Approximationer av π

   Ferguson, DF (16 mars 1946). "Värde på π" . Naturen . 157 (3985): 342. Bibcode : 1946Natur.157..342F . doi : 10.1038/157342c0 . ISSN 1476-4687 . S2CID 4085398 .

Den här sidan handlar om historien om approximationer av π ; se även kronologi för beräkning av π för en sammanfattning i tabellform. Se även historien om π för andra aspekter av utvecklingen av vår kunskap om matematiska egenskaper hos π .

Graf som visar den historiska utvecklingen av rekordprecisionen för numeriska approximationer till pi, mätt i decimaler (avbildad på en logaritmisk skala; tiden före 1400 visas inte i skalen).

Approximationerna för den matematiska konstanten pi ( π ) i matematikens historia nådde en noggrannhet inom 0,04% av det verkliga värdet innan den gemensamma eran började . I kinesisk matematik förbättrades detta till approximationer som är korrekta till vad som motsvarar cirka sju decimalsiffror på 500-talet.

Ytterligare framsteg gjordes inte förrän på 1400-talet (genom ansträngningar från Jamshīd al-Kāshī) . Tidiga moderna matematiker nådde en noggrannhet på 35 siffror i början av 1600-talet ( Ludolph van Ceulen ), och 126 siffror på 1800-talet ( Jurij Vega ), vilket överträffade den noggrannhet som krävs för alla tänkbara tillämpningar utanför ren matematik.

Rekordet för manuell approximation av π innehas av William Shanks , som beräknade 527 siffror korrekt 1853. Sedan mitten av 1900-talet har approximationen av π varit uppgiften för elektroniska digitala datorer (för en omfattande redogörelse, se Chronology of beräkning av π ). Den 8 juni 2022 etablerades det aktuella rekordet av Emma Haruka Iwao med Alexander Yees y-cruncher med 100 biljoner siffror.

Tidig historia

De mest kända approximationerna till π som dateras till före den vanliga epoken var exakta med två decimaler; detta förbättrades i kinesisk matematik i synnerhet i mitten av det första årtusendet, med en noggrannhet på sju decimaler. Efter detta gjordes inga ytterligare framsteg förrän i slutet av medeltiden.

Vissa egyptologer har hävdat att de forntida egyptierna använde en approximation av π som 22 ⁄ 7 = 3,142857 (cirka 0,04% för hög) från så tidigt som i Gamla kungariket . Detta påstående har mötts med skepsis.

Babylonisk matematik uppskattade vanligtvis π till 3, tillräckligt för dåtidens arkitektoniska projekt (särskilt återspeglas också i beskrivningen av Salomos tempel i den hebreiska bibeln ). Babylonierna var medvetna om att detta var en approximation, och en gammal babylonisk matematisk tavla som grävdes ut nära Susa 1936 (daterad till mellan 1800- och 1600-talen f.Kr.) ger en bättre approximation av π som 25 ⁄ 8 = 3,125, cirka 0,528 % under exakt värde.

Ungefär samtidigt innebär den egyptiska Rhindens matematiska papyrus (daterad till den andra mellanperioden , ca 1600 f.Kr., även om den anges vara en kopia av en äldre text i Mellanriket ) en approximation av π som 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 ( exakt till 0,6 procent) genom att beräkna arean av en cirkel via approximation med oktagonen .

Astronomiska beräkningar i Shatapatha Brahmana (ca 600-talet f.Kr.) använder en bråkdeluppskattning av 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 .

Mahabharata (500 f.Kr. - 300 e.Kr.) erbjuder en approximation av 3, i förhållandena som erbjuds i Bhishma Parva verser: 6.12.40-45.

...

Månen överlämnas av minnet till att vara elva tusen yojanas i diameter. Dess perifera cirkel råkar vara trettiotre tusen yojanas när den beräknas. ... Solen är åtta tusen yojanas och ytterligare två tusen yojanas i diameter. Av det kommer dess perifera cirkel att vara lika med trettio tusen yojanas.

...

— "verser: 6.12.40-45, Bhishma Parva of the Mahabharata "

På 300-talet f.Kr. bevisade Arkimedes de skarpa ojämlikheterna 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 , med hjälp av vanliga 96-gons (noggrannhet på 2·10 ⁻⁴ respektive 4·10 ⁻⁴ ).

På 200-talet e.Kr. använde Ptolemaios värdet 377 ⁄ 120 , den första kända approximationen med tre decimaler (noggrannhet 2·10 ⁻⁵ ). Det är lika med $3+8/60+30/60^{2},$ vilket är korrekt med två sexagesimala siffror.

Den kinesiske matematikern Liu Hui år 263 e.Kr. beräknade π till mellan 3.141 024 och 3.142 708 genom att skriva in en 96-gon och 192-gon; medelvärdet av dessa två värden är 3,141 866 (noggrannhet 9·10 ⁻⁵ ). Han föreslog också att 3,14 var en tillräckligt bra uppskattning för praktiska ändamål. Han har också ofta tillskrivits ett senare och mer exakt resultat, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (noggrannhet 2·10 ^{−6 ), även om vissa forskare istället tror att detta beror på den senare kinesiske matematikern} Zu (400-talet) Chongzhi . Zu Chongzhi är känd för att ha beräknat π till mellan 3,1415926 och 3,1415927, vilket var korrekt med sju decimaler. Han gav också två andra approximationer av π : π ≈ 22 ⁄ 7 och π ≈ 355 ⁄ 113 , som inte är lika exakta som hans decimalresultat. Det senare bråket är den bästa möjliga rationella approximationen av π med färre än fem decimalsiffror i täljaren och nämnaren. Zu Chongzhis resultat överträffar den noggrannhet som uppnåtts i hellenistisk matematik och skulle förbli utan förbättring i nära ett årtusende.

