Cotangenskomplex

I matematik är cotangenskomplexet en vanlig generalisering av cotangenskärven , normalbunten och virtuella tangentbunten av en karta över geometriska utrymmen som grenrör eller scheman . Om $f:X\to Y$ är en morfism av geometriska eller algebraiska objekt, kommer motsvarande cotangenskomplex $\mathbf {L} _{X/Y}^{ \bullet }$ kan ses som en universell "linearisering" av den, som tjänar till att styra deformationsteorin för f $\displaystyle f}$ . Det är konstruerat som ett objekt i en viss härledd kategori av skivor på $X$ med hjälp av metoderna för homotopisk algebra .

Begränsade versioner av kotangenskomplex definierades först i olika fall av ett antal författare i början av 1960-talet. I slutet av 1960-talet kom Michel André och Daniel Quillen oberoende av varandra med den korrekta definitionen för en morfism av kommutativa ringar , med hjälp av enkla metoder för att precisera idén om cotangenskomplexet som det ges genom att ta den (icke-abelska) vänsterhärledda funktorn av Kähler differentialer . Luc Illusie globaliserade sedan denna definition till den allmänna situationen av en morfism av ringade topoi , och därigenom införlivade morfismer av ringade utrymmen , scheman och algebraiska utrymmen i teorin.

Motivering

Antag att $X$ och $Y$ är algebraiska varianter och att $f:X\to Y$ är en morfism mellan dem. Cotangenskomplexet av $f$ är en mer universell version av de relativa Kähler-differentialerna $\Omega _{X/Y}$ . Den mest grundläggande motivationen för ett sådant objekt är den exakta sekvensen av Kähler-differentialer associerade med två morfismer. Om $Z$ är en annan sort, och om $g:Y\to Z$ är en annan morfism, så finns det en exakt sekvens

$f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _ {X/Y}\till 0.$

I någon mening är därför relativa Kähler-differentialer en rätt exakt funktion . (Bokstavligen är detta dock inte sant, eftersom kategorin av algebraiska varianter inte är en abelisk kategori , och därför definieras inte rätt exakthet.) Faktum är att före definitionen av cotangenskomplexet fanns det flera definitioner av funktioner som kan utöka sekvensen ytterligare till vänster, såsom Lichtenbaum–Schlessinger-funktionerna $T^{i}$ och imperfektionsmoduler De flesta av dessa motiverades av deformationsteori .

Denna sekvens är exakt till vänster om morfismen $f$ är jämn. Om Ω medgav en först härledd funktor , så skulle exakthet till vänster antyda att den anslutande homomorfismen försvann, och detta skulle säkert vara sant om den först härledda funktorn av f , vad den än var, försvann. Därför är en rimlig spekulation att den första härledda funktionorn för en jämn morfism försvinner. Dessutom, när någon av de funktioner som utökade sekvensen av Kähler-differentialer applicerades på en jämn morfism, försvann även de, vilket antydde att det cotangenta komplexet av en jämn morfism kan vara ekvivalent med Kähler-differentialerna.

En annan naturlig exakt sekvens relaterad till Kählers differentialer är den konormala exakta sekvensen. Om f är en sluten nedsänkning med ideal kärva I , så finns det en exakt sekvens

$I/I^{2}\to f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{ X/Z}\till 0.$

Detta är en förlängning av den exakta sekvensen ovan: Det finns en ny term till vänster, den konormala bunten av f , och de relativa skillnaderna Ω _{X / Y} har försvunnit eftersom en sluten nedsänkning är formellt oförgrenad . Om f är inkluderingen av en jämn undervarietet, är denna sekvens en kort exakt sekvens. Detta tyder på att det kotangenta komplexet av införandet av en jämn sort är ekvivalent med den konormala kärven som förskjuts med en term.

