ε -kvadratform

Inom matematiken , specifikt teorin om kvadratiska former , är en ε -kvadratform en generalisering av kvadratiska former till skev-symmetriska inställningar och till *-ringar ; ε = ±1 , följaktligen för symmetrisk eller skev-symmetrisk. De kallas också $(-)^{n}$ -kvadratformer, särskilt i samband med kirurgiteori .

Det finns den relaterade föreställningen av ε -symmetriska former , som generaliserar symmetriska former , skev-symmetriska former (= symplectic former ), Hermitian former och skev-Hermitian former . Mer kortfattat kan man hänvisa till kvadratiska, skev-kvadratiska, symmetriska och skev-symmetriska former, där "skev" betyder (−) och * (involution) antyds.

Teorin är 2-lokal: bort från 2 är ε -kvadratformer ekvivalenta med ε -symmetriska former: halva symmetriskartan (nedan) ger en explicit isomorfism.

Definition

ε -symmetriska former och ε -kvadratiska former definieras enligt följande.

Givet en modul M över en *-ring R , låt B ( M ) vara rymden för bilinjära former på M , och låt T : B ( M )→ B ( M ) vara den " konjugerade transponera " -involutionen B ( u , v) ) ↦ B ( v , u )* . Eftersom multiplikation med −1 också är en involution och pendlar med linjära kartor, är − T också en involution. Således kan vi skriva ε = ±1 och εT är en involution, antingen T eller − T (ε kan vara mer generell än ±1; se nedan). Definiera de ε -symmetriska formerna som invarianterna av εT , och de ε -kvadratiska formerna är samvarianterna .

Som en exakt sekvens,

$0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\ stackrel {1-\varepsilon T}{\longrightarrow }}B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)\to 0$

Som kärna och kokkärna ,

$Q^{\varepsilon }(M):={\mbox{ker}}\,(1-\varepsilon T)$

$Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}}\,(1-\varepsilon T)$

Notationen Q ^ε ( M ), , _{Q ε ( M ) följer standardnotationen MG , MG} för _{invarianterna} och samvarianter för en ^ordningen grupphandling här av 2-gruppen (en involution).

Sammansättning av inklusions- och kvotmapparna (men inte 1 − εT ) som $Q^{\varepsilon }(M)\till B(M)\ till Q_{\varepsilon }(M)$ ger en karta Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ): varje ε -symmetrisk form bestämmer en ε -kvadratform.

Symmetriisering

Omvänt kan man definiera en omvänd homomorfism "1 + εT ": Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) , kallad symmetriskartan (eftersom den ger en symmetrisk form) genom att ta valfri höjning av en kvadratisk form och multiplicera den med 1 + eT . Detta är en symmetrisk form eftersom (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T ² = 0 , så det är i kärnan. Närmare bestämt, $(1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)$ . Kartan är väldefinierad av samma ekvation: att välja ett annat lyft motsvarar att addera en multipel av ( 1 − εT ) , men detta försvinner efter multiplikation med 1 + εT . Således bestämmer varje ε -kvadratform en ε -symmetrisk form.

Att komponera dessa två kartor åt båda hållen: Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) eller Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) ger multiplikation med 2, och därmed dessa kartor är bijektiva om 2 är inverterbar i R , med inversen given genom multiplikation med 1/2.

En ε -kvadratform ψ ∈ Q _ε ( M ) kallas icke-degenererad om den associerade ε -symmetriska formen (1 + εT )( ψ ) är icke-degenererad.

Generalisering från *

Om * är trivial, då ε = ±1 , och "bort från 2" betyder att 2 är inverterbar: 1/2 ∈ R .

Mer generellt kan man ta för ε ∈ R vilket element som helst så att ε * ε = 1 . ε = ±1 uppfyller alltid detta, men det gör även alla element i norm 1, såsom komplexa tal för enhetsnorm.

På liknande sätt, i närvaro av en icke-trivial *, är ε -symmetriska former ekvivalenta med ε -kvadratformer om det finns ett element λ ∈ R så att λ * + λ = 1 . Om * är trivialt är detta ekvivalent med 2 λ = 1 eller λ = 1/2 , medan om * är icke-trivialt kan det finnas flera möjliga λ ; till exempel, över de komplexa talen är vilket tal som helst med reell del 1/2 ett sådant λ .

Till exempel, i ringen ${\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]} ($ integralgittret för den kvadratiska formen 2 x ² − 2 x + 1 ), med komplex konjugation, är $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ två sådana element , fastän 1/2 ∉ R .

Intuition

När det gäller matriser (vi tar V för att vara 2-dimensionell), om * är trivial:

• matriser ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ motsvarar bilinjära former
• delrummet för symmetriska matriser ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ motsvarar symmetriska former
• delrummet för (−1)-symmetriska matriser ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ motsvarar symboliska former
• den bilinjära formen ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ger den kvadratiska formen

$ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}= ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,$ ,

• kartan 1 + T från kvadratiska former till symmetriska former kartor $ex^ {2}+fxy+gy^{2}$

till ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}} ,$ till exempel genom att lyfta till ${\begin{pmatrix}e&f \\0&g\end{pmatrix}}$ och sedan lägga till för att transponera. Mappning tillbaka till kvadratiska former ger dubbelt original: $2ex^{2}+2fxy+ 2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ .

Om ${\bar {\cdot }}$ är komplex konjugation, då

• delrummet för symmetriska matriser är de hermitiska matriserna ${\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}$
• delrummet för skevsymmetriska matriser är de skev-hermitiska matriserna ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$

Finesser

Ett intuitivt sätt att förstå en ε -kvadratisk form är att tänka på den som en kvadratisk förfining av dess associerade ε -symmetriska form.

Till exempel, när man definierar en Clifford-algebra över ett allmänt fält eller ring, kvoterar man tensoralgebra genom relationer som kommer från den symmetriska formen och den kvadratiska formen: vw + wv = 2 B ( v , w ) och $v^{2}=Q(v)$ . Om 2 är inverterbar följer denna andra relation från den första (eftersom den kvadratiska formen kan återvinnas från den associerade bilinjära formen), men vid 2 är denna ytterligare förfining nödvändig.

Exempel

Ett enkelt exempel på en ε -kvadratisk form är den vanliga hyperboliska ε -kvadratformen $H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }( R\oplus R^{*})$ . (Här R * := Hom _R ( R , R ) dualen av R -modulen R .) Den ges av den bilinjära formen $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ . Den vanliga hyperboliska ε -kvadratformen behövs för definitionen av L -teori .

För fältet av två element R = F ₂ finns det ingen skillnad mellan (+1)-kvadratiska och (−1)-kvadratiska former, som bara kallas kvadratiska former . Arf -invarianten för en ickesingular kvadratisk form över F ₂ är en F ₂ -värderad invariant med viktiga tillämpningar i både algebra och topologi, och spelar en roll som liknar den som spelas av diskriminanten för en kvadratisk form i karakteristik som inte är lika med två.

Fördelare

Ytterligare information: Korsningsprodukt

Den fria delen av den mellersta homologigruppen (med heltalskoefficienter) av ett orienterat jämndimensionellt grenrör har en ε - symmetrisk form, via Poincaré-dualitet , skärningsformen . I fallet med singeljämn dimension 4 k + 2 är detta skevsymmetriskt, medan detta för dubbelt jämnt mått 4 k är symmetriskt. Geometriskt motsvarar detta skärningspunkten, där två n /2-dimensionella undergrenrör i ett n -dimensionellt grenrör generiskt skär varandra i ett 0-dimensionellt undergrenrör (en uppsättning punkter), genom att lägga till kodimension . För en enda jämn dimension byter ordningen tecken, medan ordningen för dubbelt jämn dimension inte ändrar tecken, därav ε -symmetrin. De enklaste fallen $\left({\begin {smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)$ för produkten av sfärer, där produkten S ^{2 k} × S ^{2 k} respektive S ^{2 k +1} × S ^{2 k +1} ger den symmetriska formen ( och skevsymmetrisk form $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).$ I dimension två ger detta en torus, och om man tar den sammankopplade summan av g tori får man ytan på släktet g , vars mellanhomologi har den hyperboliska standardformen.

Med ytterligare struktur kan denna e- symmetriska form förfinas till en e -kvadratisk form. För dubbelt jämn dimension är detta heltalsvärde, medan det för enstaka jämn dimension endast definieras upp till paritet och tar värden i Z /2. Till exempel, givet ett inramat grenrör , kan man producera en sådan förfining. För enstaka jämn dimension är Arf-invarianten i denna skev-kvadratiska form Kervaire-invarianten .

Givet en orienterad yta Σ inbäddad i R ³ , bär den mellersta homologigruppen H ₁ (Σ) inte bara en skevsymmetrisk form (via skärningspunkt), utan också en skev-kvadratisk form, som kan ses som en kvadratisk förfining, via självlänkande. Den skev-symmetriska formen är en invariant av ytan Σ, medan den skev-kvadratiska formen är en invariant av den inbäddade Σ ⊂ R ³ , t.ex. för Seifert-ytan av en knut . Arf -invarianten i den skev-kvadratiska formen är en inramad kobordism- invariant som genererar den första stabila homotopigruppen $\pi _{1}^{s}$ .

I standardinbäddningen av torus är en (1, 1) kurva självlänkande, alltså Q (1, 1) = 1 .

För standardinbäddad torus ges den skevsymmetriska formen av ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)} (med avseende$ på den vanliga symplektiska basen ), och den skev-kvadratiska förfiningen ges av xy med avseende på denna bas: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : baskurvorna länkar inte själv; och Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) självlänker, som i Hopf-fibreringen . (Denna form har Arf-invariant 0, och därför har denna inbäddade torus Kervaire-invariant 0.)

Ansökningar

En nyckelapplikation är inom algebraisk kirurgiteori , där även L-grupper definieras som Witt-grupper av ε -kvadratiska former, av CTCWall