Kodaira–Spencer karta

Inom matematik är Kodaira –Spencer-kartan , introducerad av Kunihiko Kodaira och Donald C. Spencer , en karta associerad med en deformation av ett schema eller komplext grenrör X , som tar ett tangentrum av en punkt i deformationsutrymmet till den första kohomologigruppen av bunten av vektorfält på X .

Definition

Historisk motivation

Kodaira-Spencer-kartan konstruerades ursprungligen i en miljö med komplexa grenrör. Givet ett komplext analytiskt grenrör $M$ med diagram $U_{i}$ och biholomorfa kartor $f_{jk}$ skickar ${\displaystyle z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})} limma ihop$ diagrammen, idén om deformationsteori är att ersätta dessa övergångskartor $f_{jk}(z_{k})$ med parametriserade övergångskartor ${\ displaystyle f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})}$ över någon bas $B$ (som kan vara ett riktigt grenrör) med koordinaterna $t_{1},\ldots ,t_{k}$ , så att $f_{jk}(z_{k },0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})$ . Detta betyder att parametrarna $t_{i}$ deformerar den komplexa strukturen för det ursprungliga komplexa grenröret $M$ . Då måste dessa funktioner också uppfylla ett samcykelvillkor, vilket ger en 1-samcykel på $M$ med värden i sin tangentbunt. Eftersom basen kan antas vara $H^{1}(M,T_{M})$ polydisk, ger denna process en avbildning mellan tangentutrymmet för basen till kallas Kodaira-Spencer-kartan.

Ursprunglig definition

Mer formellt är Kodaira–Spencer-kartan

${\displaystyle KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})$

var

• ${\mathcal {M}}\to B$ är en jämn korrekt karta mellan komplexa utrymmen (dvs en deformation av specialfibern M $\displaystyle M={\mathcal {M}}_ {0}}$ .)
• ${\displaystyle KS} är den sammanbindande homomorfismen som erhålls genom att ta en lång$${\displaystyle T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}} vars kärna är$ kohomologisekvens av operationen tangentbunten $T_{M$ .

Om $v$ är i ${\displaystyle T_{0}B} , så$ kallas dess bild $KS(v)$ Kodaira–Spencer-klassen för $v$ .

Anmärkningar

Eftersom deformationsteori har utvidgats till flera andra sammanhang, såsom deformationer i schemateori, eller ringade topoi, finns det konstruktioner av Kodaira-Spencer-kartan för dessa sammanhang.

I schemateorin över ett basfält $k$ med karakteristiken $0$ finns det en naturlig bijektion mellan isomorfismer klasser av ${ \mathcal {X}}\to S=\operatörsnamn {Spec} (k[t]/t^{2})$ och $H^{1}(X,TX)$ .

Konstruktioner

Använda infinitesimals

Samcykeltillstånd för deformationer

Över karakteristiska $0$ kan konstruktionen av Kodaira–Spencer-kartan göras med hjälp av en oändligt liten tolkning av samcykelns tillstånd. Om vi ​​har ett komplext grenrör $X$ täckt av ändligt många diagram ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ med koordinater $z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^ {n})$ och övergångsfunktioner

$f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}$ där $f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }$

Kom ihåg att en deformation ges av ett kommutativt diagram

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{ Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\end{matris}}$

där $\mathbb {C} [\varepsilon ]$ är ringen av dubbla tal och de vertikala kartorna är platta, har deformationen den kohomologiska tolkningen som samcykler ${ \displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )}$ på $U_{\alpha }\times {\ text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ där

$z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })$

Om ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }$ uppfyller samcykelvillkoret, så limmar de till deformationen ${\mathfrak {X}}$ . Detta kan läsas som

${\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{ \gamma },\varepsilon )=&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\ varepsilon )\\=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\ varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}$

Genom att använda egenskaperna för de dubbla talen, nämligen $g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g' (a)b$ , vi har

${\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\ alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\\end{aligned}}$

och

${\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_ {\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma } (z_{\gamma }))+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial b_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\=&\varepsilon b_{ \alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}$

därför är samcykelvillkoret på $U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ följande två regler

1. $b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }$
2. $f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }$

Konvertering till samcykler av vektorfält

Deformationens samcykel kan enkelt omvandlas till en samcykel av vektorfält $\theta =\{\theta _{\alpha \beta }\} \in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})$ enligt följande: givet samcykeln ${\tilde {f} }_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }$ kan vi bilda vektorfältet

$\theta _{\alpha \beta }=\summa _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta } ^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}$

som är en 1-kokedja. Då ger regeln för övergångskartorna för $b_{\alpha \gamma }$ denna 1-samkedja som en 1-samcykel, därav en klass ${\ displaystyle [\theta ]\in H^{1}(X,T_{X})}$ .

Använda vektorfält

En av de ursprungliga konstruktionerna av denna karta använde vektorfält i inställningarna för differentialgeometri och komplex analys. Givet notationen ovan är övergången från en deformation till samcykeltillstånd transparent över en liten bas av dimension ett, så det finns bara en parameter t {\ $t}$ . Sedan kan samcykelvillkoret läsas som

$f_{ik}^ {\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n }(z_{k},t),t)$

Sedan kan derivatan av $f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)$ med avseende på $t$ beräknas från föregående ekvation som

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t) }{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\summa _{\beta =0}^ {n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\ cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Observera att $z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)$ och ${\displaystyle z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)} ,$ då läses derivatan som

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\ partiell f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\summa _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^ {\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t} }\\\end{aligned}}$

Med en förändring av koordinaterna för den del av det föregående holomorfa vektorfältet som har dessa partiella derivator som koefficienter, kan vi skriva

${\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}= \sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\ partiell }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

Därför kan vi skriva upp ekvationen ovan som följande ekvation av vektorfält

${\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik} ^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\summa _{\alpha = 0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i} ^{\alpha }}}\\&+\summa _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\ partiell t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}$

Skriver om detta som vektorfälten

$\theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}( t)$

var

$\theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{ \alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

ger samcykelns tillstånd. Därför ${\displaystyle \theta _{ij}} en$$[\theta _{ij}]\in H^{1 }(M,T_{M})$ klass i från den ursprungliga deformationen ${\tilde {f}}_{ij}$ av $f_{ij}$ .

I schemateorin

Deformationer av en jämn sort

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{ Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matris}}$

har en Kodaira-Spencer-klass konstruerad kohomologiskt. Förknippad med denna deformation är den korta exakta sekvensen

$0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k[\ varepsilon ])}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0$

(där ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}(k[\varepsilon ])} )$ som när det spänns av ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ -modul ${\mathcal {O}}_{X}$ ger den korta exakta sekvensen

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0$

Med hjälp av härledda kategorier definierar detta ett element i

${\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X}[+1])&\cong \ mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X}[+1])\\&\cong {\text{Ext}}^{1}( {\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}$

generalisera Kodaira-Spencer-kartan. Lägg märke till att detta kan generaliseras till vilken jämn karta som helst $f:X\to Y$ i ${\text{Sch}}/S$ med hjälp av cotangenssekvensen, vilket ger ett element i $H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y /Z}^{1}))$ .

Av ringmärkt topoi

En av de mest abstrakta konstruktionerna av Kodaira-Spencer-kartorna kommer från de kotangenskomplex som är associerade med en sammansättning av kartor över ringade topoi

$X\xrightarrow {f} Y\to Z$

Sedan är associerad med denna komposition en framstående triangel

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X /Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {[+1]}$

och denna gränskarta bildar Kodaira–Spencer-kartan (eller kohomologiklassen, betecknad ${\displaystyle K(X/Y/Z)} )$ . Om de två kartorna i kompositionen är jämna kartor över scheman, så sammanfaller denna klass med klassen i $H^{1}( X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))$ .

Exempel

Med analytiska bakterier

Kodaira-Spencer-kartan när man överväger analytiska bakterier är lätt att beräkna med hjälp av tangentkohomologin i deformationsteori och dess versala deformationer. Till exempel, givet grodden till ett polynom $f(z_{1},\ldots ,z_{n}) \i \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H$ , dess deformationsutrymme kan ges av modulen

$T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}$

Till exempel, om $f=y^{2}-x^{3}$ så ges dess versala deformationer av

$T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2} )}}$

därför ges en godtycklig deformation av $F(x,y,a_{1},a_{2} )=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x$ . Sedan för en vektor ${\displaystyle v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})} ,$ som har grunden

${\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}$

där kartan $KS:v\mapsto v(F)$ skickar

${\begin{_phi 1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1} {\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1 }+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}$

På affina hyperytor med kotangenskomplexet

För en affin hyperyta ${\displaystyle i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)} över$ en fält $k$ definierat av ett polynom $f$ , det finns den associerade fundamentala triangeln

$i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^ {n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_ {0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {[+1]}$

Genom att sedan använda $\mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ ger den långa exakta sekvensen

${\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{ \mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k) },{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{ n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _ {X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}$

Kom ihåg att det finns isomorfism

${\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{ X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong {\text{Ext}}^{1}( \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$

från allmän teori om härledda kategorier, och ext-gruppen klassificerar första ordningens deformationer. Sedan, genom en serie reduktioner, kan denna grupp beräknas. För det första, eftersom ${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k )}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}} är$ en gratis modul, ${\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}} (k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])=0$ . Dessutom eftersom $\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I} }/{\mathcal {I}}^{2}[+1]$ , det finns isomorfismer

${\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\ mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\ mathcal {I}}^{2}[+1],{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal { I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\ mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal { I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}} \end{aligned}}$

Den sista isomorfismen kommer från isomorfismen ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}} \otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}} och en morfism$ i

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}} \otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{ 0}})$ skicka $[gf]\mapsto g'g+(f)$

ger den önskade isomorfismen. Från cotangenssekvensen

${\frac {(f)}{(f)^{ 2}}}\xrightarrow {[g]\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0} }\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0$

(som är en trunkerad version av den fundamentala triangeln) den sammanbindande kartan av den långa exakta sekvensen är dualen av $[g]\mapsto dg\otimes 1$ , vilket ger isomorfismen

${\text{Ext}}^ {1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k[x_{1},\ldots , x_{n}]}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}} \höger)}}$

Observera att denna beräkning kan göras genom att använda cotangenssekvensen och beräkna ${\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1 },{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ . Sedan skickar Kodaira-Spencer-kartan en deformation

${\frac {k[\varepsilon ][x_{1},\ldots ,x_{n}]}{f+\varepsilon g} }$

till elementet $g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{ \mathcal {O}}_{X_{0}})$ .

Se även

• Deformationsteori
• Cotangenskomplex
• Schlessingers teorem
• karakteristiskt linjärt system av en algebraisk familj av kurvor
• Gauss-Manin-förbindelse
• Härledd kategori
• Ext funktör

•   Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction . Springer. ISBN 3-540-21290-6 .
•    Kodaira, Kunihiko (1986), Komplexa grenrör och deformation av komplexa strukturer , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 283, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96188-0 , MR 0815922
• Mathoverflow-post som relaterar deformationer till den jakobiska ringen .