Tidigt arbete med cotangenskomplex

Kotangenskomplex dök upp i flera och delvis inkompatibla versioner av ökande allmänning i början av 1960-talet. Den första instansen av de relaterade homologifunktionerna i det begränsade sammanhanget av fältförlängningar dök upp i Cartier (1956). Alexander Grothendieck utvecklade sedan en tidig version av cotangenskomplex 1961 för sin allmänna Riemann-Roch-sats i algebraisk geometri för att få en teori om virtuella tangentbuntar . Detta är versionen som beskrivs av Pierre Berthelot i SGA 6, Exposé VIII. Det gäller bara när f är en utjämningsbar morfism (en som tar hänsyn till en sluten nedsänkning följt av en jämn morfism). I det här fallet ges cotangenskomplexet av f som ett objekt i den härledda kategorin av koherenta skivor på X enligt följande:

• $L_{0}^{X/Y}=i^{*}\Omega _{V/Y}.$
• Om J är idealet för X i V , då $L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*}J.$
• $L_{i}^{X/Y}=0$ för alla andra i.
• Differentialen $L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}$ är tillbakadragningen längs i av inkluderingen av J i struktur sträng ${\mathcal {O}}_{V}$ av V följt av den universella härledningen $d:{\mathcal {O}}_{V}\to \Omega _{V/Y}.$
• Alla andra skillnader är noll.

Denna definition är oberoende av valet av V, och för en utjämningsbar fullständig korsningsmorfism är detta komplex perfekt. Dessutom, om g : Y → Z är en annan utjämningsbar fullständig skärningsmorfism och om ytterligare ett tekniskt villkor är uppfyllt, så finns det en exakt triangel

$\mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y} \to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].$

1963 utvecklade Grothendieck en mer allmän konstruktion som tar bort begränsningen till utjämningsbara morfismer (som också fungerar i andra sammanhang än algebraisk geometri). Men liksom teorin från 1961 producerade detta ett kotangenskomplex av endast längd 2, motsvarande trunkeringen $\tau _{\leq 1}\mathbf {L} _{X/ Y}^{\bullet }$ av hela komplexet som ännu inte var känt vid den tiden. Detta tillvägagångssätt publicerades senare i Grothendieck (1968). Samtidigt i början av 1960-talet introducerades i stort sett liknande teorier oberoende för kommutativa ringar (motsvarande det "lokala" fallet med affina scheman i algebraisk geometri) av Gerstenhaber och Lichtenbaum och Schlessinger . Deras teorier sträckte sig till kotangenta komplex av längd 3, vilket fångar upp mer information.

Definitionen av kotangenskomplexet

Den korrekta definitionen av kotangenskomplexet börjar i den homotopiska miljön . Quillen och André arbetade med de enkla kommutativa ringarna, medan Illusie arbetade mer allmänt med enkla ringade topoi och täckte på så sätt "global" teori om olika typer av geometriska utrymmen. För enkelhetens skull kommer vi endast att överväga fallet med enkla kommutativa ringar. Antag att $A$ och $B$ är enkla ringar och att $B$ är en $A$ -algebra. Välj en upplösning $r:P^{\bullet }\to B$ av $B$ med enkel fri $A$ -algebror. En sådan upplösning av $B$ kan konstrueras genom att använda den fria kommutativa $A$ -algebrafunktorn som tar en mängd $S$ och ger den fria $A$ -algebra $A[S]$ . För en $A$ -algebra $B$ kommer detta med en naturlig förstärkningskarta $\eta _{B}:A[B]\to B$ som mappar en formell summa av element av $B$ till ett element av $B$ via regeln

$a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[ b_{n}]\mapsto a_{1}\cdot b_{1}+\cdots a_{n}\cdot b_{n}$

Att iterera denna konstruktion ger en enkel algebra

$to A[A[A[B]]]\to A[A[ B]]\till A[B]\till B}$

där de horisontella kartorna kommer från att komponera förstärkningskartorna för de olika valen. Till exempel finns det två förstärkningskartor $A[A[B]]\to A[B]$ via reglerna

${\begin{aligned} a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i }a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{ i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end {Justerat}}$

som kan anpassas till var och en av de fria $A$ -algebrorna $A[\cdots A[A[B]]$ .

Att applicera Kählers differentialfunktion på $P^{\bullet }$ producerar en enkel $\displaystyle B}$ -modul. Det totala komplexet för detta enkla objekt är ^{det / A} kotangenskomplexet LB . Morfismen r inducerar en morfism från cotangenskomplexet till Ω _{B / A} som kallas förstärkningskartan . I homotopikategorin för enkla A -algebror (eller av förenklade ringade topoi) motsvarar denna konstruktion att ta den vänsterhärledda funktorn av Kählers differentialfunktion.

