Deligne–Lusztig teori

Inom matematiken är Deligne-Lusztig-teorin ett sätt att konstruera linjära representationer av ändliga grupper av Lie-typ med hjälp av ℓ-adisk kohomologi med kompakt stöd , introducerat av Pierre Deligne och George Lusztig ( 1976 ).

Lusztig (1985) använde dessa representationer för att hitta alla representationer av alla finita enkla grupper av Lie-typ.

Motivering

Antag att G är en reduktiv grupp definierad över ett ändligt fält , med Frobenius-karta F.

Ian G. Macdonald förmodade att det borde finnas en karta från allmänna positionstecken av F -stabil maximal tori till irreducerbara representationer av $G^{F}$ (de fixerade punkterna för F ). För allmänna linjära grupper var detta redan känt av JA Greens arbete ( 1955 ) . Detta var huvudresultatet bevisat av Pierre Deligne och George Lusztig ; de hittade en virtuell representation för alla tecken i en F -stabil maximal torus, som är irreducerbar (upp till tecken) när karaktären är i allmän position.

När den maximala torusen delas, var dessa representationer välkända och ges genom parabolisk induktion av tecken i torus (förläng tecknet till en Borel-undergrupp , inducera det sedan upp till G ). Representationerna av parabolisk induktion kan konstrueras med hjälp av funktioner på ett utrymme, som kan ses som element i en lämplig nollkohomologigrupp. Deligne och Lusztigs konstruktion är en generalisering av parabolisk induktion till icke-delade tori med användning av högre kohomologigrupper. (Parabolisk induktion kan också göras med tori av G ersatt av Levi-undergrupper av G , och det finns en generalisering av Deligne-Lusztig-teorin till detta fall också.)

Vladimir Drinfeld bevisade att de diskreta serierepresentationerna av SL ₂ ( F _q ) kan hittas i de ℓ-adiska kohomologigrupperna

$H_{c}^{1}(X,\mathbb {Q} _{\ell })$

av den affina kurvan X definierad av

$xy^{q}-yx^{q}=1$ .

Polynomet $xy^{q}-yx^{q}$ är en determinant som används vid konstruktionen av Dickson-invarianten för den allmänna linjära gruppen, och är en invariant av den speciella linjära gruppen .

Konstruktionen av Deligne och Lusztig är en generalisering av detta grundläggande exempel till andra grupper. Den affina kurvan X är generaliserad till en $T^{F}}-$ displaystyle bunt över en "Deligne–Lusztig-variant" där är en maximal torus av G , och istället för att bara använda den första kohomologigruppen använder de en alternerande summan av ℓ-adiska kohomologigrupper med kompakt stöd för att konstruera virtuella representationer.

Deligne-Lusztig-konstruktionen liknar formellt Hermann Weyls konstruktion av representationerna av en kompakt grupp från karaktärerna av en maximal torus. Fallet med kompakta grupper är lättare delvis eftersom det bara finns en konjugationsklass av maximal tori. Borel –Weil–Bott-konstruktionen av representationer av algebraiska grupper med hjälp av koherent kärvkohomologi är också liknande.

För verkliga semisenkla grupper finns det en analog till konstruktionen av Deligne och Lusztig, med hjälp av Zuckerman-funktioner för att konstruera representationer.

Deligne–Lusztig sorter

Konstruktionen av Deligne-Lusztig-tecken använder en familj av extra algebraiska varianter X _T som kallas Deligne-Lusztig-varianter, konstruerade från en reduktiv linjär algebraisk grupp G definierad över ett ändligt fält F _q .

Om B är en Borel-undergrupp av G och T en maximal torus av B så skriver vi

W _{T , B}

för Weyl-gruppen ( normaliserare mod centraliserare )

N _G ( T )/ T

av G med avseende på T , tillsammans med de enkla rötterna som motsvarar B . Om B ₁ är en annan Borel-undergrupp med maximal torus T ₁ så finns det en kanonisk isomorfism från T till T ₁ som identifierar de två Weyl-grupperna. Så vi kan identifiera alla dessa Weyl-grupper, och kalla det 'weyl-gruppen W av G . På samma sätt finns det en kanonisk isomorfism mellan två maximala tori med givet val av positiva rötter , så vi kan identifiera alla dessa och kalla det 'den' maximala torusen T av G.

