Smidig morfism

I algebraisk geometri sägs en morfism $f:X\to S$ mellan scheman vara jämn om

• (i) det är lokalt av ändlig presentation
• (ii) det är platt , och
• (iii) för varje geometrisk punkt ${\overline {s}}\to S$ fibern $X_{\overline {s}}=X\ gånger _{S}{\overline {s}}$ är regelbundet.

(iii) betyder att varje geometrisk fiber av f är en icke-singular variant (om den är separerad). Sålunda, intuitivt sett, ger en jämn morfism en platt familj av icke-singulara sorter.

Om S är spektrumet för ett algebraiskt stängt fält och f är av finit typ, återställer man definitionen av en icke-singular varietet.

Motsvarande definitioner

Det finns många likvärdiga definitioner av en mjuk morfism. Låt $f:X\to S$ vara lokalt av ändlig presentation. Då är följande likvärdiga.

1. f är slät.
2. f är formellt jämn (se nedan).
3. f är platt och skivan av relativa differentialer $\Omega _{X/S}$ är lokalt fri från rang som är lika med den relativa dimensionen av $X/S$ .
4. För alla $x\in X$ finns det en grannskapsspecifikation $\displaystyle \operatorname {Spec} B}$ av x och en grannskapsspecifikation $\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ av $f(x)$ så att $B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})$ och idealet som genereras av m -by- m moll av $(\partial P_{i}/\partial t_{j})$ är B .
5. Lokalt räknas f in i $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ där g är étale.
6. Lokalt, f faktorer till ${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^ {n}\to \mathbb {A} _{S}^{n-1}\to \cdots \to \mathbb {A} _{S}^{1}\to S} där g$ är étale .

En morfism av finit typ är étale om och endast om den är slät och kvasiändlig .

En jämn morfism är stabil under basförändring och sammansättning.

En jämn morfism är universellt lokalt acyklisk .

Exempel

Släta morfismer antas geometriskt motsvara jämna nedsänkningar i differentialgeometri; det vill säga de är släta lokalt triviala fibrer över något basutrymme (enligt Ehresmanns sats ) .

Smidig morfism till en punkt

Låt $f$ vara morfismen av scheman

${\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({ \frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\ mathbb {C} )$

Den är jämn på grund av det jakobiska tillståndet: den jakobiska matrisen

$[3x^{2}-1,y]$

försvinner vid punkterna $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ som har en tom skärningspunkt med polynomet, eftersom

${\begin{aligned}f(1/{\sqrt { 3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{ \sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned} }$

som båda är icke-noll.

Triviala fibrer

Givet ett jämnt schema $Y$ projektionsmorfismen

$Y\ gånger X\till X$

är slät.

Vektor buntar

Varje vektorbunt $E\to X$ över ett schema är en jämn morfism. Till exempel kan det visas att den associerade vektorbunten av ${\mathcal {O}}(k)$ över $\mathbb {P} ^{n}$ är den viktade projektivt utrymme minus en punkt

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,$

sändning

$[x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\till [x_ {0}:\cdots :x_{n}]$

Lägg märke till att de direkta summapaketen $O(k)\oplus O(l)$ kan konstrueras med fiberprodukten

$O(k)\oplus O(l)=O(k)\ gånger _{X}O(l)$

Separerbara fälttillägg

Kom ihåg att en fälttillägg $K\to L$ kallas separerbar om det ges en presentation

$L={\frac {K[x]}{(f(x))}}$

vi har att $gcd(f(x),f'(x))=1$ . Vi kan omtolka denna definition i termer av Kähler-differentialer enligt följande: fältförlängningen är separerbar om

$\Omega _{L/K}=0$

Lägg märke till att detta inkluderar alla perfekta fält: ändliga fält och fält med karakteristisk 0.

Icke-exempel

Singular varianter

Om vi ​​betraktar ${\text{Spec}}$ för den underliggande algebra $R$ för en projektiv varietet ${\displaystyle X} ,$ kallad den affina konen av $X$ , då punkten vid ursprunget är alltid singular. Betrakta till exempel den affina könen för en quintic $3$ -fald given av

$x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{ 3}^{5}+x_{4}^{5}$

Sedan ges den jakobianska matrisen av

${\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2} ^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}$

som försvinner vid ursprunget, därför är konen singularis. Affina hyperytor som dessa är populära inom singularitetsteorin på grund av deras relativt enkla algebra men rika underliggande strukturer.

Ett annat exempel på en singularis är den projektiva konen för en jämn sort: givet en jämn projektiv varietet $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ är dess projektiva kon föreningen av alla linjer i $\mathbb {P} ^{n+1}$ som skär $X$ . Till exempel den projektiva konen av punkterna

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4 }+y^{4})}}\right)$

är upplägget

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{( x^{4}+y^{4})}}\höger)$

Om vi ​​tittar i diagrammet $z\neq 0$ är detta schemat

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4 }+Y^{4})}}\höger)$

och projicera det ner till den affina linjen ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}} ,$ detta är en familj av fyra punkter som degenererar vid origo. Det här schemats icke-singularitet kan också kontrolleras med det jakobiska villkoret.

Degenererande familjer

Tänk på den platta familjen

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y] }{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}$

Då är alla fibrer släta förutom punkten vid utgångspunkten. Eftersom jämnheten är stabil vid basbyte är denna familj inte jämn.

Icke-separerbara fälttillägg

Till exempel, fältet $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ är icke-separerbar, därför är den associerade morfismen av scheman inte jämn. Om vi ​​tittar på det minimala polynomet för fältförlängningen,

$f(x)=x^{p}-t^{p}$

då $df=0$ , därför kommer Kählers differentialer att vara lik noll.

Formellt jämn morfism

Se även: Formellt slät karta och geometriskt regelbunden ring

Man kan definiera jämnhet utan hänvisning till geometri. Vi säger att ett S -schema X är formellt jämnt om för något affint S -schema T och ett underschema $T_{0}$ av T givet av ett nilpotent ideal, ${\ displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$ är surjektiv där vi skrev $X(T)=\operatörsnamn {Hom} _{S} (T,X)$ . Då är en morfism lokalt av finit typ slät om och bara om den är formellt slät.

I definitionen av "formellt jämn", om vi ersätter surjektiv med "bijektiv" (resp. "injektiv"), så får vi definitionen av formellt étale (resp. formellt oförgrenad ).

Smidigt basbyte

Låt S vara ett schema och $\operatorname {char} (S)$ betecknar bilden av strukturkartan $S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z }$ . The smooth base change theorem anger följande: låt $f:X\to S$ vara en kvasikompakt morfism , $g:S'\to S$ a jämn morfism och ${\mathcal {F}}$ en torsionskärva på $X_{\text{et}}$ . Om för varje $0\neq p$ i $\operatorname {char} (S)$ , $p:{\mathcal {F}}\ till {\mathcal {F}}$ är injektiv, då ändrar basen morfismen ${\displaystyle g^{*}(R^{ i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})} är en isomorfism$ .

Se även

• slät algebra
• vanlig inbäddning
• Formellt jämn karta

• JS Milne (2012). " Föreläsningar om Étale Cohomology "
• JS Milne. Étale cohomology , volym 33 av Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1980.