Artin-Schreiers teori

För resultatet om verkligt slutna fält, se Artin–Schreiers sats .

I matematik är Artin-Schreier-teorin en gren av Galois-teorin , specifikt en positiv karakteristisk analog till Kummer-teorin , för Galois- utvidgningar av grad som är lika med karakteristiken p . Artin och Schreier ( 1927 ) introducerade Artin-Schreier-teorin för förlängningar av prime grad p , och Witt ( 1936 ) generaliserade den till förlängningar av prime power grad p ⁿ .

Om K är ett fält med egenskap p , ett primtal , vilket polynom som helst av formen

$X^{p}-X-\alpha ,\,$

för $\alpha$ i K kallas ett Artin–Schreier-polynom . När $\alpha \neq \beta ^{p}-\beta$ för alla $\beta \in K$ , är detta polynom irreducerbart i K [ X ], och dess delningsfält över K är en cyklisk förlängning av K av graden p . Detta följer eftersom för vilken rot som helst β , talen β + i , för ${\displaystyle 1\leq i\leq p} ,$ bildar alla rötterna – enligt Fermats lilla sats – så delningsfältet är $K(\beta )$ .

Omvänt är varje Galois-förlängning av K av grad p lika med egenskapen för K delningsfältet för ett Artin-Schreier-polynom. Detta kan bevisas med hjälp av additiva motsvarigheter till metoderna som är involverade i Kummer-teorin , såsom Hilberts teorem 90 och additiv Galois-kohomologi . Dessa tillägg kallas Artin–Schreier-tillägg .

Artin–Schreier-förlängningar spelar en roll i teorin om lösbarhet av radikaler , i karakteristiska p , som representerar en av de möjliga klasserna av förlängningar i en lösbar kedja.

De spelar också en roll i teorin om abelska sorter och deras isogener . I karakteristisk p måste en isogeni av grad p av abelska sorter, för sina funktionsfält, ge antingen en Artin–Schreier-förlängning eller en rent oskiljaktig förlängning .

Artin–Schreier–Witt förlängningar

Det finns en analog till Artin-Schreier-teorin som beskriver cykliska förlängningar i karakteristisk p av p -potensgraden (inte bara graden p själv), med hjälp av Witt-vektorer, utvecklade av Witt ( 1936 ).

•   Artin, Emil ; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , Springer Berlin / Heidelberg, 5 : 225–231, doi : 10.1007/BF02952502 502 , ISSN -502 , ISSN
•     Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (Reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984.00001 Avsnitt VI.6
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001 Section VI.1
• Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p ⁿ . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ⁿ " , Journal für die reine und angewandte Mathematik (på tyska), 176 : 126– 140, doi : 10.1515/crll.1937.176.126