Fraktion

För annan användning, se Bråk (disambiguation) .

En tårta med en fjärdedel (en fjärdedel) borttagen. De 1/4 med återstående bråket tre fjärdedelarna visas med prickade linjer och märkta

En bråkdel (från latin : fractus , "bruten") representerar en del av en helhet eller, mer allmänt, valfritt antal lika delar. När det talas på vardaglig engelska beskriver en bråkdel hur många delar av en viss storlek det finns, till exempel en halv, åtta femtedelar, tre fjärdedelar. Ett vanligt , vulgärt eller enkelt bråktal (exempel: ${\tfrac {1}{2}}$ och ${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}} )$ består av en täljare , visas ovanför en linje (eller före ett snedstreck som 1 ⁄ 2 ), och en nämnare som inte är noll , visas under (eller efter) den raden. Täljare och nämnare används också i bråk som inte är vanliga , inklusive sammansatta bråk, komplexa bråk och blandade siffror.

I positiva vanliga bråk är täljaren och nämnaren naturliga tal . Täljaren representerar ett antal lika delar, och nämnaren anger hur många av dessa delar som utgör en enhet eller en helhet. Nämnaren kan inte vara noll, eftersom noll delar aldrig kan utgöra en helhet. Till exempel, i bråket 3/4 helhet . anger täljaren 3 att bråket representerar 3 lika delar, och nämnaren 4 anger att 4 delar utgör en Bilden till höger illustrerar 3/4 av . en tårta

En vanlig bråkdel är en siffra som representerar ett rationellt tal . Samma tal kan också representeras som en decimal , en procent eller med en negativ exponent . Till exempel är 0,01, 1 % och 10 ⁻² alla lika med bråkdelen 1/100. Ett heltal kan tänkas ha en implicit nämnare av en (till exempel 7 är lika med 7/1).

Andra användningsområden för bråk är att representera förhållanden och division . Således kan bråkdelen 3/4 3 ÷ också användas för att representera förhållandet 3:4 (förhållandet mellan delen och helheten), och divisionen 4 (tre dividerat med fyra). Regeln för nämnare som inte är noll, som gäller när man representerar en division som ett bråk, är ett exempel på regeln att division med noll är odefinierad.

Vi kan också skriva negativa bråk, som representerar motsatsen till ett positivt bråk. Till exempel 1/2 en förlust , representerar om 1/2 på en en vinst på en halv dollar, så representerar − halv dollar. På grund av reglerna för division av tecken med tecken (som delvis anger att negativt dividerat med positivt är negativt), representerar − 1 / 2 , −1 / 2 och 1 / −2 alla samma bråkdel - negativa hälften. Och eftersom ett negativt dividerat med ett negativt ger ett positivt, −1 / −2 positiva hälften.

Inom matematiken kallas mängden av alla tal som kan uttryckas i formen a / b , där a och b är heltal och b inte är noll, mängden rationella tal och representeras av symbolen Q , som står för kvot . Ett tal är ett rationellt tal just när det kan skrivas i den formen (dvs. som ett vanligt bråktal). Men ordet bråk kan också användas för att beskriva matematiska uttryck som inte är rationella tal. Exempel på dessa användningar inkluderar algebraiska bråk (kvotienter av algebraiska uttryck) och uttryck som innehåller irrationella tal , såsom ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (se kvadratroten ur 2 ) och π / 4 (se bevis på att π är irrationell ).

Ordförråd

Se även: Numeral (lingvistik) § Bråktal , och engelska siffror § Bråktal och decimaler

I ett bråk är antalet lika delar som beskrivs täljaren (från latin : numerātor , "räknare" eller "numberer"), och typen eller variationen av delarna är nämnaren ( från latin : dēnōminātor , "sak som namnger eller utser"). Som ett exempel uppgår bråkdelen 8/5 till åtta delar, som var och en är av typen som kallas "femte " . När det gäller division motsvarar täljaren utdelningen och nämnaren motsvarar divisorn .

Informellt kan täljaren och nämnaren särskiljas endast genom placering, men i formella sammanhang är de vanligtvis åtskilda av en bråkstapel . Bråkstapeln kan vara horisontell (som i 1 / 3 ), snett (som i 2/5) eller diagonal (som i 4 ⁄ 9 ). Dessa märken är kända som den horisontella stapeln; virgule, snedstreck ( US ) eller stroke ( UK ); och bråkstrecket, solidus eller bråksnedstreck . I typografi är bråk staplade vertikalt också kända som " en " eller " nötfraktioner ", och diagonala som " em " eller "fårköttsfraktioner", baserat på om ett bråk med en ensiffrig täljare och nämnare upptar andelen av en smal en kvadrat, eller en bredare em kvadrat. I traditionell typfounding var ett stycke av typ som bär en hel bråkdel (t.ex. 1/2 ) . känd som en "case bråkdel", medan de som representerar endast en del av bråkdelen kallades "bit bråkdelar"

Nämnarna för engelska bråk uttrycks i allmänhet som nämnaren ordningstal i , plural om täljaren inte är 1. (Till exempel Undantag 2 läses 2/5 och 3/5 båda som ett antal "femtedelar".) inkluderar , som alltid läses "halva" eller "halvor", nämnaren 4, som alternativt kan uttryckas som "fjärdedel"/"fjärdedelar" eller som "fjärde"/"fjärdedelar", och nämnaren 100, som alternativt kan uttryckas som "hundrade"/"hundradelar" eller " procent ".

När nämnaren är 1 kan den uttryckas i termer av "helheter" men ignoreras oftare, med täljaren utläst som ett heltal. Till exempel 3/1 " . beskrivas som "tre helheter", eller helt enkelt som "tre När täljaren är 1 kan den utelämnas (som i "en tiondel" eller "varje fjärdedel").