Givet en kommutativ kvadrat enligt följande:

det finns en morfism av kotangenskomplex $L^{B/A}\otimes _{B}D\to L^{D/C}$ som respekterar förstärkningen Kartor. Denna karta är konstruerad genom att välja en fri förenklad C -algebraupplösning av D , säg $s:Q^{\bullet }\to D.$ Eftersom $P^{\bullet }$ är ett fritt objekt, kan den sammansatta hr lyftas till en morfism $P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.$ Att tillämpa funktionaliteten hos Kähler-differentialer på denna morfism ger den erforderliga morfismen av kotangenta komplex. I synnerhet, givet homomorfismer $A\to B\to C,$ producerar detta sekvensen

$L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.$

Det finns en sammanbindande homomorfism,

$L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right) [1],$

vilket gör denna sekvens till en exakt triangel.

Kotangenskomplexet kan också definieras i vilken kombinatorisk modellkategori M som helst . Antag att $f:A\to B$ är en morfism i M . Cotangenskomplexet $L^{f}$ (eller $L^{B/A}$ ) är ett objekt i kategorin spektra i $M_ {B//B}$ . Ett par komponerbara morfismer, $f:A\to B$ och $g:B\to C$ inducerar en exakt triangel i kategorin homotopi,

$L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _ {B}C\höger)[1].$

Kotangenskomplex i deformationsteori

Uppstart

En av de första direkta tillämpningarna av kotangenskomplexet är i deformationsteorin. Till exempel, om vi har ett schema $f:X\to S$ och en kvadrat-noll infinitesimal förtjockning $S\to S'$ , det är en morfism av scheman där kärnan

${\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O }}_{S}\}$

har egenskapen dess kvadrat är nollkärven, så

${\mathcal {I}}^{2}=0$

en av de grundläggande frågorna inom deformationsteorin är att konstruera uppsättningen av $X'$ som passar in i kartesiska kvadrater av formen

$\left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}} \höger\}$

Ett par exempel att tänka på är att utöka scheman definierade över $\mathbb {Z} /p$ till $\mathbb {Z} /p^{2}$ , eller scheman definierade över ett fält $k$ av egenskapen $0$ till ringen $k[\varepsilon ]$ där $\varepsilon ^{2}=0$ . Cotangenskomplexet $\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$ styr sedan informationen relaterad till detta problem. Vi kan omformulera det som att betrakta uppsättningen av förlängningar av det kommutativa diagrammet

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I }}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}$

vilket är ett homologiskt problem. Sedan är uppsättningen av sådana diagram vars kärna är ${\mathcal {G}}$ isomorf till den abelska gruppen

${\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}} )$

att visa kotangenskomplexet styr uppsättningen av tillgängliga deformationer. Dessutom, från andra hållet, om det finns en kort exakt sekvens

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to & {\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matris}}$

det finns ett motsvarande element

$\xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{ \mathcal {G}})$

vars försvinnande innebär att det är en lösning på deformationsproblemet som ges ovan. Dessutom gruppen

${\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

styr uppsättningen av automorfismer för alla fixerade lösningar på deformationsproblemet.

Några viktiga konsekvenser

En av de mest geometriskt viktiga egenskaperna hos cotangentkomplexet är det faktum att givet en morfism av $S$ -scheman

$f:X\to Y$

vi kan bilda det relativa cotangenskomplexet $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ som konen av

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S} ^{\bullet }$

passar in i en förnämlig triangel

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Detta är en av pelarna för kotangenskomplex eftersom det innebär att deformationerna av morfismen $f$ av $S$ -scheman kontrolleras av detta komplex. Speciellt $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ styr deformationer av $f$ som en fast morfism i ${ \displaystyle {\text{Hom}}_{S}(X,Y)} ,$ deformationer av $X$ som kan förlänga $f$ , vilket betyder att det finns en morfism $f':X'\to S$ som påverkar projektionskartan $X'\to X$ sammansatt med $f$ , och deformationer av $Y$ definierade liknande. Detta är en kraftfull teknik och är grundläggande för Gromov-Wittens teori (se nedan), som studerar morfismer från algebraiska kurvor av ett fast släkte och ett fast antal punkteringar till ett schema $X$ .

Egenskaper hos cotangentkomplexet

Byte av platt bas

Antag att B och C är A -algebror så att $\operatornamn {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0$ för alla q > 0 . Sedan finns det kvasi-isomorfismer

${\begin{aligned }L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\ cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}$

Om C är en platt A -algebra, så försvinner villkoret att $\operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)$ för q > 0 automatisk. Den första formeln bevisar då att konstruktionen av cotangenskomplexet är lokal på basen i den platta topologin .

