L -teori

Inom matematiken är algebraisk L -teori K -teorin för kvadratiska former ; termen myntades av CTC Wall , där L användes som bokstaven efter K. Algebraisk L -teori, även känd som "Hermitian K -teori", är viktig inom kirurgiteori .

Definition

Man kan definiera L -grupper för vilken ring som helst med involution R : de kvadratiska L -grupperna $L_{*}(R)$ (Vägg) och de symmetriska L -grupperna ${\ displaystyle L^{*}(R)}$ (Mishchenko, Ranicki).

Jämn dimension

De jämndimensionella L -grupperna $L_{2k}(R)$ definieras som Witt-grupperna av ε-kvadratiska former över ringen R med $\epsilon =(-1)^{k}$ . Mer exakt,

$L_{2k}(R)$

är den abelska gruppen av ekvivalensklasser $[\psi ]$ av icke-degenererade ε-kvadratiska former $\psi \in Q_{\epsilon }(F)$ över R, där de underliggande R-modulerna F ändligt genereras fria. Ekvivalensrelationen ges genom stabilisering med avseende på hyperboliska ε-kvadratiska former :

$[\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R )^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}$ .

Tillägget i $L_{2k}(R)$ definieras av

$[\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].$

Nollelementet representeras av $H_{(-1)^{k}}(R)^{n}$ för alla $n\in { \mathbb {N} }_{0}$ . Inversen av $[\psi ]$ är $[-\psi ]$ .

Udda dimension

Att definiera uddadimensionella L -grupper är mer komplicerat; ytterligare detaljer och definitionen av de uddadimensionella L -grupperna kan hittas i referenserna som nämns nedan.

Exempel och tillämpningar

L -grupperna i en grupp $\pi$ är L -grupperna ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ } i gruppringen $\mathbf {Z} [\pi ]$ . I applikationerna till topologi är $\pi$ grundgruppen $\pi _{1}(X)$ av ett mellanslag $X$ . De kvadratiska L -grupperna $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ spelar en central roll i kirurgisk klassificering av homotopityperna av $n$ -dimensionella grenrör av dimension ${\displaystyle n>4} ,$ och i formuleringen av Novikov-förmodan .

Skillnaden mellan symmetriska L -grupper och kvadratiska L -grupper, indikerade med övre och nedre index, återspeglar användningen inom grupphomologi och kohomologi. Gruppkohomologin $H^{*}$ för den cykliska gruppen $\mathbf {Z} _{2}$ handlar om fixpunkterna för en $\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ { -aktion, medan grupphomologin $H_{*}$ handlar om banorna för ett $\mathbf {Z} _{2}$ -åtgärd; jämför $X^{G}$ (fasta punkter) och $X_{G}=X/G$ (banor, kvot) för notation för övre/nedre index.

De kvadratiska L -grupperna: $L_{n}(R)$ och de symmetriska L -grupperna: $L^{n}(R)$ är relaterade till en symmetriseringskarta $L_{n}(R)\to L^{n}(R)$ som är en isomorfism modulo 2-torsion, och som motsvarar polarisationsidentiteterna .

De kvadratiska och de symmetriska L -grupperna är 4-faldigt periodiska (kommentaren från Ranicki, sidan 12, om de symmetriska L -gruppernas icke-periodicitet hänvisar till en annan typ av L -grupper, definierade med "korta komplex").

Med tanke på tillämpningarna för klassificeringen av grenrör finns det omfattande beräkningar av de kvadratiska $L$ -grupperna $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ] )$ . För finita ${\displaystyle \pi } algebraiska metoder, och mestadels används geometriska metoder (t.ex. kontrollerad topologi) för oändlig$ används $\pi$ .

Mer generellt kan man definiera L -grupper för vilken tillsatskategori som helst med en kedjedualitet , som i Ranicki (avsnitt 1).

Heltal

De enkelt anslutna L -grupperna är också L -grupperna för heltalen, eftersom $L(e):=L(\mathbf {Z } [e])=L(\mathbf {Z} )$ för både $L$ = $L^{*}$ eller $L_{*}.$ För kvadratisk L -grupper, dessa är operationshinder för helt enkelt kopplad operation.

Heltalens kvadratiska L -grupper är:

${\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z } )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z } )&=0.\end{aligned}}$

I dubbelt jämn dimension (4 k ) detekterar de kvadratiska L -grupperna signaturen ; i en enda jämn dimension (4 k +2) detekterar L -grupperna Arf-invarianten (topologiskt Kervaire-invarianten ) .

Heltalens symmetriska L -grupper är:

${\begin {aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signatur}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z})& =0.\end{aligned}}$

I dubbelt jämn dimension (4 k ) detekterar de symmetriska L -grupperna, liksom med de kvadratiska L -grupperna, signaturen; i dimension (4 k +1) detekterar L -grupperna de Rham-invarianten .

•   Lück, Wolfgang (2002), "A basic introduction to surgery theory" (PDF) , Topology of high-dimensional manifolds, nr 1, 2 (Trieste, 2001) , ICTP Lect. Notes, vol. 9, Abdus Salam Int. Cent. Teoret. Phys., Trieste, s. 1–224, MR 1937016
•    Ranicki, Andrew A. (1992), Algebraic L-theory and topological manifolds (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2 , MR 1211640
•    Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (red.), Surgery on compact manifolds (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6 , MR 1687388