Hela bråket kan uttryckas som en enskild sammansättning, i vilket fall den är avstavad, eller som ett antal bråk med en täljare på ett, i vilket fall de inte är det. (Två femtedelar är till exempel bråkdelen 2/5 . ) Bråk och "två femtedelar" är samma bråkdel som tolkas som 2 instanser av 1/5 . bör alltid avstavas när de används som adjektiv Alternativt kan ett bråk beskrivas genom att läsa det som täljaren "över" nämnaren, med nämnaren uttryckt som ett kardinaltal . (Till exempel 3/1 om ett också uttryckas som "tre över en".) Termen "över" används även i fallet med solidusbråk, där talen placeras till vänster och höger snedstreck . (Till exempel kan 1/2 läsas "en halv", "en halv" eller "en över två".) Bråk med stora nämnare som inte är tiopotenser återges ofta på detta sätt (t.ex. 1 / 117 som "ett över hundra sjutton"), medan de med nämnare som är delbara med tio vanligtvis läses på normalt ordningssätt (t.ex. 6 / 1000000 som "sex miljondelar", "sex miljondelar" eller "sex en miljondelar" ").

Former av fraktioner

Enkla, vanliga eller vulgära bråk

Ett enkelt bråktal (även känt som ett vanligt bråktal eller vulgärt bråktal , där vulgärt är latin för "vanligt") är ett rationellt tal skrivet som a / b eller ${\tfrac {a}{b}}$ , där a och b båda är heltal . Som med andra bråk kan nämnaren ( b ) inte vara noll. Exempel inkluderar ${\tfrac {1}{2}}$ , $-{\tfrac {8}{5}}$ , ${\tfrac {-8 }{5}}$ och ${\tfrac {8}{-5}}$ . Termen användes ursprungligen för att skilja denna typ av fraktion från den sexagesimala fraktion som används inom astronomi.

Vanliga bråk kan vara positiva eller negativa, och de kan vara korrekta eller felaktiga (se nedan). Sammansatta bråk, komplexa bråk, blandade siffror och decimaler (se nedan) är inte vanliga bråk; men om de inte är irrationella kan de utvärderas till en vanlig bråkdel.

• Ett enhetsbråk är ett vanligt bråk med täljaren 1 (t.ex. ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}} )$ . Enhetsfraktioner kan också uttryckas med negativa exponenter, som i 2 ⁻¹ , som representerar 1/2, och 2 ⁻² , som representerar 1/(2 ² ) eller 1/4.
• Ett dyadisk bråk är ett vanligt bråk där nämnaren är en potens av två , t.ex. ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3} }}$ .

I Unicode finns förkomponerade bråktecken i Number Forms- blocket.

Rätta och oegentliga bråk

Vanliga fraktioner kan klassificeras som antingen korrekta eller olämpliga. När täljaren och nämnaren båda är positiva, kallas bråket egentligt om täljaren är mindre än nämnaren, och oegentligt annars. Begreppet "oegentligt bråk" är en sen utveckling, där terminologin härrör från det faktum att "bråk" betyder "en bit", så en egen bråkdel måste vara mindre än 1. Detta förklarades i 1600-talets lärobok The Ground of Arts .

I allmänhet sägs ett vanligt bråk vara ett egentligt bråk , om bråkets absoluta värde är strikt mindre än ett – det vill säga om bråket är större än −1 och mindre än 1. Det sägs vara ett oegentligt bråktal . bråk , eller ibland topptung bråkdel , om bråkets absoluta värde är större än eller lika med 1. Exempel på egentliga bråk är 2/3, −3/4 och 4/9, medan exempel på oegentliga bråk är 9 /4, −4/3 och 3/3.

Ömsesidighet och den "osynliga nämnaren"

Det reciproka av ett bråk är ett annat bråk med täljaren och nämnaren utbytta. Den reciproka av ${\tfrac {3}{7}}$ är till exempel ${\tfrac {7}{3}}$ . Produkten av en bråkdel och dess reciproka är 1, därför är den reciproka den multiplikativa inversen av en bråkdel. Det reciproka av ett eget bråk är oegentligt, och det reciproka för ett oegentligt bråk som inte är lika med 1 (det vill säga, täljare och nämnare är inte lika) är ett egenbråk.

När täljaren och nämnaren för ett bråk är lika (till exempel ${\tfrac {7}{7}}$ ), är dess värde 1, och bråket är därför oegentligt. Dess ömsesidiga är identisk och därmed lika med 1 och olämplig.

Vilket heltal som helst kan skrivas som ett bråk med talet ett som nämnare. Till exempel kan 17 skrivas som ${\displaystyle {\tfrac {17}{1}}} ,$ där 1 ibland hänvisas till som den osynliga nämnaren . Därför har varje bråkdel eller heltal, förutom noll, ett reciprokt. Till exempel. den reciproka av 17 är ${\tfrac {1}{17}}$ .

Förhållanden

Ett förhållande är ett förhållande mellan två eller flera tal som ibland kan uttryckas som ett bråktal. Vanligtvis grupperas och jämförs ett antal poster i ett förhållande, vilket numeriskt anger förhållandet mellan varje grupp. Förhållandena uttrycks som "grupp 1 till grupp 2 ... till grupp n ". Till exempel om en bilplats hade 12 fordon, varav

• 2 är vita,
• 6 är röda och
• 4 är gula,

då är förhållandet mellan röda till vita och gula bilar 6 till 2 till 4. Förhållandet mellan gula bilar och vita bilar är 4 till 2 och kan uttryckas som 4:2 eller 2:1.

Ett förhållande omvandlas ofta till ett bråktal när det uttrycks som ett förhållande till helheten. I exemplet ovan är förhållandet mellan gula bilar och alla bilar på tomten 4:12 eller 1:3. 1/3 av bilarna dessa förhållanden till en bråkdel och säga att 4/12 i . av bilarna eller partiet är gula Därför, om en person slumpmässigt valde en bil på tomten, så finns det en en på tre chans eller sannolikhet att den skulle vara gul.

