Fodors lemma

I matematik , särskilt i mängdlära , säger Fodors lemma följande:

Om $\kappa$ är en vanlig , oräknelig kardinal , är $S$ en stationär delmängd av $\kappa$ , och $f:S\rightarrow \kappa$ är regressiv (det vill säga $f(\alpha )<\alpha$ för alla $\alpha \in S$ , $\alpha \neq 0$ ) så finns det några $\gamma$ och några stationära $S_{0}\subseteq S$ så att $f(\alpha )=\gamma$ för valfri $\alpha \in S_{0}$ . I modernt språkbruk är det icke-stationära idealet normalt .

Lemmat bevisades första gången av den ungerske mängdteoretikern Géza Fodor 1956. Det kallas ibland också "The Pressing Down Lemma".

Bevis

Vi kan anta att $0\notin S$ (genom att ta bort 0, om det behövs). Om Fodors lemma är falskt, för varje $\alpha <\kappa$ finns det någon klubbmängd $C_{\alpha }$ så att ${ \displaystyle C_{\alpha }\cap f^{-1}(\alpha )=\emptyset }$ . Låt $C=\Delta _{\alpha <\kappa }C_{\alpha }$ . Klubbseten är stängda under diagonal skärning , så $C$ är också klubba och därför finns det några $\alpha \in S\cap C$ . Sedan $\alpha \in C_{\beta }$ för varje $\beta <\alpha$ , så det kan inte finnas någon $\beta <\alpha$ så att $\alpha \in f^{-1}(\beta )$ , så $f(\alpha )\geq \alpha$ , en motsägelse .

Fodors lemma gäller även för Thomas Jechs begrepp om stationära uppsättningar såväl som för det allmänna begreppet stationära uppsättningar.

Fodors lemma för träd

Ett annat relaterat uttalande, även känt som Fodors lemma (eller Pressing-Down-lemma), är följande:

För varje icke-speciellt träd $T$ och regressiv mappning $f:T\rightarrow T$ (det vill säga $f(t)<t$ , med avseende på ordningen på $T$ , för varje $t\in T$ ), finns det ett icke-speciellt underträd $S\subset T$ på vilket $f$ är konstant.

• G. Fodor, Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Matematik. Szeged , 17 (1956), 139-142 [1] .
• Karel Hrbacek & Thomas Jech, Introduction to Set Theory , 3:e upplagan, kapitel 11, avsnitt 3.
• Mark Howard, Tillämpningar av Fodors Lemma på Vaughts gissningar . Ann. Pure och Appl. Logic 42(1): 1-19 (1989).
• Simon Thomas, Automorphism Tower Problem . PostScript- fil på [2]
• S. Todorcevic, kombinatoriska dikotomier i mängdlära . pdf på [3]

Den här artikeln innehåller material från Fodors lemma på PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .