Ringade topos

Inom matematiken är en ringad topos en generalisering av ett ringmärkt utrymme ; det vill säga begreppet erhålls genom att ersätta ett " topologiskt utrymme " med ett " topos ". Föreställningen om en ringad topos har tillämpningar på deformationsteori i algebraisk geometri (jfr cotangenskomplex ) och den matematiska grunden för kvantmekaniken . I det senare ämnet är en Bohr-topos en ringad topos som spelar rollen som ett kvantfasrum .

Definitionen av en topos-version av ett "lokalt ringmärkt utrymme" är inte okomplicerat, eftersom innebörden av "lokal" i detta sammanhang inte är uppenbar. Man kan introducera begreppet lokalt ringad topos genom att introducera ett slags geometriska förhållanden för lokala ringar (se SGA4, Exposé IV, övning 13.9), vilket motsvarar att säga att alla stjälkar av strukturringobjektet är lokala ringar när det finns är tillräckligt med poäng.

Morfismer

En morfism $(T,{\mathcal {O}}_{T})\to (T',{\mathcal {O}}_{ T'})$ av ringad topoi är ett par som består av en toposmorfism $f:T\to T'$ och en ringhomomorfism ${\ mathcal {O}}_{T'}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{T}$ .

Om man ersätter en "topos" med en ∞-topos , så får man föreställningen om en ringad ∞-topos .

Exempel

Ringade topos av ett topologiskt utrymme

Ett av de viktigaste motiverande exemplen på en ringad topos kommer från topologi. Betrakta webbplatsen ${\text{Open}}(X)$ för ett topologiskt utrymme $X$ och bunten av kontinuerliga funktioner

$C_{X}^{0}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{CRing}}$

skicka ett objekt ${\displaystyle U\in {\text{Open}}(X)} ,$ en öppen delmängd av $X$ , till ringen av kontinuerliga funktioner $C_{X}^{0}(U)$ på $U$ . Sedan, paret $({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),C_{X}^{0})$ bildar en ringad topos. Observera att detta kan generaliseras till valfritt ringmärkt utrymme $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ där

${\mathcal {O}}_{X}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{Rings}}$

så paret $({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),{\mathcal {O}}_{X} )$ är en ringmärkt topos.

Ringade topos av ett system

Ett annat nyckelexempel är de ringade toposerna associerade med ett schema ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} ,$ som återigen är de ringade toposerna som är associerade med det underliggande lokalt ringade utrymmet .

Relation med punkters funktionator

Kom ihåg att functor of points view av schemateorin definierar ett schema $X$ som en funktor $X:{\text{CAlg}}\till {\text{Sets}}$ som uppfyller ett kärvtillstånd och limningsvillkor. Det vill säga för alla öppna omslag ${\text{Spec}}(R_{f_{i}})\to {\text{Spec}}(R)$ av affina scheman finns följande exakta sekvens

$X(R)\to \prod X(R_{f_{i}})\rightrightarrows \prod X(R_ {f_{i}f_{j}})$

Det måste också finnas öppna affina underfunktioner

$U_{i}={\text{Spec}}(A_{i})={\text{Hom}}_{\text {CAlg}}(A_{i},-)$

som täcker $X$ , vilket betyder för alla $\xi \in X(R)$ , det finns en $\xi |_{U_{i}}\in U_{i}(R)$ . Sedan finns det en topos kopplad till $X$ vars underliggande plats är platsen för öppna subfunctors. Denna plats är isomorf till den plats som är associerad med det underliggande topologiska utrymmet i det ringade utrymmet som motsvarar schemat. Sedan ger topos-teorin ett sätt att konstruera schemateori utan att behöva använda lokalt ringade utrymmen med hjälp av de associerade lokalt ringade toposerna.

Ringade topos av set

Kategorin av uppsättningar är likvärdig med kategorin av skivor i kategorin med ett objekt och endast identitetsmorfismen, så ${\text{Sh}}(*)\cong {\text{Mängder }}$ . Sedan, givet valfri ring $A$ , finns det en associerad bunt ${\text{Hom}}_{Sets}(-, A):{\text{Anger}}^{op}\to {\text{Ringar}}$ . Detta kan användas för att hitta leksaksexempel på morfismer av ringade topoi.

Anteckningar

Standardreferensen är den fjärde volymen av Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie .
Francis, J. Härledd algebraisk geometri över ${\mathcal {E}}_{n}$ -ringar
Grothendieck-dualitet för härledda stackar
Ringade topos på n Lab
Lokalt ringmärkt topos vid n Lab