Decimalbråk och procent

Ett decimalbråk är ett bråk vars nämnare inte anges explicit, utan uppfattas som en heltalspotens av tio. Decimalbråk uttrycks vanligtvis med decimalnotation där den implicita nämnaren bestäms av antalet siffror till höger om ett decimaltecken , vars utseende (t.ex. en punkt, ett interpunkt (·), ett komma) beror på locale (för exempel, se decimalavgränsare ). För 0,75 är alltså täljaren 75 och den implicita nämnaren är 10 i andra potens, nämligen 100, eftersom det finns två siffror till höger om decimalavgränsaren. I decimaltal större än 1 (som 3,75) bråkdelen av talet med siffrorna till höger om decimalen (med ett värde på 0,75 i detta fall). 3,75 kan skrivas antingen som ett oegentligt bråk, 375/100, eller som ett blandat tal, $3{\tfrac {75}{100}}$ .

Decimalbråk kan också uttryckas med hjälp av vetenskaplig notation med negativa exponenter, såsom 6,023 × 10 ⁻⁷ , vilket representerar 0,0000006023. 10 . ⁻⁷ representerar en nämnare på 10 ⁷ Att dividera med 10 ⁷ flyttar decimalkomma 7 platser till vänster.

Decimalbråk med oändligt många siffror till höger om decimalavgränsaren representerar en oändlig serie . Till exempel representerar 1/3 = 0,333 ... den oändliga serien 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Ett annat slags bråk är procenttalet (från latin : procent , som betyder "per hundra", representerat av symbolen %), där den antydda nämnaren alltid är 100. Således betyder 51% 51/100. Procentandelar som är större än 100 eller mindre än noll behandlas på samma sätt, t.ex. 311% är lika med 311/100 och -27% är lika med -27/100.

Det relaterade begreppet permille eller delar per tusen (ppt) har en underförstådd nämnare på 1000, medan den mer allmänna delen per notation, som i 75 delar per miljon (ppm), innebär att andelen är 75/1 000 000.

Om vanliga bråk eller decimalbråk används är ofta en fråga om smak och sammanhang. Vanliga bråk används oftast när nämnaren är relativt liten. Genom huvudräkning är det lättare att multiplicera 16 med 3/16 än att göra samma beräkning med bråkets decimalekvivalent (0,1875). Och det är mer exakt att multiplicera 15 med 1/3, till exempel, än att multiplicera 15 med någon decimal approximation av en tredjedel. Monetära värden uttrycks vanligtvis som decimalbråk med nämnaren 100, dvs med två decimaler, till exempel $3,75. Som nämnts ovan, i pre-decimal brittisk valuta, gavs shilling och pence ofta formen (men inte betydelsen) av ett bråk, som till exempel "3/6" (läs "tre och sex") som betyder 3 shilling och 6 pence, och har inget förhållande till bråket 3/6.

Blandade siffror

En blandad siffra (även kallad en blandad bråkdel eller blandad siffra ) är en traditionell beteckning av summan av ett heltal som inte är noll och ett egenbråk (som har samma tecken). Den används främst vid mätning: $2{\tfrac {3}{16}}$ tum, till exempel. Vetenskapliga mätningar använder nästan undantagslöst decimalnotation snarare än blandade tal. Summan kan antydas utan användning av en synlig operator, såsom lämpligt "+". Till exempel, när man hänvisar till två hela kakor och tre fjärdedelar av en annan kaka, kan siffrorna som anger heltalsdelen och bråkdelen av kakorna skrivas bredvid varandra som $2{\tfrac {3} {4}}$ istället för den entydiga notationen $2+{\tfrac {3}{4}}.$ Negativa blandade siffror, som i $-2{\tfrac {3}{4}}$ , behandlas som $\scriptstyle -\left(2+{\frac {3}{4}}\right).$ Varje sådan summa av en hel plus en del kan omvandlas till ett oegentligt bråk genom att tillämpa reglerna för att addera olika kvantiteter .

Denna tradition är formellt i konflikt med notationen i algebra där intilliggande symboler, utan en explicit infixoperator , betecknar en produkt. I uttrycket $2x$ är operationen "förstått" multiplikation. Om x ersätts av till exempel bråket ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} ,$ måste den "förstådda" multiplikationen ersättas med explicit multiplikation för att undvika uppkomsten av ett blandat tal.

När multiplikation är avsedd kan $2{\tfrac {b}{c}}$ skrivas som

$2\cdot {\frac {b}{c}},\quad$ eller $\quad 2\ gånger {\frac {b}{c}}, \quad$ eller $\quad 2\left({\frac {b}{c}}\right),\;\ldots$

Ett oegentligt bråk kan omvandlas till ett blandat tal enligt följande:

1. Använd euklidisk division (division med rest), dividera täljaren med nämnaren. I exemplet, ${\tfrac {11}{4}}$ , dividera 11 med 4. 11 ÷ 4 = 2 resterande 3.
2. Kvoten (utan resten) blir hela taldelen av det blandade talet . Resten blir täljaren för bråkdelen. I exemplet är 2 hela taldelen och 3 är täljaren för bråkdelen.
3. Den nya nämnaren är densamma som nämnaren för det oegentliga bråket. I exemplet är det 4. Således är ${\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ .

Historiska föreställningar

Egyptisk fraktion

Ett egyptiskt bråk är summan av distinkta positiva enhetsbråk, till exempel ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ . Denna definition härrör från det faktum att de gamla egyptierna uttryckte alla bråk utom ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ,$ 2 $\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ och ${\tfrac {3}{4}}$ på detta sätt. Varje positivt rationellt tal kan utökas som en egyptisk bråkdel. Till exempel ${\tfrac {5}{7}}$ skrivas som ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ Alla positiva rationella tal kan skrivas som summan av enhetsbråk på oändligt många sätt. Två sätt att skriva ${\tfrac {13}{17}}$ är ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{ 4}}+{\tfrac {1}{68}}$ och ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4} }+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$ .

Komplexa och sammansatta fraktioner

Ej att förväxla med komplexa tal .