Genom Bruhat-nedbrytningen

G = BWB ,

undergruppen B _{1 kan T , B} skrivas som konjugatet av B med bw för vissa b ∈ B och w ∈ W (identifierad med W ) där w är unikt bestämt. I detta fall säger vi att B och B ₁ är i relativ position w .

Antag att w är i Weyl-gruppen av G , och skriv X för den jämna projektiva variationen av alla Borel-undergrupper av G . Sorten Deligne -Lusztig X ( w ) består av alla Borel-undergrupper B av G så att B och F ( B ) är i relativ position w [kom ihåg att F är Frobenius-kartan ]. Med andra ord är det den omvända bilden av det G -homogena utrymmet av par av Borel-undergrupper i relativ position w , under Lang isogenin med formeln

g . F ( g ) ⁻¹ .

Till exempel, om w =1 så är X ( w ) G.

Vi låter T ( w ) vara torus T , med den rationella struktur för vilken Frobenius är wF . GF - konjugationsklasserna av ^{F -} stabil maximal tori för G kan identifieras med F -konjugationsklasserna för W , där vi säger w ∈ W är F -konjugerat till element av formen vwF ( v ) ⁻¹ för v ∈ W . Om gruppen G delas , så att F agerar trivialt på W , är detta samma sak som vanlig konjugation, men i allmänhet för icke-delade grupper G , kan F agera på W via en icke-trivial diagramautomorfism. De F -stabila konjugationsklasserna kan identifieras med delar av den icke-abelska Galois-kohomologigruppen av torsorer

$H^{1}(F,W)$ .

Fixa en maximal torus T för G och en Borel-undergrupp B som innehåller den, båda invarianta under Frobenius-kartan F , och skriv U för den unipotenta radikalen av B . Om vi ​​väljer en representativ w ′ för normalisatorn N ( T ) som representerar w , så definierar vi X ′( w ′) till att vara elementen i G / U med F ( u )= uw ′. Detta påverkas fritt av T ( F ), och kvoten är isomorf till X ( T ). Så för varje tecken θ i T ( w ) ^F får vi ett motsvarande lokalt system F _θ på X ( w ). Den virtuella representationen Deligne-Lusztig

R ^θ ( w )

av G ^F definieras av den alternerande summan

$R^{\theta }(w)=\summa _{i}(-1)^{ i}H_{c}^{i}(X(w),F_{\theta })$

av la -adiska kompaktstödda kohomologigrupper av X ( w ) med koefficienter i det la -adiska lokala systemet F _θ .

Om T är en maximal F -invariant torus av G som finns i en Borel-undergrupp B så att B och FB är i relativ position w så betecknas R ^θ ( w ) också med R ^θ _{T ⊂ B} , eller med R ^θ _T som upp för isomorfism beror det inte på valet av B .

Egenskaper hos Deligne–Lusztig-karaktärer

• Karaktären för R ^θ _T beror inte på valet av primtal l ≠ p , och om θ=1 är dess värden rationella heltal.
• Varje irreducerbart tecken i GF förekommer i minst ett tecken R ^{θ (} w ).
• Den inre produkten av R ^θ _T och R ^θ′ _{T ′} är lika med antalet element av W ( T , T ′) ^F som tar θ till θ′. Mängden W ( T , T ′) är mängden element i G som tar T till T ′ under konjugering ^, modulo gruppen TF som verkar på den på det uppenbara sättet (så om T = T ′ är det Weyl-gruppen) . I synnerhet är den inre produkten 0 om w och w ′ inte är F -konjugat. Om θ är i allmän position så R ^θ _T norm 1 och är därför ett irreducerbart tecken fram till tecken. Så detta bekräftar Macdonalds gissningar.
• Representationen R ^θ _T innehåller den triviala representationen om och endast om θ=1 (i vilket fall den triviala representationen inträffar exakt en gång).
• Representationen R ^θ _T har dimension

$U^{F}|}}$

$\dim(R_{T}^{\theta })={\pm |G^{F}| \over |T^{F$

^|| där U ^F är en Sylow p -undergrupp av GF , av ordningen den största potensen av p dividerande | G ^F |.

