Alvis-Curtis dualitet

Inom matematik är Alvis -Curtis-dualiteten en dualitetsoperation på karaktärerna i en reduktiv grupp över ett ändligt fält , introducerad av Charles W. Curtis ( 1980 ) och studerad av hans student Dean Alvis ( 1979 ). Kawanaka ( 1981, 1982 ) introducerade en liknande dualitetsoperation för Lie-algebror.

Alvis–Curtis dualitet har ordning 2 och är en isometri på generaliserade tecken.

Carter (1985 , 8.2) diskuterar Alvis–Curtis dualitet i detalj.

Definition

Den dubbla ζ* av ett tecken ζ i en finit grupp G med ett delat BN-par definieras som

$\zeta ^{*}=\sum _{J\subseteq R}(-1)^{\vert J\vert }\zeta _{P_{J}}^{G}$

Här är summan över alla delmängder J av mängden R av enkla rötter av Coxeter-systemet av G . Tecknet ζ
_{P J} är trunkeringen av ζ till den paraboliska undergruppen P _J i delmängden J , givet genom att begränsa ζ till P _J och sedan ta utrymmet för invarianter av den unipotenta radikalen av P _J , och ζ
^G _{P J} är inducerad representation av G. (Trunkeringens funktion är den adjoint funktion för parabolisk induktion .)

Exempel

• Dualen av den triviala karaktären 1 är Steinberg-karaktären .
• Deligne & Lusztig (1983) visade att dualen av en Deligne–Lusztig-karaktär R θ
  ^T _är ε _G ε TR ^θ
  _{. T}
• Dualen av ett kuspidalt tecken χ är (–1) ^|Δ| χ, där Δ är mängden enkla rötter.
• Dualen av Gelfand-Graev-karaktären är karaktären som tar värde | Z ^F | q ^l på de vanliga unipotenta elementen och försvinner någon annanstans.

•    Alvis, Dean (1979), "The duality operation in the character ring of a finite Chevalley group", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 1 (6): 907–911, doi : 10.1090/S0273-0979-1979 -14690-1 , ISSN 0002-9904 , MR 0546315
•    Carter, Roger W. (1985), Finita grupper av Lie-typ. Konjugationsklasser och komplexa karaktärer. , Pure and Applied Mathematics (New York), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-90554-7 , MR 0794307
•    Curtis, Charles W. (1980), "Truncation and duality in the character ring of a finite group of Lie type", Journal of Algebra , 62 (2): 320–332, doi : 10.1016/0021-8693(80)90185 -4 , ISSN 0021-8693 , MR 0563231
•    Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1982), "Duality for representations of a reductive group over a finite field", Journal of Algebra , 74 (1): 284–291, doi : 10.1016/0021-8693(82)90023-0 , ISSN 0021 -8693 , MR 0644236
•    Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1983), "Duality for representations of a reductive group over a finite field. II", Journal of Algebra , 81 (2): 540–545, doi : 10.1016/0021-8693(83)90202-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0700298
•    Kawanaka, Noriaki (1981), "Fourier-transformationer av nilpotent stödda invarianta funktioner på en finit enkel Lie-algebra", Japan Academy. Förfaranden. Series A. Mathematical Sciences , 57 (9): 461–464, doi : 10.3792/pjaa.57.461 , ISSN 0386-2194 , MR 0637555
•     Kawanaka, N. (1982), "Fourier transforms of nilpotently supported invariant functions on a simple Lie algebra over a finite field", Inventiones Mathematicae , 69 (3): 411–435, doi : 10.1007/BF01389363 0100 , ISSN 9363 , IS MR 0679766 , S2CID 119866092