André–Quillen kohomologi

⁰ Inom kommutativ algebra är André–Quillen kohomologi en teori om kohomologi för kommutativa ringar som är nära besläktad med kotangenskomplexet . De tre första kohomologigrupperna introducerades av Stephen Lichtenbaum och Michael Schlessinger ( 1967 ) och kallas ibland Lichtenbaum–Schlessinger-funktioner T , T ¹ , T ² , och de högre grupperna definierades oberoende av Michel André ( 1974 ) och Daniel Quillen ( 1970 ) ) med metoder för homotopi teori . Den kommer med en parallell homologiteori som kallas André–Quillen homologi .

Motivering

Låt A vara en kommutativ ring, B vara en A -algebra och M vara en B -modul. André–Quillen-kohomologigrupperna är de härledda funktionerna av härledningsfunktorn Der _A ( B , M ). Innan de allmänna definitionerna av André och Quillen var det känt under lång tid att givet morfismer av kommutativa ringar A → B → C och en C -modul M , finns det en treterm exakt sekvens av härledningsmoduler:

$0\till \operatörsnamn {Der} _{B}(C,M)\till \operatörsnamn {Der} _{A}(C,M)\till \operatörsnamn {Der} _{A}(B, M).$

Denna term kan utökas till en exakt sextermssekvens med hjälp av funktorn Exalcomm för förlängningar av kommutativa algebror och en exakt niotermssekvens med Lichtenbaum–Schlessinger-funktionerna. André–Quillen kohomologi utökar denna exakta sekvens ytterligare. I nollgraden är det härledningsmodulen; i första graden är det Exalcomm; och i andra graden är det andra graden Lichtenbaum–Schlessinger-funktor.

Definition

Låt B vara en A -algebra, och låt M vara en B -modul. Låt P vara en enkel kofibrant A- algebraupplösning av B . André noterar den q: e kohomologigruppen av B över A med koefficienter i M med H ^q ( A , B , M ) , medan Quillen noterar samma grupp som Dq ( B / A , M ) ^. Den q :e André–Quillen kohomologigruppen är:

$D^{q}(B/A,M)=H^{q}(A,B,M){\stackrel {\text{def}}{=}}H^{q}(\operatörsnamn {Der} _{A}(P,M)).$

Låt L _{B / A} beteckna det relativa kotangenskomplexet av B över A. Sedan har vi formlerna:

$D^{q}(B/A,M)=H^{q}(\operatörsnamn {Hom} _{B}(L_{B/A},M)),$

$D_{q}(B/A,M)=H_{q}(L_{B/A}\otimes _{B}M).$

Se även

• Cotangenskomplex
• Deformationsteori
• Exalcomm

• André, Michel (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 206, Springer-Verlag
•     Lichtenbaum, Stephen ; Schlessinger, Michael (1967), "The cotangent complex of a morphism", Transactions of the American Mathematical Society , 128 (1): 41–70, doi : 10.2307/1994516 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994516 02 , JSTOR 1994516 02 ,
• Quillen, Daniel G., Homology of commutative rings , opublicerade anteckningar, arkiverade från originalet den 20 april 2015
• Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings , Proc. Symp. Pure Mat., vol. XVII, American Mathematical Society
•    Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-43500-0 , MR 1269324

Generaliseringar

• André–Quillen kohomologi av kommutativa S-algebras
• Homologi och kohomologi av E-oändlighetsringspektra