I ett komplext bråk är antingen täljaren, eller nämnaren, eller båda, ett bråktal eller ett blandat tal, motsvarande division av bråk. Till exempel, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ och ${\frac {12{\ tfrac {3}{4}}}{26}}$ är komplexa bråk. För att reducera en komplex bråkdel till en enkel bråkdel, behandla den längsta bråklinjen som representerande division. Till exempel:

${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2} }\ gånger {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}$

${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26 }}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{ 26}}={\tfrac {51}{104}}$

${\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\ tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}$

${\frac { 8}{\tfrac {1}{3}}}=8\ gånger {\tfrac {3}{1}}=24.$

Om det i ett komplext bråk inte finns något unikt sätt att avgöra vilka bråklinjer som har företräde, är detta uttryck felaktigt format på grund av tvetydighet. Så 5/10/20/40 är inte ett giltigt matematiskt uttryck, på grund av flera möjliga tolkningar, t.ex.

$5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20} {40}}}}={\frac {1}{4}}\quad$ eller som $\quad (5/10) /(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1$

En sammansatt bråkdel är en bråkdel av en bråkdel, eller vilket antal fraktioner som helst som är kopplade till ordet av , motsvarande multiplikation av bråk. För att reducera en sammansatt fraktion till en enkel fraktion, utför bara multiplikationen (se avsnittet om multiplikation ). Till exempel ${\tfrac {3}{4}}$ av ${\tfrac {5}{7}}$ en sammansatt fraktion, motsvarande ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$ . Termerna sammansatt fraktion och komplex fraktion är nära besläktade och ibland används den ena som synonym för den andra. (Till exempel är den sammansatta fraktionen ${\tfrac {3}{4}}\ gånger {\tfrac {5}{7}}$ ekvivalent med den komplexa fraktionen ${\tfrac {3/4}{7/5}}$ .)

Ändå kan "komplex fraktion" och "sammansatt fraktion" båda anses föråldrade och nu användas på något väldefinierat sätt, delvis till och med synonymt för varandra eller för blandade siffror. De har förlorat sin betydelse som tekniska termer och attributen "komplex" och "sammansatt" tenderar att användas i deras dagliga betydelse av "består av delar".

Aritmetik med bråk

Liksom heltal följer bråk de kommutativa , associativa och distributiva lagarna och regeln mot division med noll .

Ekvivalenta fraktioner

Att multiplicera täljaren och nämnaren för ett bråk med samma (icke-noll) tal resulterar i ett bråk som är ekvivalent med det ursprungliga bråket. Detta är sant eftersom för alla tal som inte är noll ${\displaystyle n} är$ bråkdelen ${\tfrac {n}{n}}$ lika med $1$ . Därför är att multiplicera med ${\tfrac {n}{n}}$ detsamma som att multiplicera med ett, och vilket tal som helst multiplicerat med ett har samma värde som det ursprungliga talet. Som ett exempel, börja med bråket ${\tfrac {1}{2}}$ . När täljaren och nämnaren båda multipliceras med 2 blir resultatet ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}} ,$ vilket har samma värde (0,5) som ${\tfrac {1 }{2}}$ . För att föreställa dig detta visuellt, föreställ dig att skära en tårta i fyra delar; två av delarna tillsammans ( ${\tfrac {2}{4}}$ ) utgör halva kakan ( ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} )$ .

Förenkla (reducerande) bråk

Att dividera täljaren och nämnaren för ett bråk med samma tal som inte är noll ger ett ekvivalent bråk: om täljaren och nämnaren för ett bråk båda är delbara med ett tal (kallad faktor) som är större än 1, kan bråket reduceras till ett ekvivalent bråk med en mindre täljare och en mindre nämnare. Till exempel $, {\displaystyle c,}$ om både täljaren och nämnaren för bråket ${\tfrac {a}{b}}$ är delbara med så kan de skrivas som $a=cd$ och $b=ce,$ och bråkdelen blir ${\tfrac {cd}{ce}}$ , vilket kan reduceras genom att dividera både täljaren och nämnaren med $c$ för att ge den reducerade bråkdelen ${\tfrac {d}{e}}.$

Om man tar för c den största gemensamma delaren av täljaren och nämnaren, får man det ekvivalenta bråket vars täljare och nämnare har de lägsta absolutvärdena . En säger att fraktionen har reducerats till sina lägsta villkor .

Om täljaren och nämnaren inte delar någon faktor som är större än 1, är bråket redan reducerat till sina lägsta termer, och det sägs vara irreducible , reducerade eller i enklaste termer . Till exempel ${\tfrac {3}{9}}$ inte i lägsta termer eftersom både 3 och 9 kan delas exakt med 3. Däremot ${\tfrac {3} {8}}$ är i lägsta termer – det enda positiva heltal som går in i både 3 och 8 jämnt är 1.

Med dessa regler kan vi visa att ${\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10} {20}}={\tfrac {50}{100}}$ , till exempel.

Som ett annat exempel, eftersom den största gemensamma delaren för 63 och 462 är 21, kan bråkdelen ${\tfrac {63}{462}}$ reduceras till lägsta termer genom att dividera täljaren och nämnaren med 21:

${\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}} ={\tfrac {3}{22}}$

Den euklidiska algoritmen ger en metod för att hitta den största gemensamma delaren av två heltal.

Jämföra bråk

Att jämföra bråk med samma positiva nämnare ger samma resultat som att jämföra täljarna:

${\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}$ eftersom 3 > 2 och lika nämnare $4$ är ​​positiva.

Om lika nämnare är negativa, gäller det motsatta resultatet av att jämföra täljarna för bråken:

${\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\ text{ eftersom }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ och }}-3<-2.$

Om två positiva bråk har samma täljare, är bråket med den mindre nämnaren det större talet. När en helhet är uppdelad i lika delar, om färre lika delar behövs för att göra upp hela, måste varje bit vara större. När två positiva bråk har samma täljare representerar de samma antal delar, men i bråket med den mindre nämnaren är delarna större.

