Troget platt härkomst

Troget platt härkomst är en teknik från algebraisk geometri , som gör att man kan dra slutsatser om objekt på målet för en troget platt morfism . Sådana morfismer, som är platta och surjektiva, är vanliga, ett exempel kommer från ett öppet lock.

I praktiken, ur en affin synvinkel, tillåter denna teknik en att bevisa något påstående om en ring eller ett schema efter ett troget byte av platt bas.

"Vanilj" troget platt härkomst är i allmänhet falsk; istället är troget platt härkomst giltig under vissa ändlighetsförhållanden (t.ex. kvasikompakt eller lokalt av ändlig presentation).

En troget platt nedstigning är ett specialfall av Becks monadicitetsteorem .

Grundform

Låt $A\to B$ vara en troget platt ringhomomorfism . Givet en $A$ -modul $M$ får vi $B$ -modul $N=M\otimes _{A}B$ och eftersom $A\to B$ är troget platt, vi har inkluderingen $M\hookrightarrow M\otimes _{A}B$ . Dessutom har vi isomorfismen $\varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B$ av $B^{\otimes 2}$ -moduler som induceras av isomorfismen $B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2} ,x\otimes y\mapsto y\otimes x$ och som uppfyller samcykelvillkoret:

\varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}

där $\varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\ ibland B^{\otimes 2}$ ges som:

\varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)

\varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^ {2}(b)\varphi (n\otimes c)

\varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c )=\varphi (n\otimes b)\otimes c

med $\rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}$ . Notera isomorfismerna $\varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }} N\otimes B^{\otimes 2}$ bestäms endast av $\varphi$ och involverar inte $M.$

Nu säger den mest grundläggande formen av troget platt nedstigning att ovanstående konstruktion kan vändas; dvs givet en $B$ -modul $N$ och en $B^{\otimes 2}$ -modul isomorfism $\varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B$ så att $\varphi ^{1}=\varphi ^{0}\ circ \varphi ^{2}$ , en invariant undermodul:

M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N

är sådan att $M\otimes B=N$ .

Zariski härkomst

Zariski härkomst hänvisar helt enkelt till det faktum att en kvasi-koherent kärve kan erhållas genom att limma dem på ett (Zariski-)öppet lock. Det är ett specialfall av en troget platt nedstigning men används ofta för att reducera nedstigningsproblemet till det affina fallet.

I detaljer, låt ${\mathcal {Q}}coh(X)$ beteckna kategorin av kvasikoherenta skivor på ett schema X . Sedan anger Zariski härkomst att, givet kvasi-koherenta skivor $F_{i}$ på öppna delmängder $U_{i}\subset X$ med $X= \bigcup U_{i}$ och isomorfismer $\varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}| _{U_{i}\cap U_{j}}$ så att (1) $\varphi _{ii}=\operatörsnamn {id}$ och (2) $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ på $U_{i}\cap U_{ j}\cap U_{k}$ , då existerar en unik kvasi-koherent bunt $F$ på X så att $F|_{U_{i}}\simeq F_{i}$ på ett kompatibelt sätt (dvs. $F|_{U_{j}} \simeq F_{j}$ begränsar till $F|_{U_{i}\ cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}} F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ ).

På ett fancy språk säger Zariski härkomst att, med avseende på Zariski-topologin, är ${\mathcal {Q}}coh$ en stack ; dvs en kategori ${\mathcal {C}}$ utrustad med funktion $p:{\mathcal {C}}\to$ kategorin av (relativa) scheman som har en effektiv härkomstteori. Låt här ${\mathcal {Q}}coh$ beteckna kategorin som består av par $(U,F)$ bestående av en (Zariski)-öppen delmängd U och en kvasikoherent bunt på den och $p$ den glömska funktorn $(U,F)\mapsto U$ .

Nedstigning för kvasikoherenta remskivor

Det finns ett kortfattat uttalande för huvudresultatet inom detta område: (förstacken av kvasikoherenta skivor över ett schema S betyder att för varje S -schema X är varje X -punkt i förstacken en kvasikoherent skiva på X .)

Teorem — Förstacken av kvasikoherenta skivor över ett basschema S är en stack med avseende på fpqc-topologin .

Beviset använder Zariski härkomst och den troget platta härkomsten i det affina fallet.

Här kan "kvasikompakt" inte elimineras; se https://mathoverflow.net/questions/127362/counter-example-to-faithfully-flat-descent/

Se även

Anteckningar

SGA 1 , Exposé VIII – detta är huvudreferensen (men det beror på ett resultat från Giraud (1964), som ersatte (i mycket mer allmän form) den opublicerade Exposé VII av SGA1).
Giraud, Jean (1964), Méthode de la descent , Mém. Soc. Matematik. Frankrike, vol. 2, doi : 10.24033/msmf.2 , MR 0190142
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
Street, Ross (20 mars 2003). "Kategoriska och kombinatoriska aspekter av härkomstteori". arXiv : math/0303175 . (en detaljerad diskussion om en 2-kategori)
Angelo Vistoli, anteckningar om Grothendieck-topologier, fiberkategorier och härkomstteori (Uppdaterad 2 september 2008)
Waterhouse, William (1979), Introduktion till affingruppsscheman , Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4 , MR 0547117