Arf invariant

Arf och en formel för Arf-invarianten visas på baksidan av 2009 års turkiska 10-lirasedlar

Inom matematik definierades Arf-invarianten av en icke-singular kvadratisk form över ett fält med karakteristik 2 av den turkiske matematikern Cahit Arf ( 1941 ) när han startade den systematiska studien av kvadratiska former över godtyckliga fält med karakteristik 2. Arf-invarianten är ersättningen, i egenskap 2, för diskriminanten för kvadratiska former i karakteristik inte 2. Arf använde bland annat sin invariant i sin strävan att klassificera kvadratiska former i karakteristik 2.

I specialfallet med 2-elementsfältet F ₂ kan Arf-invarianten beskrivas som det element av F ₂ som förekommer oftast bland formens värden. Två icke singulära kvadratiska former över F ₂ är isomorfa om och endast om de har samma dimension och samma Arf-invariant. Detta faktum var i huvudsak känt för Leonard Dickson ( 1901 ), även för alla ändliga fält av egenskap 2, och Arf bevisade det för ett godtyckligt perfekt fält .

Arf-invarianten används särskilt i geometrisk topologi , där den främst används för att definiera en invariant av (4 k + 2) -dimensionella grenrör ( enkelt jämna -dimensionella grenrör : ytor (2-grenrör), 6-grenrör, 10-grenrör , etc.) med viss ytterligare struktur som kallas inramning , och därmed Arf–Kervaire-invarianten och Arf-invarianten av en knut . Arf-invarianten är analog med signaturen för ett grenrör , som definieras för 4 k -dimensionella grenrör ( dubbelt jämnt -dimensionella); denna 4-faldiga periodicitet motsvarar L-teorins 4-faldiga periodicitet . Arf-invarianten kan också definieras mer generellt för vissa 2 k -dimensionella grenrör.

Definitioner

Arf-invarianten definieras för en kvadratisk form q över ett fält K med karakteristik 2 så att q är ickesingular, i den meningen att den associerade bilinjära formen $b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)$ är icke degenererad . Formen $b$ är alternerande eftersom K har egenskap 2; det följer att en icke-singular kvadratisk form i egenskap 2 måste ha en jämn dimension. Varje binär (2-dimensionell) icke-singular kvadratisk form över K är ekvivalent med en form $q(x,y)=ax^{2}+ xy+by^{2}$ med $a,b$ i K . Arf-invarianten definieras som produkten $ab$ . Om formen $q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2 }$ är ekvivalent med $q(x,y)$ , då skiljer sig produkterna $ab$ och $a'b'$ med ett element av formen $u^{2}+u$ med $u$ i K . Dessa element bildar en additiv undergrupp U av K . Följaktligen är coseten för $ab$ modulo U en invariant av ${\displaystyle q} ,$ vilket betyder att den inte ändras när $q$ ersätts med en ekvivalent form.

Varje ickesingular kvadratisk form $q$ över K är ekvivalent med en direkt summa $q=q_{1}+\cdots +q_{r}$ av ickesingular binära former. Detta visades av Arf, men det hade tidigare observerats av Dickson i fallet med finita fält med karakteristik 2. Arf-invarianten Arf( $q$ ) definieras som summan av Arf-invarianterna för $q_{i}$ . Per definition är detta en coset av K modulo U . Arf visade att $\operatorname {Arf} (q)$ verkligen inte ändras om $q$ ersätts med en ekvivalent kvadratisk form, vilket vill säga att den är en invariant av $q$ .

Arf-invarianten är additiv; med andra ord, Arf-invarianten av en ortogonal summa av två kvadratiska former är summan av deras Arf-invarianter.

För ett fält K med karakteristik 2 identifierar Artin-Schreier-teorin kvotgruppen av K av undergruppen U ovan med Galois-kohomologigruppen H 1 ⁽ K , F 2 ₎ . Med andra ord är elementen som inte är noll i K / U i en-till-en-överensstämmelse med de separerbara kvadratiska förlängningsfälten för K . Så Arf-invarianten för en icke-singular kvadratisk form över K är antingen noll eller så beskriver den ett separerbart kvadratiskt förlängningsfält av K . Detta är analogt med diskriminanten för en ickesingular kvadratisk form över ett fält F med karakteristiken inte 2. I det fallet tar diskriminanten värden i F ^* /( F ^* ) ² , som kan identifieras med H ¹ ( F , F ₂ ) av Kummer teori .