Ett sätt att jämföra bråk med olika täljare och nämnare är att hitta en gemensam nämnare. För att jämföra ${\tfrac {a}{b}}$ och ${\tfrac {c}{d}}$ konverteras dessa till ${ \tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ och ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ (där punkten betyder multiplikation och är en alternativ symbol till ×). Då bd en gemensam nämnare och täljarna ad och bc kan jämföras. Det är inte nödvändigt att bestämma värdet på den gemensamma nämnaren för att jämföra bråk – man kan bara jämföra ad och bc , utan att utvärdera bd , t.ex. jämföra ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ ger ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$ .

För den mer mödosamma frågan ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}},$ multiplicera toppen och botten av varje bråkdel med nämnaren för det andra bråket för att få en gemensam nämnare, vilket ger ${ \tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$ . Det är inte nödvändigt att beräkna $18\times 17$ – bara täljarna behöver jämföras. Eftersom 5×17 (= 85) är större än 4×18 (= 72), är resultatet av jämförelsen 5 $\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{ 17}}}$ .

Eftersom varje negativt tal, inklusive negativa bråk, är mindre än noll, och varje positivt tal, inklusive positiva bråk, är större än noll, följer det att varje negativ bråkdel är mindre än vilket positivt bråk som helst. Detta gör det möjligt, tillsammans med ovanstående regler, att jämföra alla möjliga fraktioner.

Tillägg

Den första regeln för addition är att endast lika kvantiteter kan läggas till; till exempel olika kvantiteter av fjärdedelar. Till skillnad från kvantiteter, som att lägga till tredjedelar till fjärdedelar, måste först omvandlas till liknande kvantiteter enligt beskrivningen nedan: Föreställ dig en ficka som innehåller två fjärdedelar och en annan ficka som innehåller tre fjärdedelar; totalt är det fem fjärdedelar. Eftersom fyra fjärdedelar motsvarar en (dollar) kan detta representeras på följande sätt:

${\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{ \tfrac {1}{4}}$ .

Om ${\tfrac {1}{2}}$ av en tårta ska läggas till ${\tfrac {1}{4}}$ av en tårta, måste bitarna vara omräknat till jämförbara kvantiteter, såsom tårtåttondelar eller kakkvartsdelar.

Lägger till olika mängder

För att lägga till fraktioner som innehåller olika kvantiteter (t.ex. fjärdedelar och tredjedelar) är det nödvändigt att omvandla alla mängder till liknande kvantiteter. Det är lätt att räkna ut vilken typ av bråk som ska konverteras till; multiplicera helt enkelt de två nämnarna (det nedersta talet) för varje bråkdel. I fallet med ett heltal, använd den osynliga nämnaren $1.$

För att lägga till fjärdedelar till tredjedelar omvandlas båda typerna av bråk till tolftedelar, alltså:

${\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\ gånger 4}{3\ gånger 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$

Överväg att lägga till följande två kvantiteter:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

Konvertera först ${\tfrac {3}{5}}$ till femtondelar genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med tre: ${\tfrac {3}{5 }}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$ . Eftersom ${\tfrac {3}{3}}$ är lika med 1, ändrar inte multiplikation med ${\tfrac {3}{3}}$ värdet på bråket.

För det andra, omvandla ${\tfrac {2}{3}}$ till femtondelar genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med fem: ${\tfrac {2}{3 }}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$ .

Nu kan man se att:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

är ekvivalent med:

${\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{ \frac {4}{15}}$

Denna metod kan uttryckas algebraiskt:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$

Denna algebraiska metod fungerar alltid, och garanterar därmed att summan av enkla bråk alltid återigen är ett enkelt bråk. Men om de enskilda nämnarna innehåller en gemensam faktor kan en mindre nämnare än produkten av dessa användas. Till exempel, när man lägger till ${\tfrac {3}{4}}$ och ${\tfrac {5}{6}}$ har de enskilda nämnarna en gemensam faktor $2,$ och därför, istället för nämnaren 24 (4 × 6), kan den halverade nämnaren 12 användas, vilket inte bara minskar nämnaren i resultatet, utan även faktorerna i täljaren.

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+ {\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}} \\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{ \frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}$

Den minsta möjliga nämnaren ges av den minsta gemensamma multipeln av de enskilda nämnarna, vilket är resultatet av att dividera rotemultipeln med alla gemensamma faktorer för de enskilda nämnarna. Detta kallas den minsta gemensamma nämnaren.

Subtraktion

Processen för att subtrahera bråk är i huvudsak densamma som att addera dem: hitta en gemensam nämnare och ändra varje bråk till ett ekvivalent bråk med den valda gemensamma nämnaren. Det resulterande bråket kommer att ha den nämnaren, och dess täljare kommer att vara resultatet av att subtrahera täljarna för de ursprungliga bråken. Till exempel,

${\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}- {\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}$

Multiplikation

Multiplicera ett bråk med ett annat bråk

För att multiplicera bråk, multiplicera täljarna och multiplicera nämnarna. Således:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}$

För att förklara processen, överväg en tredjedel av en fjärdedel. Med exemplet med en tårta, om tre små lika stora skivor utgör en fjärdedel, och fyra fjärdedelar utgör en helhet, utgör tolv av dessa små, lika stora skivor en helhet. Därför är en tredjedel av en fjärdedel en tolftedel. Tänk nu på täljarna. Den första bråkdelen, två tredjedelar, är dubbelt så stor som en tredjedel. Eftersom en tredjedel av en fjärdedel är en tolftedel, är två tredjedelar av en fjärdedel två tolftedelar. Den andra fraktionen, tre fjärdedelar, är tre gånger så stor som en fjärdedel, så två tredjedelar av tre fjärdedelar är tre gånger så stor som två tredjedelar av en fjärdedel. Två tredjedelar gånger tre fjärdedelar är alltså sex tolftedelar.

En genväg för att multiplicera bråk kallas "avbrytning". Effektivt reduceras svaret till lägsta termer under multiplikation. Till exempel:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}= {\frac {{\avbryt {2}}^{~1}}{{\avbryt {3}}^{~1}}}\ gånger {\frac {{\avbryt {3}}^{~1} }{{\avbryt {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\ gånger {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

En tvåa är en gemensam faktor i både täljaren för det vänstra bråket och nämnaren för det högra och är uppdelat på båda. Tre är en gemensam faktor för vänster nämnare och höger täljare och är uppdelad på båda.