• Begränsningen av tecknet R ^θ _T till unipotenta element u beror inte på θ och kallas en Grön funktion , betecknad med Q _{. T , G} ( u ) (den Gröna funktionen definieras till 0 på element som inte är unipotenta) Teckenformeln ger karaktären av R ^θ _T i form av gröna funktioner för undergrupper enligt följande:

$R_{T}^{\theta }(x)={ 1 \över |G_{s}^{F}|}\summa _{g\in G^{F},g^{-1}sg\in T}Q_{gTg^{-1},G_{s }}(u)\theta (g^{-1}sg)$

där x = su är Jordan–Chevalley-nedbrytningen av x som produkten av pendling av halvenkla och unipotenta element s och u , och G _s är identitetskomponenten av centraliseraren av s i G . Speciellt teckenvärdet försvinner om inte den halvenkla delen av x är konjugerad under G ^F till något i torus T .

• Sorten Deligne-Lusztig är vanligtvis affin, i synnerhet när egenskapen p är större än Coxeter-talet h för Weyl-gruppen. Om det är affint och tecknet θ är i den allmänna positionen (så att Deligne-Lusztig-tecknet är irreducerbart upp till tecken) är endast en av kohomologigrupperna H ⁱ ( X ( w ), F _θ ) icke-noll (den en med i lika med längden av w ) så denna kohomologigrupp ger en modell för den irreducerbara representationen. I allmänhet är det möjligt för mer än en kohomologigrupp att vara icke-noll, till exempel när θ är 1.

Lusztigs klassificering av irreducerbara karaktärer

Lusztig klassificerade alla irreducibla karaktärer i GF genom att sönderdela en sådan karaktär i en halvenkel karaktär och en unipotent karaktär (av en annan grupp) och separat klassificera de semisenkla och unipotenta karaktärerna ^.

Den dubbla gruppen

Representationerna av GF klassificeras med användning av konjugationsklasser av den ^dubbla gruppen av G. En reduktiv grupp över ett ändligt fält bestämmer ett rotdatum (med val av Weyl-kammare) tillsammans med en verkan av Frobenius-elementet på den. Den dubbla gruppen G ^* för en reduktiv algebraisk grupp G definierad över ett ändligt fält är den med dubbelrotsdatum (och tillhörande Frobenius-verkan). Detta liknar Langlands dubbla grupp (eller L-grupp), förutom här definieras den dubbla gruppen över ett ändligt fält snarare än över de komplexa talen. Den dubbla gruppen har samma rotsystem, förutom att rotsystem av typ B och C byts ut.

De lokala Langlands gissningarna säger (mycket grovt) att representationer av en algebraisk grupp över ett lokalt fält bör vara nära besläktade med konjugationsklasser i Langlands dubbla grupp. Lusztigs klassificering av representationer av reduktiva grupper över ändliga fält kan ses som en verifiering av en analog till denna gissning för ändliga fält (även om Langlands aldrig angav sin gissning för detta fall).

Jordans nedbrytning

I detta avsnitt kommer G att vara en reduktiv grupp med anslutet centrum.

Ett irreducerbart tecken kallas unipotent om det förekommer i någon R ¹ _T , och kallas semisimple om dess medelvärde på vanliga unipotenta element är icke-noll (i vilket fall medelvärdet är 1 eller −1). Om p är ett bra primtal för G (vilket betyder att det inte delar någon av koefficienterna för rötter uttryckt som linjära kombinationer av enkla rötter) så är ett irreducerbart tecken semisenkelt om och bara om dess ordning inte är delbar med p .

En godtycklig irreducerbar karaktär har en "Jordan-nedbrytning": till den kan man associera en halvenkel karaktär (motsvarande några halvenkla element i den dubbla gruppen), och en unipotent representation av centraliseraren av s . Dimensionen av den irreducerbara karaktären är produkten av dimensionerna av dess halvenkla och unipotenta komponenter.

Detta (mer eller mindre) reducerar klassificeringen av irreducerbara tecken till problemet med att hitta de semisenkla och unipotenta tecknen.

Geometrisk konjugation

Två par ( T ,θ), ( T ′, θ′) av en maximal torus T av G fixerad av F och ett tecken θ av TF kallas geometriskt konjugerade om de är konjugerade under något element i G ( k ) ^, där k är den algebraiska stängningen av F _q . Om en irreducerbar representation förekommer i både ^R T _θ ^och R T _{′ θ} ^′ behöver ( T ,θ), ( T ′,θ′) inte vara konjugerade under GF , utan är alltid geometriskt konjugerade. Till exempel, om θ = θ′ = 1 och T och T ′ inte är konjugerade, så förekommer identitetsrepresentationen i båda Deligne–Lusztig-tecken, och motsvarande par ( T ,1), ( T ′,1) är geometriskt konjugerade men inte konjugerat.

