Enkelt och dubbelt jämnt

I matematik kallas ett jämnt heltal , det vill säga ett tal som är delbart med 2, jämnt jämnt eller dubbelt även om det är en multipel av 4, och udda jämnt eller singel även om det inte är det. De tidigare namnen är traditionella, härledda från antik grekisk matematik ; de senare har blivit vanliga under de senaste decennierna.

Dessa namn återspeglar ett grundläggande koncept inom talteorin , 2-ordningen av ett heltal: hur många gånger heltal kan delas med 2. Detta motsvarar multipliciteten av 2 i primtalsfaktoriseringen .

Ett enda jämnt tal kan delas med 2 endast en gång; den är jämn men dess kvot med 2 är udda.
Ett dubbelt jämnt tal är ett heltal som är delbart mer än en gång med 2; den är jämn och dess kvot med 2 är också jämn.

Det separata övervägandet av udda och jämnt jämna tal är användbart i många delar av matematiken, särskilt i talteori, kombinatorik , kodningsteori (se jämna koder ), bland annat.

Definitioner

De antika grekiska termerna "jämna gånger-jämn" ( antikgrekiska : ἀρτιάκις ἄρτιος ) och "jämna tider-udda" ( antikgrekiska : ἀρτιάκις περμπςτρμπςτ ριττος ) gavs olika olikvärdiga definitioner av Euklid och senare författare som Nicomachus . Idag sker en standardutveckling av koncepten. 2-ordningens eller 2-adiska ordningen är helt enkelt ett specialfall av p -adiska ordningen vid ett allmänt primtal p ; se p -adic nummer för mer om detta breda område av matematik. Många av följande definitioner generaliserar direkt till andra primtal.

För ett heltal n är 2-ordningen av n (även kallad värdering ) det största naturliga talet ν så att 2 ^ν delar n . Denna definition gäller för positiva och negativa tal n , även om vissa författare begränsar den till positivt n ; och man kan definiera 2-ordningen av 0 till oändlighet (se även paritet av noll ). 2-ordningen av n skrivs ν ₂ ( n ) eller ord ₂ ( n ). Den ska inte förväxlas med den multiplikativa ordningen modulo 2 .

2-ordningen ger en enhetlig beskrivning av olika klasser av heltal definierade av jämnhet:

Udda tal är de med ν ₂ ( n ) = 0, dvs heltal av formen 2 m + 1 .
Jämna tal är de med ν ₂ ( n ) > 0, dvs heltal av formen 2 m . Särskilt:
- Enstaka jämna tal är de med ν ₂ ( n ) = 1, dvs heltal av formen 4 m + 2 .
- Dubbelt jämna tal är de med ν ₂ ( n ) > 1, dvs heltal av formen 4 m .
  - I den här terminologin kan ett dubbelt jämnt tal vara delbart med 8 eller inte, så det finns ingen speciell terminologi för "trefaldigt jämna" tal i ren matematik, även om det används i barns undervisningsmaterial inklusive högre multipler som "fyrfaldigt jämnt". "

Man kan också utöka 2-ordningen till de rationella talen genom att definiera ν ₂ ( q ) som det unika heltal ν där

q=2^{\nu }{\frac {a}{b}}

och a och b är båda udda. Till exempel halvheltal en negativ 2-ordning, nämligen −1. Slutligen, genom att definiera det 2-adiska absoluta värdet

|n|_{2}=2^{-\nu _{2}(n)},

man är på god väg att konstruera 2-adiska talen .

Ansökningar

Säkrare outs i dart

Målet med spelet dart är att nå en poäng på 0, så spelaren med den lägre poängen har en bättre position att vinna. I början av en sträcka har "mindre" den vanliga betydelsen av absolut värde , och den grundläggande strategin är att sikta på högvärdiga områden på darttavlan och få så många poäng som möjligt. I slutet av en sträcka, eftersom man behöver dubbla ut för att vinna, blir det 2-adic absoluta värdet det relevanta måttet. Med vilken udda poäng som helst, oavsett hur liten i absolut värde, krävs det minst två pilar för att vinna. Alla jämna poäng mellan 2 och 40 kan vara nöjda med en enda pil, och 40 är ett mycket mer önskvärt poäng än 2, på grund av effekterna av att missa.

En vanlig miss när man siktar på dubbelringen är att istället slå en singel och av misstag halvera sin poäng. Med en poäng på 22 – ett enskilt jämnt tal – har man ett spelslag för dubbel 11. Om man slår singel 11 är den nya poängen 11, vilket är udda, och det kommer att ta minst två ytterligare pilar för att återhämta sig. Däremot, när man skjuter för dubbel 12, kan man göra samma misstag men fortfarande ha 3 spelskott i rad: D12, D6 och D3. I allmänhet, med en poäng på n < 42 , har man ν ₂ ( n ) sådana spelskott. Det är därför 32 = 2 ⁵ är en så önskvärd poäng: den delar sig 5 gånger.