Arfs huvudresultat

Om fältet K är perfekt, så bestäms varje icke-singular kvadratisk form över K unikt (upp till ekvivalens) av dess dimension och dess Arf-invariant. I synnerhet gäller detta fältet F2 _. I detta fall är undergruppen U ovan noll, och därför är Arf-invarianten ett element i basfältet F ₂ ; det är antingen 0 eller 1.

Om fältet K för egenskap 2 inte är perfekt (det vill säga K skiljer sig från dess delfält K ² av kvadrater), så är Clifford-algebra en annan viktig invariant av en kvadratisk form. En korrigerad version av Arfs ursprungliga påstående är att om graden [ K : K ² ] är högst 2, så kännetecknas varje kvadratisk form över K helt av sin dimension, sin Arf-invariant och sin Clifford-algebra. Exempel på sådana fält är funktionsfält (eller potensseriefält ) av en variabel över perfekta basfält.

Kvadratiska former över F ₂

Över F ₂ är Arf-invarianten 0 om den kvadratiska formen är ekvivalent med en direkt summa av kopior av den binära formen ${\displaystyle xy} ,$ och den är 1 om formen är en direkt summa av $x^{2}+xy+y^{2}$ med ett antal kopior av $xy$ .

William Browder har kallat Arf-invarianten för den demokratiska invarianten eftersom det är det värde som oftast antas av den kvadratiska formen. En annan karakterisering: q har Arf-invariant 0 om och endast om det underliggande 2 k -dimensionella vektorutrymmet över fältet F ₂ har ett k -dimensionellt delrum på vilket q är identiskt 0 – det vill säga ett totalt isotropiskt delrum på halva dimensionen. Med andra ord, en icke-singular kvadratisk form av dimensionen 2 k har Arf-invariant 0 om och endast om dess isotropiindex är k (detta är den maximala dimensionen för ett totalt isotropt delrum av en icke-singular form).

Arf-invarianten i topologi

Låt M vara ett kompakt , sammankopplat 2 k -dimensionellt grenrör med en gräns $\partial M$ så att de inducerade morfismerna i $\mathbb {Z} _{2}$ -koefficienthomologi

$H_{k}( M,\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k-1}(\partial M;\mathbb {Z} _{2}),\quad H_{k}(\partial M ;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$

är båda noll (t.ex. om $M$ är stängd). Korsningsformen _

$\lambda :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\ gånger H_{k }(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}$

är icke-singular. (Topologer skriver vanligtvis F ₂ som $\mathbb {Z} _{2}$ .) En kvadratisk förfining för $\lambda$ är en funktion $\mu :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}$ som uppfyller

$\mu (x+y) +\mu (x)+\mu (y)\equiv \lambda (x,y){\pmod {2}}\;\forall \,x,y\in H_{k}(M;\mathbb {Z } _{2})$

Låt $\{x,y\}$ vara vilket 2-dimensionellt delrum som helst av $H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2 })$ , så att $\lambda (x,y)=1$ . Sedan finns det två möjligheter. Antingen är alla $\mu (x+y),\mu (x),\mu (y)$ 1, eller så är bara en av de är 1, och de andra två är 0. Kalla det första fallet $H^{1,1}$ , och det andra fallet $H^{0,0}$ . Eftersom varje form är ekvivalent med en symbolisk form, kan vi alltid hitta delrymden $\{x,y\}$ där x och y är $\lambda$ -dual. Vi kan därför dela $H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$ i en direkt summa av delrum som är isomorfa till antingen $H^{ 0,0}$ eller $H^{1,1}$ . Dessutom, genom en smart förändring av basen, $H^{0,0}\oplus H^{0,0}\cong H^{1,1}\oplus H^{1,1}.$ Vi definierar därför Arf-invarianten

$\operatorname {Arf} (H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2});\mu )=({\text{antal kopior av }}H^{1,1}{ \text{ i en nedbrytningsmod 2}})\in \mathbb {Z} _{2}.$