⁰ De geometriska konjugationsklasserna av par ( T ,θ) parametriseras av geometriska konjugationsklasser av halvenkla element s i gruppen G ^{* F} av element i den dubbla gruppen G * ^fixerade med F. Två element av G ^{* F} kallas geometriskt konjugerade om de är konjugerade över den algebraiska stängningen av det finita fältet; om mitten av G är kopplat är detta ekvivalent med konjugation i G ^{* F} . Antalet geometriska konjugationsklasser av par ( T ,θ) är | Z ^{0 F} | q ^l där Z är identitetskomponenten i mitten Z av G och l är den halvenkla rangordningen av G .

Klassificering av halvenkla tecken

I detta underavsnitt kommer G att vara en reduktiv grupp med anslutet centrum Z . (Fallet när centret inte är anslutet har några extra komplikationer.)

De semisenkla tecknen i G motsvarar geometriska konjugationsklasser av par ( ^T , θ) (där T är en maximal torusinvariant under F och θ är ett tecken för TF ); faktiskt bland de irreducerbara karaktärerna som förekommer i Deligne–Lusztig-teckenen i en geometrisk konjugationsklass finns det exakt en halvenkel karaktär. Om mitten av G är anslutet finns | Z ^F | q ^l halvenkla tecken. Om κ är en geometrisk konjugationsklass av par ( T ,θ) så ges karaktären av motsvarande semisimpla representation upp till tecken med

$\sum _{(T,\theta )\in \kappa ,{\bmod {G}}^ {F}}{R_{T}^{\theta } \over (R_{T}^{\theta },R_{T}^{\theta })}$

och dess dimension är p′ -delen av indexet för centraliseraren för elementet s i den dubbla gruppen som motsvarar den.

De halvenkla tecknen är (upp till tecken) exakt dualerna av de vanliga tecknen, under Alvis–Curtis dualitet , en dualitetsoperation på generaliserade tecken. En irreducerbar karaktär kallas regelbunden om den förekommer i Gelfand–Graev-representationen GF , som är representationen inducerad från en viss "icke-degenererad" 1-dimensionell karaktär av Sylow p -undergruppen ^. Den är reducerbar, och varje irreducerbar karaktär av GF förekommer högst en gång i den ^. Om κ är en geometrisk konjugationsklass av par ( T ,θ) så ges karaktären av motsvarande reguljära representation av

$\sum _{(T,\theta )\in \kappa ,{\bmod { G}}^{F}}{\epsilon _{G}\epsilon _{T}R_{T}^{\theta } \over (R_{T}^{\theta},R_{T}^{\ theta })}$

och dess dimension är p′ -delen av centraliserarens index för elementet s i den dubbla gruppen motsvarande den gånger p -delen av centraliserarens ordning.

Klassificering av unipotenta tecken

Huvudartikel: unipotent representation

Dessa kan hittas från de cuspidala unipotenta karaktärerna: de som inte kan erhållas från nedbrytning av paraboliskt inducerade karaktärer av mindre ranggrupper. De unipotenta cuspidal karaktärerna listades av Lusztig med hjälp av ganska komplicerade argument. Antalet av dem beror bara på typen av grupp och inte på det underliggande fältet; och ges enligt följande:

• ingen för grupper av typ A _n ;
• ingen för grupper av typ ² A _n , såvida inte n = s ( s +1)/2–1 för vissa s , i vilket fall det finns en;
• ingen för grupper av typ Bn eller Cn , ₁₀ om inte n = s ( s +1) för vissa s , i vilket fall det finns en (kallad _θ när n = 2) _;
• 2 för Suzuki-grupper av typ ² B2 _;
• ingen för grupper av typ D _n , såvida inte n = s ² för några jämna s , i vilket fall det finns en;
• ingen för grupper av typ ² D _n , såvida inte n = s ² för några udda s , i vilket fall det finns en;
• 2 för grupper av _typ ^3D4 ;
• 2 för grupper av typ E6 _;
• 3 för grupper av typ ² E6 _;
• 2 för grupper av typ E ₇ ;
• 13 för grupper av typ E8 _;
• 7 för grupper av typ F4 _;
• 10 för Ree-grupper av typ ² F ₄ ;
• 4 för grupper av typ G2 _;
• 6 för Ree-grupper av typ ² G ₂ .