Multiplicera ett bråk med ett heltal

Eftersom ett heltal kan skrivas om som sig självt dividerat med 1, kan normala bråkmultiplikationsregler fortfarande gälla.

$6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4 }}={\tfrac {18}{4}}$

Denna metod fungerar eftersom bråkdelen 6/1 betyder sex lika delar, som var och en är en helhet.

Multiplicera blandade tal

När man multiplicerar blandade tal anses det vara att föredra att omvandla det blandade talet till ett oegentligt bråk. Till exempel:

$3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times \left ({\frac {8}{4}}+{\frac {3}{4}}\right)=3\ gånger {\frac {11}{4}}={\frac {33}{4}} =8{\frac {1}{4}}$

Med andra ord, $2{\tfrac {3}{4}}$ är samma som ${\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3 }{4}}$ , vilket ger 11 fjärdedelar totalt (eftersom 2 kakor, varje uppdelad i fjärdedelar ger 8 fjärdedelar totalt) och 33 fjärdedelar är $8{\tfrac {1}{4}}$ , eftersom 8 kakor, var och en gjord av kvartsdelar, är 32 kvarts totalt.

Division

För att dividera ett bråk med ett heltal kan du antingen dividera täljaren med talet, om det går jämnt in i täljaren, eller multiplicera nämnaren med talet. Till exempel, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ är lika med ${\tfrac {2}{3}}$ och är också lika med ${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}} ,$ vilket minskar till ${\tfrac {2}{3}}$ . För att dividera ett tal med ett bråk, multiplicera det talet med det ömsesidiga av bråket. Således, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={ \tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ .

Omvandling mellan decimaler och bråktal

För att ändra en vanlig bråkdel till en decimal, gör en lång division av täljarens decimalrepresentationer med nämnaren (detta uttrycks idiomatiskt också som "dela nämnaren i täljaren"), och avrunda svaret till önskad noggrannhet. Om du till exempel vill ändra 1/4 till . 1,00 en decimal dividerar du med 4 ( " 4 till 1,00 ") för att få 0,25 För att ändra 1/3 1,000 4 till en decimal, dividera 1,000... med 3 (" 3 till ... ") och stoppa när önskad noggrannhet erhålls, t.ex. vid decimaler med 0,3333 . Bråket 1/4 siffror . kan skrivas exakt med två decimalsiffror, medan bråktalet 1/3 inte kan skrivas exakt som en decimal med ett ändligt antal För att ändra en decimal till ett bråktal, skriv i nämnaren en 1 följt av lika många nollor som det finns siffror till höger om decimalkomma, och skriv i täljaren alla siffror i den ursprungliga decimalen, bara utelämna decimalkomma. Alltså $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.$

Konvertera upprepade decimaler till bråk

Ytterligare information: Decimalrepresentation § Omvandling till bråk

Se även: Upprepad decimal

Decimaltal, även om de är mer användbara att arbeta med när man utför beräkningar, saknar ibland precisionen som vanliga bråk har. Ibland krävs en oändligt upprepad decimal för att uppnå samma precision. Därför är det ofta användbart att omvandla upprepade decimaler till bråk.

Ett vanligt sätt att indikera en upprepad decimal är att placera en stapel (känd som ett vinculum ) över siffrorna som upprepas, till exempel 0. 789 = 0,789789789... För upprepade mönster som börjar omedelbart efter decimalkomma, resultatet av omvandling är bråket med mönstret som en täljare, och samma antal nio som en nämnare. Till exempel:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

Om inledande nollor föregår mönstret, suffixeras niorna med samma antal efterföljande nollor :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Om en icke-repeterande uppsättning decimaler föregår mönstret (som 0,1523 987 ), kan man skriva talet som summan av de icke-repeterande respektive repeterande delarna:

0,1523 + 0,0000 987

Konvertera sedan båda delarna till bråk och lägg till dem med metoderna som beskrivs ovan:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternativt kan algebra användas, såsom nedan:

1. Låt x = den upprepade decimalen:

   x = 0,1523 987

2. Multiplicera båda sidor med potensen 10 precis tillräckligt stor (i det här fallet 10 ⁴ ) för att flytta decimalkomma strax före den upprepande delen av decimaltalet:

   10 000 x = 1 523. 987

3. Multiplicera båda sidor med potensen 10 (i det här fallet 10 ³ ) som är samma som antalet platser som upprepas:

   10 000 000 x = 1 523 987. 987

4. Subtrahera de två ekvationerna från varandra (om a = b och c = d , då a − c = b − d ):

   10 000 000 x − 10 000 x = 1 523 987. 987 - 1,523. 987

5. Fortsätt subtraktionen för att rensa den upprepade decimalen:

   9 990 000 x = 1 523 987 − 1 523

   9 990 000 x = 1 522 464

6. Dividera båda sidor med 9 990 000 för att representera x som en bråkdel

   x = 1522464 / 9990000

Bråk i abstrakt matematik

Förutom att vara av stor praktisk betydelse, studeras bråk även av matematiker, som kontrollerar att reglerna för bråk som ges ovan är konsekventa och tillförlitliga . Matematiker definierar en bråkdel som ett ordnat par $(a,b)$ av heltal $a$ och $b\neq 0,$ för vilka operationerna addition , subtraktion , multiplikation och division definieras enligt följande:

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,$

$(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$

$(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{med, dessutom, }}c\neq 0 )$

Dessa definitioner överensstämmer i alla fall med definitionerna ovan; bara notationen är annorlunda. Alternativt, istället för att definiera subtraktion och division som operationer, kan de "inversa" bråken med avseende på addition och multiplikation definieras som:

${\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additiva inversa bråk,}}\\&&&{\text{med }}(0,b){ \text{ som additiva enheter, och}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplikativa inversa bråk, för }}a\neq 0,\\&&&{ \text{med }}(b,b){\text{ som multiplikativa enheter}}.\end{aligned}}$

Vidare är förhållandet , specificerat som

$(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,$

är ett ekvivalensförhållande av bråk. Varje bråkdel från en ekvivalensklass kan betraktas som en representant för hela klassen, och varje hel klass kan betraktas som en abstrakt bråkdel. Denna ekvivalens bevaras av de ovan definierade operationerna, dvs. resultaten av operationer på fraktioner är oberoende av valet av representanter från deras ekvivalensklass. Formellt, för addition av fraktioner

$(a,b)\sim (a',b')\quad$ och $\quad (c,d)\sim (c',d')\quad$ antyder

$((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))$

och liknande för övriga operationer.

tas bråken a / b med a och b coprime och b > 0 ofta som unikt bestämda representanter för deras ekvivalenta bråk, som anses vara samma rationella tal. På detta sätt utgör bråken av heltal fältet för de rationella talen.