Exempel

• Låt $M$ vara ett kompakt, anslutet, orienterat 2-dimensionellt grenrör , dvs en yta , av släktet $g$ så att gränsen $\partial M$ antingen är tom eller är ansluten . Bädda in $​​{\displaystyle M} i$$S^{m}$ , där $m\geq 4$ . Välj en inramning av M , det vill säga en trivialisering av det normala ( m − 2)-planets vektorbunt . (Detta är möjligt för $m=3$ , så det är säkert möjligt för $m\geq 4$ ). Välj en symbolisk grund $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2g-1},x_{2g}$ för $H_{1}(M)=\mathbb {Z} ^{2g}$ . Varje baselement representeras av en inbäddad cirkel $x_{i}:S^{1}\subset M$ . Det normala ( m − 1)-planets vektorbunt av $S^{1}\subset M\subset S^{m}$ har två trivialiseringar, en bestäms av en standardinramning av en standardinbäddning $S^{1}\subset S^{m}$ och en som bestäms av inramningen av M , som skiljer sig med en karta $S^{1}\to SO(m-1)$ dvs ett element av $\pi _{1}(SO(m-1))\ cong \mathbb {Z} _{2}$ för $m\geq 4$ . Detta kan också ses som den inramade kobordismklassen för $S^{1}$ med denna inramning i den 1-dimensionella inramade kobordismgruppen $\Omega _{1}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-1})\,(m\geq 4)\cong \mathbb { Z} _{2}$ , som genereras av cirkeln $S^{1}$ med Lie-gruppens inramning. Isomorfismen här är via Pontrjagin-Thom-konstruktionen . Definiera $\mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}$ för att vara detta element. Arf-invarianten för den inramade ytan definieras nu

${\displaystyle \Phi (M)=\operatörsnamn {Arf} ( H_{1}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2});\mu )\in \mathbb {Z} _{2}} Observera$

att $\pi _{1}(SO(2))\cong \mathbb {Z} ,$ så vi var tvungna att stabilisera oss och ta $m$ till minst 4 för att få ett element av $\mathbb {Z} _{2}$ . Fallet $m=3$ är också tillåtet så länge vi tar resten modulo 2 av inramningen.

• Arf-invarianten $\Phi (M)$ för en inramad yta detekterar om det finns ett 3-grenrör vars gräns är den givna ytan som förlänger den givna inramningen. Detta beror på att $H^{1,1}$ inte binder. $H^{1,1}$ representerar en torus $T^{2}$ med en trivialisering på båda generatorerna av $H_{ 1}(T^{2};\mathbb {Z} _{2})$ som vrider sig ett udda antal gånger. Nyckelfaktumet är att fram till homotopi finns det två val av trivialisering av en trivial 3-plansbunt över en cirkel, motsvarande de två elementen i $\pi _{1}( SO(3))$ . Ett udda antal vändningar, känd som Lie-gruppens inramning, sträcker sig inte över en skiva, medan ett jämnt antal vändningar gör det. (Observera att detta motsvarar att sätta en spinnstruktur på vår yta.) Pontrjagin använde Arf-invarianten av inramade ytor för att beräkna den 2-dimensionella inramade kobordismgruppen $\Omega _{2}^{\text{inramad}}\cong \pi _{m}(S^{m-2})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z } _{2}$ , som genereras av torus $T^{2}$ med Lie-gruppens inramning. Isomorfismen här är via Pontrjagin-Thom-konstruktionen .

• Låt $(M^{2},\partial M)\subset S^{3}$ vara en Seifert-yta för en knut, ${\displaystyle \partial M=K:S^{1}\hookrightarrow S^{3}} ,$ som kan representeras som en skiva $D^{2}$ med band fästa. Banden kommer vanligtvis att vara tvinnade och knutna. Varje band motsvarar en generator $x\in H_{1}(M;\mathbb {Z} _{2})$ . $x$ kan representeras av en cirkel som korsar ett av banden. Definiera $\mu (x)$ för att vara antalet hela vridningar i bandet modulo 2. Antag att vi låter $S^{3}$ binda $D^{ 4}$ , och tryck Seifertytan $M$ in i $D^{4}$ , så att dess gräns fortfarande ligger i $S^{3}$ . Runt vilken generator som helst $x\in H_{1}(M,\partial M)$ , har vi nu en trivial normal 3-plans vektorbunt. Trivialisera det med den triviala inramningen av den normala bunten till inbäddningen $M\hookrightarrow D^{4}$ för 2 av de sektioner som krävs. För den tredje, välj en sektion som förblir normal mot $x$ , medan den alltid förblir tangent till $M$ . Denna trivialisering bestämmer återigen ett element av ${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))} ,$ som vi tar för att vara $\mu (x)$ . Observera att detta sammanfaller med den tidigare definitionen av $\mu$ .

• Arf -invarianten för en knut definieras via dess Seifert-yta. Det är oberoende av valet av Seifert-yta (den grundläggande operationsändringen av S-ekvivalens, lägga till/ta bort ett rör, lägga till/ta bort ett H , {\ $^{0,0}}$ direkt summering), och så är en knut invariant . Den är additiv under ansluten summa , och försvinner på skivknutar , så är en knutkonkordans invariant.