De unipotenta karaktärerna kan hittas genom att sönderdela karaktärerna som framkallats från de cuspidala, med hjälp av resultat från Howlett och Lehrer. Antalet unipotenta tecken beror bara på gruppens rotsystem och inte på fältet (eller mitten). Dimensionen av de unipotenta tecknen kan ges av universella polynom i ordningen för markfältet beroende endast på rotsystemet; till exempel har Steinberg-representationen dimensionen q ^r , där r är antalet positiva rötter i rotsystemet.

Lusztig upptäckte att de unipotenta tecknen i en grupp GF (med irreducerbar Weyl-grupp) faller ⁱⁿ i familjer med storlek 4 ⁿ ( n ≥ 0), 8, 21 eller 39. Tecknen i varje familj indexeras av konjugationsklasser av par ( x , _σ ) där x _{är i} en av grupperna Z /2Zn , S3 , S4 , ^S5 respektive , och σ är en representation av dess centraliserare _. (Familjen av storlek 39 förekommer endast för grupper av typ E ₈ , och familjen av storlek 21 förekommer endast för grupper av typ F ₄ .) Familjerna indexeras i sin tur med speciella representationer av Weyl-gruppen, eller motsvarande med 2- sidoceller från Weyl-gruppen. Till exempel har gruppen E8 ( Fq ) 46 familjer av unipotenta tecken _{som motsvarar de 46 speciella representationerna av Weyl- gruppen av} E8 . Det finns 23 familjer med 1 karaktär, 18 familjer med 4 tecken, 4 familjer med 8 tecken och en familj med 39 tecken (som inkluderar de 13 cuspidala unipotenta karaktärerna).

Exempel

Antag att q är en udda primpotens, och G är den algebraiska gruppen SL ₂ . Vi beskriver Deligne–Lusztig-representationerna för gruppen SL ₂ ( F _q ). (Representationsteorin för dessa grupper var välkänd långt före Deligne–Lusztig-teorin.)

De oreducerbara representationerna är:

• Den triviala representationen av dimension 1.
• Steinbergs representation av dimension q
• De ( q − 3)/2 irreducerbara huvudserierepresentationerna av dimension q + 1, tillsammans med 2 representationer av dimension ( q + 1)/2 som kommer från en reducerbar huvudserierepresentation.
• De ( q − 1)/2 irreducerbara diskreta serierepresentationerna av dimension q − 1, tillsammans med 2 representationer av dimension ( q − 1)/2 som kommer från en reducerbar diskret serierepresentation.

Det finns två klasser av tori associerade med de två elementen (eller konjugationsklasserna) i Weyl-gruppen, betecknade med T (1) (cyklisk av ordningen q −1) och T ( w ) (cyklisk av ordningen q + 1). Det icke-triviala elementet i Weyl-gruppen verkar på karaktärerna i dessa tori genom att ändra varje tecken till sin invers. Så Weyl-gruppen fixar ett tecken om och endast om det har ordning 1 eller 2. Med ortogonalitetsformeln R ^θ ( w ) (upp till tecken) irreducerbar om θ inte har ordning 1 eller 2, och en summa av två irreducerbara representationer om den har ordning 1 eller 2.

Deligne-Lusztig-varianten X (1) för den delade torusen är 0-dimensionell med q +1 punkter och kan identifieras med punkterna för 1-dimensionell projektiv rymd definierad över F _q . Representationerna R ^θ (1) ges enligt följande:

• 1+Steinberg om θ=1
• Summan av de två representationerna av dimension ( q +1)/2 om θ har ordning 2.
• En irreducerbar huvudserierepresentation om θ har ordning större än 2.

Deligne-Lusztig-varianten X ( w ) för den icke-delade torusen är 1-dimensionell och kan identifieras med komplementet av X (1) i 1-dimensionellt projektivt utrymme. Det är alltså mängden punkter ( x : y ) av projektivt utrymme som inte är fixerat av Frobenius-kartan ( x : y )→ ( x ^q : y ^q ), med andra ord punkterna med

$xy^{q}-yx^{q}\neq 0$

Drinfelds variation av punkter ( x , y ) av affint utrymme med

$xy^{q}-yx^{q}=1$

mappar till X ( w ) på det uppenbara sättet, och påverkas fritt av gruppen av q +1:e rötter λ av 1 (som kan identifieras med elementen i den icke-delade torus som definieras över F _q ), med λ tar ( x , y ) till (λ x , λ y ). Sorten Deligne Lusztig är kvoten av Drinfelds sort vid denna gruppaktion. Representationerna − R ^θ ( w ) ges enligt följande:

• Steinberg−1 om θ=1
• Summan av de två representationerna av dimension ( q −1)/2 om θ har ordning 2.
• En irreducerbar diskret serierepresentation om θ har ordning större än 2.