Mer generellt kan a och b vara element i vilken integral domän R som helst , i vilket fall en bråkdel är ett element i fältet av bråk av R . Till exempel, polynom i en obestämd, med koefficienter från någon integraldomän D , är själva en integraldomän, kalla det P . Så för a- och b -element av P är det genererade bråkfältet fältet för rationella bråk (även känt som fältet för rationella funktioner ).

Algebraiska bråk

Huvudartikel: Algebraisk bråkdel

En algebraisk bråkdel är den angivna kvoten av två algebraiska uttryck . Som med bråkdelar av heltal kan nämnaren för en algebraisk bråkdel inte vara noll. Två exempel på algebraiska bråk är ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ och ${\ frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ . Algebraiska bråk är föremål för samma fältegenskaper som aritmetiska bråk.

Om täljaren och nämnaren är polynom , som i ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}},$ kallas den algebraiska bråkdelen en rationell bråkdel (eller rationellt uttryck ). Ett irrationellt bråk är ett som inte är rationellt, som till exempel ett som innehåller variabeln under en bråkexponent eller rot, som i ${\frac {\sqrt {x+2} }{x^{2}-3}}$ .

Terminologin som används för att beskriva algebraiska bråk liknar den som används för vanliga bråk. Till exempel är ett algebraiskt bråk i lägsta termer om de enda faktorerna som är gemensamma för täljaren och nämnaren är 1 och −1. En algebraisk bråkdel vars täljare eller nämnare, eller båda, innehåller ett bråk, till exempel ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\ tfrac {1}{x}}}}$ , kallas en komplex bråkdel .

Fältet för rationella tal är fältet av bråkdelar av heltalen, medan heltalen i sig inte är ett fält utan snarare en integral domän . På liknande sätt bildar de rationella bråken med koefficienter i ett fält fältet av bråkdelar av polynom med koefficient i det fältet. Med tanke på de rationella bråken med reella koefficienter är radikala uttryck som representerar tal, såsom $\textstyle {\sqrt {2}}/2,$ också rationella bråk, liksom transcendentala tal som ${\textstyle \pi /2,}$ eftersom alla ${\sqrt {2}},\pi ,$ och $2$ är reella tal och därför betraktas som koefficienter. Dessa samma tal är dock inte rationella bråk med heltalskoefficienter .

Termen partiell bråk används vid nedbrytning av rationella bråk till summor av enklare bråk. Till exempel kan den rationella bråkdelen ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ dekomponeras som summan av två bråk: ${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.} Detta$ är användbart för beräkning av antiderivator av rationella funktioner (se partiell bråkuppdelning för mer).

Radikala uttryck

Huvudartiklar: N:te roten och rationalisering (matematik)

Ett bråk kan också innehålla radikaler i täljaren eller nämnaren. Om nämnaren innehåller radikaler kan det vara till hjälp att rationalisera den (jämför Förenklad form av ett radikalt uttryck ), särskilt om ytterligare operationer, som att lägga till eller jämföra den bråkdelen med en annan, ska utföras. Det är också bekvämare om uppdelningen ska göras manuellt. När nämnaren är en monomisk kvadratrot, kan den rationaliseras genom att multiplicera både toppen och botten av bråket med nämnaren:

${\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac { \sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}$

Processen för rationalisering av binomiala nämnare innebär att man multiplicerar toppen och botten av en bråkdel med konjugatet av nämnaren så att nämnaren blir ett rationellt tal. Till exempel:

${\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\ frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^ {2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}$

${\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3} {3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3( 3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}$

Även om denna process resulterar i att täljaren är irrationell, som i exemplen ovan, kan processen ändå underlätta efterföljande manipulationer genom att minska antalet irrationaliteter man måste arbeta med i nämnaren.

Typografiska variationer

Se även: Slash § Kodning

I datorskärmar och typografi skrivs enkla bråk ibland ut som ett enda tecken, t.ex. ½ ( en halv ). Se artikeln om nummerformulär för information om hur du gör detta i Unicode .

Vetenskaplig publicering särskiljer fyra sätt att sätta bråk, tillsammans med riktlinjer för användning:

• Specialbråk : bråk som presenteras som ett enda tecken med en lutande stapel, med ungefär samma höjd och bredd som andra tecken i texten. Används vanligtvis för enkla bråk, såsom: ½, ⅓, ⅔, ¼ och ¾. Eftersom siffrorna är mindre kan läsbarhet vara ett problem, särskilt för små teckensnitt. Dessa används inte i modern matematisk notation, utan i andra sammanhang.
• Kasusbråk : liknar specialbråk, dessa återges som ett enda typografiskt tecken, men med ett horisontellt streck, vilket gör dem upprättstående . Ett exempel skulle vara ${\tfrac {1}{2}}$ , men renderad med samma höjd som andra tecken. Vissa källor inkluderar all återgivning av bråk som skiftlägesbråk om de bara tar ett typografiskt utrymme, oavsett stapelns riktning.
• Shilling eller solidus fraktioner : 1/2, så kallad eftersom denna notation användes för pre-decimal brittisk valuta ( £sd ), som i "2/6" för en halv krona , vilket betyder två shilling och sex pence. Medan notationen "två shilling och sex pence" inte representerade ett bråk, används det framåtgående snedstrecket nu i bråk, särskilt för bråk i linje med prosa (snarare än att visas), för att undvika ojämna linjer. Det används också för fraktioner inom fraktioner ( komplexa fraktioner ) eller inom exponenter för att öka läsbarheten. Bråk skrivna på det här sättet, även känd som styckbråk , skrivs alla på en typografisk rad, men tar 3 eller fler typografiska mellanslag.
• Uppbyggda bråk : ${\frac {1}{2}}$ . Denna notation använder två eller flera rader med vanlig text och resulterar i en variation i avståndet mellan raderna när det ingår i annan text. Även om de är stora och läsbara kan de vara störande, särskilt för enkla fraktioner eller inom komplexa fraktioner.

