gerhardt, (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
• W. Kabitz, (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen,363, II – 62 schaften .
•   H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics , 2:a upplagan, Addison Wesley, s. 362–371. ISBN 0-201-02918-9
•     LD Landau och EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. ed., Pergamon Press, s. 140–143. ISBN 0-08-021022-8 (inbunden) och ISBN 0-08-029141-4 (mjukt omslag)
• GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . A. Clebsch (red.) (1866); Reimer; Berlin. 290 sidor, tillgänglig online. Œuvres kompletterar volym 8 på Gallica-Math från Gallica Bibliothèque nationale de France .
• H. Hertz, (1896) Principles of Mechanics , in Miscellaneous Papers , vol. III, Macmillan.
• VV Rumyantsev (2001) [1994], "Hertz's princip om minsta krökning" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press