θ 10

I representationsteorin , en gren av matematiken, är θ ₁₀ en kuspidal unipotent komplex irreducerbar representation av den symplektiska gruppen Sp ₄ över ett ändligt , lokalt eller globalt fält .

Srinivasan (1968) introducerade θ ₁₀ för den symplektiska gruppen Sp ₄ ( F _q ) över ett ändligt fält F _q av ordningen q , och visade att det i detta fall är q ( q – 1) ² /2-dimensionellt. Nedsänkningen 10 i θ ₁₀ är en historisk olycka som har fastnat: Srinivasan namngav godtyckligt några av karaktärerna i Sp ₄ ( F _q ) till θ ₁ , θ ₂ , ..., θ ₁₃ , och den tionde i hennes lista händer att vara den kuspidala unipotenta karaktären.

θ ₁₀ är den enda kuspidala unipotenta representationen av Sp ₄ ( F _q ). Det är det enklaste exemplet på en cuspidal unipotent representation av en reduktiv grupp , och också det enklaste exemplet på en degenererad cuspidal representation (en utan en Whittaker-modell ). Allmänna linjära grupper har inga cuspidala unipotenta representationer och inga degenererade cuspidala representationer, så θ ₁₀ uppvisar egenskaper hos generella reduktiva grupper som inte förekommer för allmänna linjära grupper.

Howe & Piatetski-Shapiro (1979) använde representationerna θ ₁₀ över lokala och globala fält i sin konstruktion av motexempel till den generaliserade Ramanujan-förmodan för den symplektiska gruppen. Adams (2004) beskrev representationen θ ₁₀ av Lie-gruppen Sp ₄ ( R ) över det lokala fältet R i detalj.

•    Adams, Jeffrey (2004), Hida, Haruzo; Ramakrishnan, Dinakar; Shahidi, Freydoon (red.), "Theta-10" , Bidrag till automorfa former, geometri och talteori: en volym till ära av Joseph A. Shalika, American Journal of Mathematics , Supplement, Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press: 39–56, ISBN 978-0-8018-7860-2 , MR 2058602
• Deshpande, Tanmay (2008). "En exceptionell representation av Sp (4, F _q )". arXiv : 0804.2722 [ math.RT ].
•    Golfan, ja. Yu. (1978), "En exceptionell representation av Sp(4,F _q )", Funktionsanalys och dess tillämpningar , Institute of Problems in Management, USSR:s vetenskapsakademi. Översatt från Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya, 12 (4): 83–84, doi : 10.1007/BF01076387 , MR 0515634 , S2CID 122223668 .
•    Hur, Roger ; Piatetski-Shapiro, II (1979), "Ett motexempel till den "generaliserade Ramanujan-förmodan" för (kvasi-) splittrade grupper", i Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Automorfa former, representationer och L-funktioner (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Del 1, Proc . Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 315–322, ISBN 978-0-8218-1435-2 , MR 0546605
•    Kim, Ju-Lee ; Piatetski-Shapiro, Ilya I. (2001), "Quadratic base change of θ ₁₀ ", Israel Journal of Mathematics , 123 : 317–340, doi : 10.1007/BF02784134 , MR 18352CID 91 , S12525871 , S12525803 9
•     Srinivasan, Bhama (1968), "The characters of the finite symplectic group Sp(4,q)", Transactions of the American Mathematical Society , 131 ( 2): 488–525, doi : 10.2307/1994960 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994960 , MR 0220845