Historia

De tidigaste bråken var reciproka av heltal : gamla symboler som representerade en del av två, en del av tre, en del av fyra, och så vidare. Egyptierna använde egyptiska bråk c. 1000 f.Kr. För cirka 4000 år sedan delade egyptierna med fraktioner med lite olika metoder. De använde minsta gemensamma multipel med enhetsbråk . Deras metoder gav samma svar som moderna metoder. Egyptierna hade också en annan notation för dyadiska bråk i Akhmim trätavlan och flera Rhind matematiska papyrusproblem .

Grekerna använde enhetsbråk och (senare) fortsatta bråk . Anhängare av den grekiske filosofen Pythagoras ( ca 530 f.Kr.) upptäckte att kvadratroten ur två inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal . (Detta tillskrivs vanligen, men förmodligen felaktigt, till Hippasus från Metapontum , som sägs ha avrättats för att ha avslöjat detta faktum.) År 150 f.Kr. skrev Jain -matematiker i Indien " Sthananga Sutra ", som innehåller arbete om talteorin, aritmetiska operationer och operationer med fraktioner.

Ett modernt uttryck av fraktioner som kallas bhinnarasi verkar ha sitt ursprung i Indien i arbetet av ca 500 e.Kr. ) , Brahmagupta ( ca 628 ) och Bhaskara ( ca 1150 ) Deras verk bildar bråk genom att placera täljarna ( sanskrit : amsa ) över nämnarna ( cheda ), men utan ett streck mellan dem. I sanskritlitteraturen uttrycktes bråk alltid som ett tillägg till eller subtraktion från ett heltal. Heltalet skrevs på en rad och bråkdelen i dess två delar på nästa rad. Om bråket markerades med en liten cirkel ⟨०⟩ eller kors ⟨+⟩, subtraheras det från heltal; om inget sådant tecken uppträder, förstås det vara tillagt. Till exempel, Bhaskara I skriver:

६ १ २

१ १ १ _०

४ ५ ९

vilket är motsvarigheten till

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

och skulle skrivas i modern notation som 6 1 / 4 , 1 1 / 5 och 2 − 1 / 9 (dvs. 1 8 / 9 ).

Den horisontella bråkstapeln intygas först i arbetet av Al-Hassār ( fl. 1200 ), en muslimsk matematiker från Fez , Marocko , som specialiserat sig på islamisk arvsrättsvetenskap . I sin diskussion skriver han: "till exempel, om du blir tillsagd att skriva tre femtedelar och en tredjedel av en femtedel, skriv så, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3 }}$ ". Samma bråknotation - med bråket före heltal - visas strax efter i Leonardo Fibonaccis arbete på 1200-talet.

När du diskuterar ursprunget till decimalbråk , säger Dirk Jan Struik :

Införandet av decimalbråk som en vanlig beräkningspraxis kan dateras tillbaka till den flamländska broschyren De Thiende , publicerad i Leyden 1585, tillsammans med en fransk översättning, La Disme , av den flamländska matematikern Simon Stevin (1548–1620), sedan bosatte sig i norra Nederländerna . Det är sant att decimalbråk användes av kineserna många århundraden före Stevin och att den persiske astronomen Al-Kāshī använde både decimal- och sexagesimalbråk med stor lätthet i sin nyckel till aritmetik ( Samarkand , tidigt 1400-tal).

Medan den persiske matematikern Jamshīd al-Kāshī påstod sig ha upptäckt decimalbråk själv på 1400-talet, konstaterar J. Lennart Berggren att han hade fel, eftersom decimalbråk först användes fem århundraden före honom av baghdadi-matematikern Abu'l - Hasan al. -Uqlidisi redan på 900-talet.

Icke formell utbildning

Pedagogiska verktyg

I grundskolor har fraktioner demonstrerats genom Cuisenaire-stavar , bråkstavar, bråkremsor, bråkcirklar, papper (för att vika eller skära), mönsterblock , pajformade bitar, plastrektanglar, rutpapper, prickpapper, geoboards , diskar och datormjukvara.

Dokument för lärare

Flera delstater i USA har antagit inlärningsbanor från Common Core State Standards Initiatives riktlinjer för matematikundervisning. Förutom att sekvensera inlärningen av bråk och operationer med bråk, ger dokumentet följande definition av ett bråk: "Ett tal som kan uttryckas i formen $a$ / $b$ där $a$ är ett heltal och $b$ är ett positivt heltal. (Ordet bråk i dessa standarder hänvisar alltid till ett icke-negativt tal.)" Själva dokumentet hänvisar också till negativa bråk.

Se även

• Korsmultiplikation
• 0,999...
• Flera olika
• FRACTRAN

Nummersystem Komplex $:\;\mathbb {C}$ Real $:\;\mathbb {R}$ Rationell $:\;\mathbb {Q}$ Heltal $:\;\mathbb {Z}$ Naturlig $:\;\mathbb {N}$ Noll : 0 Ett : 1 Primtal Sammansatta tal Negativa heltal Fraktion Finit decimal Dyadisk (ändlig binär) Upprepad decimal Irrationell Algebraisk irrationell Transcendental Imaginär

externa länkar

• "Bråk, aritmetiskt" . The Online Encyclopaedia of Mathematics .
• "Bråkdel" . Encyclopædia Britannica .