Försvinnande egenskaper

Låt f : A → B. _ Sedan:

• Om B är en lokalisering av A så är $L_{B/A}\simeq 0$ .
• Om f är en etale morfism , då $L_{B/A}\simeq 0$ .
• Om f är en jämn morfism , så är $L_{B/A}$ kvasi-isomorf till $\Omega _{B/A}$ . I synnerhet har den projektiv dimension noll.
• Om f är en lokal fullständig skärningsmorfism , så $L_{B/A}$ ett perfekt komplex med Tor-amplitud i [-1,0].
• Om A är Noetherian, $B=A/I$ och $I$ genereras av en vanlig sekvens, då $I/I^{2}$ är en projektiv modul och $L_{B/A}$ är kvasiisomorf till $I/I^{2}[1].$
• Om f är en morfism av perfekta k -algebror över ett perfekt fält k med karakteristiken p > 0 , så är $L_{B/A}\simeq 0$ .

Karakterisering av lokala kompletta korsningar

Teorin om kotangenskomplexet tillåter att man kan ge en homologisk karakterisering av lokala fullständiga skärningsmorfismer (lci), åtminstone under noetherska antaganden. Låt f : A → B vara en morfism av noetherska ringar så att B är en ändligt genererad A -algebra. Som omtolkad av Quillen visar verk av Lichtenbaum–Schlessinger att den andra André–Quillen homologigruppen D $\textstyle D_{2}(B/A,M)}$ försvinner för alla B -moduler M om och endast om f är lci. Således, i kombination med ovanstående försvinnande resultat, härleder vi:

Morfismen f : A → B är lci om och endast om $L_{B/A}$ är ett perfekt komplex med Tor-amplitud i [-1,0].

Quillen antog vidare att om cotangenskomplexet $L_{B/A}$ har en ändlig projektiv dimension och B har en finit Tor-dimension som en A -modul, då är f lci. Detta bevisades av Luchezar Avramov i en Annals- tidning från 1999. Avramov utvidgade också begreppet lci-morfism till den icke-finita typen, och antog endast att morfismen f lokalt har en ändlig platt dimension, och han bevisade att samma homologiska karakterisering av lci-morfismer gäller där (bortsett från ${ \displaystyle L_{B/A}}$ inte längre är perfekt). Avramovs resultat förbättrades nyligen av Briggs–Iyengar, som visade att lci-egenskapen följer när man fastställer att ${\textstyle D_{n}(B/A,-)}$ försvinner för varje enskild $n\geq 2$ .

I allt detta är det nödvändigt att anta att ringarna i fråga är noeterska. Låt till exempel k vara ett perfekt fält med egenskap p > 0 . Sedan, som noterats ovan, $L_{B/A}$ för varje morfism A → B av perfekta k -algebror. Men inte varje morfism av perfekta k -algebror är lci.

Platt nedstigning

Bhargav Bhatt visade att cotangenskomplexet uppfyller (härledd) troget platt härkomst . Med andra ord, för varje troget platt morfism f : A → B av R -algebror, har man en ekvivalens

$L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to) B)/R})$

i den härledda kategorin av R , där den högra sidan betecknar homotopigränsen för det cosimpliciala objektet som ges genom att ta ${\textstyle L_{-/R}}$ av Čech conerve av f . (Čech conerve är det kosimpliciella objektet som bestämmer Amitsur-komplexet .) Mer generellt tillfredsställer alla yttre krafter hos cotangentkomplexet en trogen platt härkomst.

Exempel

Smidiga scheman

Låt $X\i \operatörsnamn {Sch} /S$ vara jämn. Då är kotangenskomplexet $\Omega _{X/S}$ . I Berthelots ramverk är detta tydligt genom att ta $V=X$ . I allmänhet är étale lokalt på $S,X$ ett ändligt dimensionellt affint utrymme och morfismen $X\to S$ är projektion, så vi kan reducera till situationen där $S=\operatörsnamn {Spec} (A)$ och $x_{1},\ldots ,x_{n}]).} Vi kan ta$${ \displaystyle \operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ upplösningen av för att vara identitetskartan, och då är det tydligt att cotangenskomplexet är detsamma som Kählers differentialer.