• Skärningsformen på (2 k + 1) -dimensionella ${Z} _{2}}$$H_{2k+1 }(M;\mathbb {Z} _{2})$ -koefficienthomologi ( av ett inramat (4 k + 2) -dimensionellt grenrör M har en kvadratisk förfining ${\displaystyle \mu } ,$ som beror på inramningen. För $k\neq 0,1,3$ och $x\in H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})$ representeras av en inbäddning $x\colon S^{2k+1}\subset M$ värdet ${\ displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$ är 0 eller 1, beroende på den normala bunten av $x$ är trivial eller inte. Kervaire -invarianten för det inramade (4 k + 2) -dimensionella grenröret M är Arf-invarianten för den kvadratiska förfiningen $\mu$ på $H_{2k+ 1}(M;\mathbb {Z} _{2})$ . Kervaire-invarianten är en homomorfism $\pi _{4k+2}^{S}\to \mathbb {Z} _{2}$ på (4 k + 2) -dimensionell stabil homotopigrupp av sfärer. Kervaire-invarianten kan också definieras för ett (4 k + 2) -dimensionellt grenrör M som är ramat utom vid en punkt.

• I kirurgiteori , för vilken som helst $4k+2$ -dimensionell normalkarta $(f,b):M\to X$ definieras en ickesingular kvadratisk form $(K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2}),\mu )$ på ${\ displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -koefficient homologi kärna

$K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;\mathbb { Z} _{2})\till H_{2k+1}(X;\mathbb {Z} _{2}))$

förfinar den homologiska skärningsformen $\lambda$ . Arf-invarianten i denna form är Kervaire-invarianten av ( f , b ). I specialfallet $X=S^{4k+2}$ är detta Kervaire-invarianten av M . Kervaires invarianta särdrag i klassificeringen av exotiska sfärer av Michel Kervaire och John Milnor , och mer allmänt i klassificeringen av grenrör genom kirurgiteori . William Browder definierade $\mu$ med funktionella Steenrod-rutor och CTC Wall definierade $\mu$ med inramade nedsänkningar . Den kvadratiska förbättringen $\mu (x)$ ger mer information än $\lambda (x,x)$ : det är möjligt att döda x genom operation om och bara om $\mu (x)=0$ . Motsvarande Kervaire-invariant detekterar operationsobstruktionen av $(f,b)$ i L-gruppen $L_{4k+2}(\ mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{2}$ .

Se även

• de Rham invariant , en mod 2 invariant av $(4k+1)$ -dimensionella grenrör

Anteckningar

• Se Lickorish (1997) för sambandet mellan Arf-invarianten och Jones-polynomet .
• Se kapitel 3 i Carters bok för en annan likvärdig definition av Arf-invarianten i termer av självkorsningar av skivor i 4-dimensionell rymd.
•   Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Matematik. , 183 : 148–167, doi : 10.1515/crll.1941.183.148 , S2CID 122490693
•   Glen Bredon : Topology and Geometry , 1993, ISBN 0-387-97926-3 .
•   Browder, William (1972), Kirurgi på enkelt anslutna grenrör , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0358813
•   J. Scott Carter: How Surfaces Intersect in Space , Series on Knots and Everything, 1993, ISBN 981-02-1050-7 .
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Arf invariant" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Dickson, Leonard Eugene (1901), Linjära grupper: Med en utläggning av Galois fältteorin , New York: Dover Publications, MR 0104735
•    Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2 , MR 1001966
•   WB Raymond Lickorish , An Introduction to Knot Theory , Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1997, ISBN 0-387-98254-X
•   Martino, J.; Priddy, S. (2003), "Group Extensions And Automorphism Group Rings", Homology, Homotopy and Applications , 5 ( 1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi : 10.4310/hha.2003.v3 ,1.n S2CID 15403121
• Lev Pontryagin , Smooth manifolds and their applications in homotopy theory American Mathematical Society Translations, Ser. 2, vol. 11, s. 1–114 (1959)

Vidare läsning

•     Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2013), "Cahit Arf and his invariant" (PDF) , Contributions to the history of number theory in the 20th century , Heritage of European Mathematics, Zürich: European Mathematical Society , s. 189–222, ISBN 978- 3-03719-113-2 , MR 2934052 , Zbl 1276.11001
•     Knus, Max-Albert (1991), Quadratic and Hermitian forms over rings , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlin: Springer-Verlag , s. 211–222, doi : 10.1007/978-3-642-75401-2 , ISBN 3-540-52117-8 , MR 1096299 , Zbl 10756 .