Perfekt fält

I algebra är ett fält k perfekt om något av följande ekvivalenta villkor gäller:

• Varje irreducerbart polynom över k har distinkta rötter.
• Varje irreducerbart polynom över k är separerbart .
• Varje finit förlängning av k är separerbar .
• Varje algebraisk förlängning av k är separerbar.
• Antingen har k karakteristiken 0, eller, när k har karakteristiken p > 0 , är ​​varje element i k en p: te potens .
• Antingen har k karakteristiken 0, eller, när k har karakteristiken p > 0 , är ​​Frobenius-endomorfismen x ↦ x ^{p en} automorfism av k .
• Den separerbara stängningen av k är algebraiskt stängd .
• Varje reducerad kommutativ k -algebra A är en separerbar algebra ; dvs $A\otimes _{k}F$ reduceras för varje fälttillägg F / k . (se nedan)

Annars kallas k imperfekt .

I synnerhet är alla fält med karakteristisk noll och alla finita fält perfekta.

Perfekta fält är betydelsefulla eftersom Galois-teorin över dessa fält blir enklare, eftersom det allmänna Galois-antagandet om att fältförlängningar är separerbara automatiskt uppfylls över dessa fält (se det tredje villkoret ovan).

En annan viktig egenskap hos perfekta fält är att de tillåter Witt-vektorer .

kallas en ring med karakteristisk p ( p a prime ) perfekt om Frobenius-endomorfismen är en automorfism . (När det är begränsat till integrerade domäner motsvarar detta villkoret ovan "varje element i k är en p :te potens".)

Exempel

Exempel på perfekta fält är:

• varje fält med karakteristik noll, så $\mathbb {Q}$ och varje finit förlängning, och $\mathbb {C}$ ;
• varje ändligt fält $\mathbb {F} _{q}$ ;
• varje algebraiskt stängt fält ;
• föreningen av en uppsättning perfekta fält helt ordnade genom förlängning;
• fält algebraiskt över ett perfekt fält.

De flesta områden som man stöter på i praktiken är perfekta. Det imperfekta fallet uppstår främst i algebraisk geometri i karakteristiken p > 0 . Varje imperfekt fält är nödvändigtvis transcendentalt över sitt primära delfält (det minimala delfältet), eftersom det senare är perfekt. Ett exempel på ett imperfekt fält är fältet $\mathbf {F} _{q}(x)$ , eftersom Frobenius skickar $x\mapsto x^{p}$ och därför är den inte surjektiv. Det bäddar in i det perfekta fältet

$\mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2 }},\ldots )$

kallas dess perfektion . Imperfekta fält orsakar tekniska svårigheter eftersom irreducerbara polynom kan bli reducerbara i den algebraiska stängningen av basfältet. Betrakta till exempel $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x ,y]$ för $k$ ett imperfekt fält av karakteristiken $p$ och en inte en p -te potens i f . Sedan i dess algebraiska stängning $k^{\operatorname {alg} [x,y]$ gäller följande likhet:

$f(x,y)=(x+by)^{p},$

där b ^p = a och sådant b existerar i denna algebraiska stängning. Geometriskt betyder detta att $f$ inte definierar en affin plankurva i $k[x,y]$ .

Fältförlängning över ett perfekt fält

Varje ändligt genererad fältförlängning K över ett perfekt fält k genereras separat, dvs. tillåter en separerande transcendensbas , det vill säga en transcendensbas Γ så att K är separerbart algebraisk över k (Γ).

Perfekt stängning och perfektion

Ett av de ekvivalenta förhållandena säger att, i karakteristiken p , är ett fält som gränsar till alla p ^r -te rötter ( r ≥ 1 ) perfekt; det kallas den perfekta stängningen av k och betecknas vanligtvis med $k^{p^{-\infty }}$ .

Den perfekta förslutningen kan användas i ett test för separerbarhet. Mer exakt är en kommutativ k -algebra A separerbar om och endast om $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ reduceras.

När det gäller universella egenskaper är den perfekta stängningen av en ring A med karakteristisk p en perfekt ring A _p av karakteristisk p tillsammans med en ringhomomorfism u : A → A _p så att för alla andra perfekta ringar B med karakteristiska p med en homomorfism v : A → B det finns en unik homomorfism f : Ap ₎ → B så att v faktorer genom u (dvs v = fu . Den perfekta stängningen finns alltid; beviset involverar "angränsande p -th rötter av element av A ", liknande fallet med fält.

Perfektionen av en ring A med karakteristisk p är den dubbla föreställningen ( även om denna term ibland används för den perfekta stängningen). Med andra ord, perfektionen R ( A ) av A är en perfekt ring av karakteristiken p tillsammans med en karta θ : R ( A ) → A sådan att för vilken perfekt ring B som helst av karakteristiken p är utrustad med en karta φ : B → A , det finns en unik karta f : B → R ( A ) så att φ faktorer genom θ (dvs φ = θf ). Perfektionen av A kan konstrueras enligt följande. Tänk på det projektiva systemet

$\cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots$

₀₀ där övergångskartorna är Frobenius-endomorfismen. Den omvända gränsen för detta system är R ( A ) och består av sekvenser ( x , x ₁ , ... ) av element i A så att $x_{i+1}^{ p}=x_{i}$ för alla i . Kartan θ : R ( A ) → A skickar ( x _i ) till x .

Se även

• p-ring
• Perfekt ring
• Kvasiändligt fält

Anteckningar

•   Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School-anteckningar om p-adic Hodge-teori (PDF) , hämtad 2010-02-05
• Cohn, PM (2003), Grundläggande algebra: grupper, ringar och fält
•     Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984.00001
• Matsumura, H (2003), Kommutativ ringteori , Översatt från japanska av M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (andra upplagan)
•    Serre, Jean-Pierre (1979), Lokala fält , Graduate Texts in Mathematics , vol. 67 (2 uppl.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , MR 0554237

externa länkar

• "Perfect field" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]