Irrationalitet av kvadratroten ur 2

Det klassiska beviset på att kvadratroten ur 2 är irrationell fungerar genom oändlig härkomst . Vanligtvis abstraheras härkomstdelen av beviset bort genom att anta (eller bevisa) förekomsten av irreducerbara representationer av rationella tal . Ett alternativt tillvägagångssätt är att utnyttja existensen av ν ₂ -operatören.

Antag motsägelsefullt det

{\sqrt {2}}={\frac {a}{b}},

där a och b är naturliga tal som inte är noll. Kvadratera båda sidor av likheten och använd 2-ordningens värderingsoperator ν ₂ till 2 b ² = a ² :

\nu _{2}\left(2b^{2}\right)=\nu _{2}\left(a^{2}\ höger)

\nu _{2}\left(b^{2}\right)+1=\nu _{2}\left( a^{2}\right)

2\nu _{2}(b)+1=2\nu _{2}(a)

\nu _{2}(a)-\nu _{2}(b)={\frac {1}{2}}

Eftersom 2-ordningsvärderingar är heltal kan skillnaden inte vara lika med den rationella ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ . Motsägelsefullt är därför √ 2 inte en rationell.

Mer konkret, eftersom värderingen av 2 b ² är udda, medan värderingen av en ² är jämn, måste de vara distinkta heltal, så att $\left|2b^{2}-a^{2}\right|\geq 1$ . En enkel beräkning ger sedan en nedre gräns på ${\textstyle {\frac {1}{3b^{2}}}}$ för skillnaden ${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-a/b\right|} ,$ vilket ger ett direkt bevis på irrationalitet som inte förlitar sig på lagen om utesluten mitten .

Geometrisk topologi

I geometrisk topologi beror många egenskaper hos grenrör endast på deras dimension mod 4 eller mod 8; sålunda studerar man ofta mångfalder av enstaka jämna och dubbelt jämna dimensioner (4 k +2 och 4 k ) som klasser. Till exempel har grenrör med dubbelt jämn dimension en symmetrisk icke degenererad bilinjär form på deras medeldimensionella kohomologigrupp , som alltså har en heltalsvärderad signatur . Omvänt har enstaka jämndimensionella grenrör en skevsymmetrisk icke degenererad bilinjär form på sin mellandimension; om man definierar en kvadratisk förfining av detta till en kvadratisk form (som på en inramad manifold ), får man Arf-invarianten som en mod 2-invariant. Udda-dimensionella grenrör, däremot, har inte dessa invarianter, även om man inom algebraisk kirurgiteori kan definiera mer komplicerade invarianter. Denna 4-faldiga och 8-faldiga periodicitet i strukturen av grenrör är relaterad till den 4-faldiga periodiciteten för L-teorin och den 8-faldiga periodiciteten för verklig topologisk K-teori, som är känd som Bott-periodicitet .

Om ett kompakt orienterat grenrör för jämnt spinn har dimensionen n ≡ 4 mod 8 , eller ν ₂ ( n ) = 2 exakt, så är dess signatur en heltalsmultipel av 16.

Andra framträdanden

Ett enda jämnt tal kan inte vara ett kraftfullt tal . Det kan inte representeras som en skillnad på två rutor . Ett enda jämnt tal kan dock representeras som skillnaden mellan två proniska tal eller två kraftfulla tal.

I gruppteorin är det relativt enkelt att visa att ordningen för en icke-abelisk finit enkel grupp inte kan vara ett enda jämnt tal. I själva verket, enligt Feit-Thompson-satsen , kan det inte heller vara udda, så varje sådan grupp har dubbelt jämn ordning.

Lamberts fortsatta bråkdel för tangentfunktionen ger följande fortsatta bråkdel som involverar de positiva enstaka jämna talen:

\tanh {\frac {1}{2}}={\frac {e-1 }{e+1}}=0+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac { 1}{\ddots }}}}}}}}}}

Detta uttryck leder till liknande representationer $t.ex.$ av

Inom organisk kemi förutspår Hückels regel , även känd som 4n + 2-regeln, att ett cykliskt π-bindningssystem som innehåller ett enda jämnt antal p-elektroner kommer att vara aromatiskt .

Relaterade klassificeringar

Även om 2-ordningen kan upptäcka när ett heltal är kongruent med 0 (mod 4) eller 2 (mod 4), kan den inte se skillnaden mellan 1 (mod 4) eller 3 (mod 4). Denna distinktion har några intressanta konsekvenser, såsom Fermats sats om summan av två kvadrater .

Se även

p-adisk ordning

externa länkar