Signatur (topologi)

Inom topologiområdet är signaturen en heltalsinvariant som definieras för en orienterad mångfald M av dimensionen delbar med fyra .

Denna invariant av ett grenrör har studerats i detalj, med början med Rokhlins sats för 4-grenrör och Hirzebruchs signatursats .

Definition

Givet ett sammankopplat och orienterat grenrör M av dimensionen 4 k , ger koppprodukten upphov till en kvadratisk form Q på den "mitten" verkliga kohomologigruppen

H^{2k}(M,\mathbf {R})

.

Den grundläggande identiteten för koppprodukten

\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{ q}\smile \alpha ^{p})

visar att med p = q = 2 k är produkten symmetrisk . Det tar in värderingar

H^{4k}(M,\mathbf {R})

.

Om vi också antar att M är kompakt identifierar Poincaré-dualitet detta med

H^{0}(M,\mathbf {R} )

som kan identifieras med $\mathbf {R}$ . Därför ger koppprodukten, under dessa hypoteser, upphov till en symmetrisk bilinjär form på H ^{2 k} ( M , R ) ; och därför till en kvadratisk form Q . Formen Q är icke-degenererad på grund av Poincaré-dualitet, eftersom den parar sig icke-degenererat med sig själv. Mer generellt kan signaturen definieras på detta sätt för vilken allmän kompakt polyeder som helst med 4n -dimensionell Poincaré-dualitet.

Signaturen för M är per definition signaturen för Q , en ordnad trippel enligt dess definition. Om M inte är ansluten, definieras dess signatur som summan av signaturerna för dess anslutna komponenter.

Andra dimensioner

Om M har en dimension som inte är delbar med 4, definieras dess signatur vanligtvis till 0. Det finns alternativa generaliseringar i L-teorin : signaturen kan tolkas som den 4 k -dimensionella (enkelt sammankopplade) symmetriska L-gruppen $L^{4k},$ eller som den 4 k -dimensionella kvadratiska L-gruppen $L_{4k},$ och dessa invarianter försvinner inte alltid för andra dimensioner. Kervaire -invarianten är en mod 2 (dvs ett element av $\mathbf {Z} /2$ ) för inramade grenrör med dimensionen 4 k +2 (den kvadratiska L-gruppen ${\ displaystyle L_{4k+2}}$ ), medan de Rham-invarianten är en mod 2-invariant av grenrör med dimensionen 4 k +1 (den symmetriska L-gruppen $L^{4k+1}$ ); de andra dimensionella L-grupperna försvinner.

Kervaire invariant

När $d=4k+2=2(2k+1)$ är två gånger ett udda heltal ( enbart jämnt ), ger samma konstruktion upphov till en antisymmetrisk bilinjär form . Sådana former har inte en signaturinvariant; om de är icke-degenererade, är två sådana former likvärdiga. Men om man tar en kvadratisk förfining av formen, vilket inträffar om man har ett inramat grenrör , då de resulterande ε-kvadratiska formerna behöver inte vara ekvivalenta, eftersom de kännetecknas av Arf-invarianten . Den resulterande invarianten av ett grenrör kallas Kervaire-invarianten .

Egenskaper

René Thom (1954) visade att signaturen för ett grenrör är en kobordisminvariant, och i synnerhet ges av någon linjär kombination av dess Pontryagin -tal . Till exempel, i fyra dimensioner, ges den av ${\frac {p_{1}}{3}}$ . Friedrich Hirzebruch (1954) fann ett explicit uttryck för denna linjära kombination som L-släktet för mångfalden. William Browder (1962) bevisade att en enkelt sammankopplad kompakt polyeder med 4 n -dimensionell Poincaré-dualitet är homotopi ekvivalent med en mångfald om och endast om dess signatur uppfyller uttrycket för Hirzebruchs signatursats . Rokhlins teorem säger att signaturen för ett 4-dimensionellt enkelt sammankopplat grenrör med en spinnstruktur är delbart med 16.

Se även