De unipotenta representationerna är den triviala representationen och Steinberg-representationen, och de semisenkla representationerna är alla representationer utom Steinberg-representationen. (I det här fallet motsvarar de halvenkla representationerna inte exakt geometriska konjugationsklasser i den dubbla gruppen, eftersom mitten av G inte är ansluten.)

Intersektionskohomologi och karaktärskärvar

Lusztig (1985) ersatte ℓ-adic-kohomologin som användes för att definiera Deligne-Lusztig-representationerna med skärningspunkten ℓ-adic-kohomologi, och introducerade vissa perversa skivor som kallas karaktärskärvor . De representationer som definieras med hjälp av korsningskohomologi är relaterade till de som definieras med vanlig kohomologi av Kazhdan–Lusztig-polynom . De F -invarianta irreducerbara karaktärsskivorna är nära besläktade med de irreducerbara karaktärerna i gruppen GF ^.

• Carter, Roger W. (2006), "A survey of the work of George Lusztig", Nagoya Mathematical Journal , 182 : 1–45, doi : 10.1017/s0027763000026830 .
•   Carter, Roger W. (1993), Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters , Wiley Classics Library, Chichester: Wiley, ISBN 978-0-471-94109-5
• Roger W. Carter (2001) [1994], "Deligne–Lusztig-karaktärer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•     Carter, Roger W. (1995). "Om representationsteorin för de finita grupperna av Lie-typ över ett algebraiskt stängt fält med karakteristisk 0". Reflektioner om International Medical Society of Paraplegia och hantering av paraplegi . Algebra IX . Encyclopaedia Math. Sci. Vol. 77. Berlin: Springer. s. 1–120, 235–239. doi : 10.1007/978-3-662-03235-0_1 . ISBN 978-3-540-57038-7 . MR 1170353 . PMID 1589273 .
•   Digne, Francois; Michel, Jean (1991), Representations of Finite Groups of Lie Type , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-40648-2
•     Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1976), "Representations of reductive groups over finite fields.", Annals of Mathematics , 2, 103 (1): 103–161, doi : 10.2307/1971021 , JSTOR 1971021 , MR 6 1832C2 , 692C 239 , 692C
•   Green, JA (1955), "The characters of the finite general linear group", Transactions of the American Mathematical Society , 80 (2): 402–447, doi : 10.2307/1992997 , JSTOR 1992997 .
•   Lusztig, George (1984), Characters of Reductive Groups over a Finite Field , Annals of Mathematics Studies, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08350-6
•   Lusztig, George (1984), "Intersection cohomology complexes on a reductive group", Inventiones Mathematicae , 75 (2): 205–272, doi : 10.1007/BF01388564 , S2CID 119896922
• Lusztig, George (1987), Introduktion till karaktärskärvar , Proc. Symp. Pure Math., vol. 47, American Mathematical Society , s. 165–179, arXiv : math/0302151
• Lusztig, George (1991), "Intersection cohomology methods in representation theory", Proc. Internat. kongr. Matematik. Kyoto 1990 , vol. I, Springer, s. 155–174
• Lusztig, George (1985), "Character sheaves I", Advances in Mathematics , 56 (3): 193–237, doi : 10.1016/0001-8708(85)90034-9 ; Lusztig, George (1985), "Character sheaves II", Advances in Mathematics , 57 (3): 226–265, doi : 10.1016/0001-8708(85)90064-7 ; Lusztig, George (1985), "Character sheaves III", Advances in Mathematics , 57 (3): 266–315, doi : 10.1016/0001-8708(85)90065-9 ; Lusztig, George (1986), "Character sheaves IV", Advances in Mathematics , 59 (1): 1–63, doi : 10.1016/0001-8708(86)90036-8 ; Lusztig, George (1986), "Character sheaves V", Advances in Mathematics , 61 (2): 103–155, doi : 10.1016/0001-8708(86)90071-X
•    Srinivasan, Bhama (1979), Representationer av ändliga Chevalley-grupper. A survey , Lecture Notes in Mathematics, vol. 764, Berlin-New York: Springer, ISBN 978-3-540-09716-7 , MR 0551499