Slutna inbäddningar i smidiga scheman

Låt $i:X\to Y$ vara en sluten inbäddning av smidiga scheman i ${\text{Sch}}/S$ . Genom att använda den exakta triangeln som motsvarar morfismerna $X\to Y\to S$ , kan vi bestämma cotangenskomplexet $\mathbf {L} _{X/Y}$ . För att göra detta, notera att i föregående exempel, cotangenskomplexen $\mathbf {L} _{X/S}$ och $\mathbf {L} _{Y/ S}$ består av Kähler-differentialerna $\Omega _{X/S}$ respektive $\Omega _{Y/S}$ i nollgraden, och är noll i alla andra grader. Den exakta triangeln antyder att $\mathbf {L} _{X/Y}$ endast är noll i första graden, och i den graden är det kärnan i kartan $i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.$ Denna kärna är det konormala paketet, och den exakta sekvensen är den konormala exakta sekvensen , så i den första graden är $\mathbf {L} _{X/Y}$ den konormala bunten $C_{X/Y}$ .

Lokal komplett korsning

Mer generellt har en lokal fullständig skärningsmorfism $X\to Y$ med ett jämnt mål ett cotangenskomplex med perfekt amplitud $[-1,0].$ Detta ges av komplexet

$I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.$

Till exempel, cotangenskomplexet för det vridna kubiska $X$ i $\mathbb {P} ^{3}$ ges av komplexet

${\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _ {\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.$

Cotangenskomplex i Gromov-Witten teori

I Gromov-Witten-teorin studerar matematiker de numerativa geometriska invarianterna för n-spetsade kurvor på rymden. I allmänhet finns det algebraiska stackar

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

som är kartornas modulrum

$\pi :C\to X$

från släktet $g$ kurvor med $n$ punkteringar till ett fast mål. Eftersom enumerativ geometri studerar det generiska beteendet hos sådana kartor, kräver deformationsteorin som styr dessa typer av problem deformation av kurvan ${\displaystyle C} ,$ kartan $\pi$ och målutrymmet $X$ . Lyckligtvis kan all denna deformationsteoretiska information spåras av cotangenskomplexet $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$ . Med hjälp av den distingerade triangeln

$\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C} ^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to$

kopplat till sammansättningen av morfismer

$C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

cotangenskomplexet kan beräknas i många situationer. Faktum är att för ett komplext grenrör $X$ ges dess cotangenskomplex av $\Omega _{X}^{1}$ och en jämn $n$ -punkterad kurva $C$ , detta ges av $\Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})$ . Från allmän teori om triangulerade kategorier är det kotangenskomplexet $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$ kvasiisomorft till konen

${\text{Cone}}(\pi ^{* }\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\till \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))$

Se även

• André–Quillen kohomologi
• Deformationsteori
• Exalcomm
• Kodaira-Spencer klass
• Atiyah klass

Anteckningar

Ansökningar

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Generaliseringar

• Det logaritmiska kotangenskomplexet
• Kotangenskomplexet och Thom-spektra

Referenser

• André, M. (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 206, Springer-Verlag
• Berthelot, Pierre (1971), Grothendieck, Alexandre ; Illusie, Luc (red.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Föreläsningsanteckningar i matematik 225 ) (på franska), Berlin; New York: Springer-Verlag , xii+700
• Cartier, Pierre (1956), Dérivations dans les corps , Séminaire Cartan, vol. 8
•   Gerstenhaber, Murray (1964), "On the Deformation of Rings and Algebras", Annals of Mathematics , 79 (1): 59–103, doi : 10.2307/1970484 , JSTOR 1970484
•    Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5–326 , doi : 10.1007/BF02732123 , ISSN 1618-1913 , S2CID 189794756
•   Grothendieck, Alexandre (1968), Catégories cofibrées additives et complexe cotangent relatif , Lecture Notes in Mathematics 79 (på franska), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04248-8
•   Harrison, DK (1962), "Commutative algebras and cohomology", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 104 (2): 191–204, doi : 10.2307/1993575 , JSTOR 1993575
•   Illusie, Luc (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (på franska), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
• Lichtenbaum; Schlessinger (1967), "The cotangent complex of a morphism", Transactions of the American Mathematical Society , 128 : 41–70, doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0209339-1
• Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings , Proc. Symp. Pure Mat., vol. XVII, American Mathematical Society