Zuckerman-funktionär

Inom matematiken används en Zuckerman-funktion för att konstruera representationer av verkliga reduktiva Lie-grupper från representationer av Levi-undergrupper . De introducerades av Gregg Zuckerman (1978). Bernstein -funktionären är nära besläktad.

Notation och terminologi

G är en sammankopplad reduktiv reell affin algebraisk grupp (för enkelhetens skull; teorin fungerar för mer allmänna grupper), och g är Lie-algebra för G . K är en maximal kompakt undergrupp av G .
L är en Levi-undergrupp av G , centraliseraren för en kompakt ansluten abelsk undergrupp, och * l är Lie-algebra för L .
En representation av K kallas K-finit om varje vektor ingår i en ändlig-dimensionell representation av K . Beteckna med W _K delrummet av K -ändliga vektorer för en representation W av K .
En (g,K)-modul är ett vektorrum med kompatibla aktioner av g och K , på vilken verkan av K är K -ändlig.
R( g , K ) är Hecke-algebra för G av alla fördelningar på G med stöd i K som är vänster och höger K finita. Detta är en ring som inte har en identitet men har en ungefärlig identitet , och de ungefärligen enhetliga R( g , K )-modulerna är desamma som ( g , K ) moduler.

Definition

Zuckerman-funktionen Γ definieras av

\Gamma _{g,L\cap K}^{ g,K}(W)=\hom _{R(g,L\cap K)}(R(g,K),W)_{K}

och Bernstein-funktionen Π definieras av

\Pi _{g,L\cap K}^{g,K}(W)=R(g,K)\otimes _{R(g,L\cap K)}W.

David A. Vogan , representationer av verkliga reduktiva lögngrupper , ISBN 3-7643-3037-6
Anthony W. Knapp , David A. Vogan, Cohomological induction and unitary representations , ISBN 0-691-03756-6 preface review by Dan Barbasch MR 1330919
David A. Vogan, Enhetsrepresentationer av reduktiva lögngrupper. (AM-118) (Annals of Mathematics Studies) ISBN 0-691-08482-3
Gregg J. Zuckerman , Konstruktion av representationer via härledda funktorer , opublicerad föreläsningsserie vid Institute for Advanced Study , 1978.