I Gupta-erans Indien (6:e århundradet) sade matematikern Aryabhata i sin astronomiska avhandling Āryabhaṭīya :

Lägg till 4 till 100, multiplicera med 8 och lägg till 62 000. Detta är "ungefär" omkretsen av en cirkel vars diameter är 20 000.

— Āryabhaṭīya

När han uppskattade π till fyra decimaler: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, uppgav Aryabhata att hans resultat "ungefär" ( āsanna "närmar sig") gav omkretsen av en cirkel. Hans 1400-talskommentator Nilakantha Somayaji ( Kerala skola för astronomi och matematik ) har hävdat att ordet inte bara betyder att detta är en approximation, utan att värdet är inkommensurabelt (irrationellt) .

Medeltiden

Ytterligare framsteg gjordes inte för nästan ett årtusende, förrän på 1300-talet, när den indiska matematikern och astronomen Madhava från Sangamagrama , grundare av Kerala skola för astronomi och matematik , hittade Maclaurin-serien för arctangent, och sedan två oändliga serier för π . En av dem är nu känd som Madhava–Leibniz-serien , baserad på $\pi =4\arctan(1):$

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5} }-{\frac {1}{7}}...\right)$

Den andra var baserad på $\pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):$

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+ 1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1 }}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3 }}+\cdots \right)$

Jämförelse av konvergensen av två Madhava-serier (den med √ 12 i mörkblått) och flera historiska oändliga serier för π . S _n är approximationen efter att ha tagit n termer. Varje efterföljande subplot förstorar det skuggade området horisontellt med 10 gånger. (klicka för detaljer)

Han använde de första 21 termerna för att beräkna en approximation av π korrekt till 11 decimaler som 3,141 592 653 59 .

Han förbättrade också formeln baserad på arctan(1) genom att inkludera en korrigering:

$\pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{ 5}}-{\frac {1}{7}}+...-{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+ 1}{4n^{3}+5n}}$

Det är inte känt hur han kom fram till denna rättelse. Med hjälp av detta hittade han en approximation av π till 13 decimaler med noggrannhet när n = 75.

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), en persisk astronom och matematiker , beräknade korrekt bråkdelen av 2 π till 9 sexagesimala siffror 1424, och översatte detta till 16 decimalsiffror efter decimalkomma:

$2\pi \approx 6.2831853071795864,$

vilket ger 16 korrekta siffror för π efter decimalkomma:

$\pi \approx 3.1415926535897932$

Han uppnådde denna nivå av noggrannhet genom att beräkna omkretsen av en vanlig polygon med 3 × 2 ²⁸ sidor.

1500- till 1800-talen

Under andra hälften av 1500-talet upptäckte den franske matematikern François Viète en oändlig produkt som konvergerade på π känd som Viètes formel .

Den tysk-nederländska matematikern Ludolph van Ceulen ( cirka 1600) beräknade de första 35 decimalerna av π med en 2 ⁶² -gon. Han var så stolt över denna prestation att han fick dem inskrivna på sin gravsten .

I Cyclometricus (1621) visade Willebrord Snellius att omkretsen av den inskrivna polygonen konvergerar på omkretsen dubbelt så snabbt som omkretsen av den motsvarande omskrivna polygonen. Detta bevisades av Christiaan Huygens 1654. Snellius kunde få sju siffror av π från en 96-sidig polygon .

År 1706 använde John Machin Gregorys serie ( Taylor-serien för arctangent ) och identiteten ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatörsnamn { arccot} 5-\operatörsnamn {arccot} 239}$ för att beräkna 100 siffror i π (se § Maskinliknande formel nedan). År 1719 Thomas de Lagny en liknande identitet för att beräkna 127 siffror (varav 112 var korrekta). År 1789 förbättrade den slovenske matematikern Jurij Vega John Machins formel för att beräkna de första 140 siffrorna, varav de första 126 var korrekta. År 1841 William Rutherford 208 siffror, varav de första 152 var korrekta.

  Storleken på en sådan precision (152 decimaler) kan sättas i ett sammanhang genom att omkretsen av det största kända objektet, det observerbara universum, kan beräknas från dess diameter (93 miljarder ljusår) till en precision på mindre än en Planck-längd (vid   1,6162 × 10 ⁻³⁵ meter , den kortaste längdenheten som förväntas vara direkt mätbar) med π uttryckt med bara 62 decimaler.

Den engelske amatörmatematikern William Shanks , en man med oberoende medel, beräknade π till 530 decimaler i januari 1853, varav de första 527 var korrekta (de sista var sannolikt felaktiga på grund av avrundningsfel). Han utökade därefter sin beräkning till 607 decimaler i april 1853, men ett fel som infördes precis vid 530:e decimalen gjorde resten av hans beräkning felaktig; beroende på karaktären hos Machins formel, spred sig felet tillbaka till 528:e decimalen, och lämnade endast de första 527 siffrorna korrekta igen. Tjugo år senare utökade Shanks sin beräkning till 707 decimaler i april 1873. På grund av att detta var en utökning av hans tidigare beräkning, var alla de nya siffrorna också felaktiga. Shanks sades ha räknat ut nya siffror hela förmiddagen och skulle sedan ägna hela eftermiddagen åt att kolla morgonens arbete. Detta var den längsta expansionen av π fram till tillkomsten av den elektroniska digitala datorn tre kvarts sekel senare.

1900- och 2000-talen

Huvudartikel: Chronology of computation of π § The age of electronic computers (från 1949 och framåt)

1910 fann den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan flera snabbt konvergerande oändliga serier av π , bl.a.

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{ k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

som beräknar ytterligare åtta decimaler av π med varje term i serien. Hans serier är nu grunden för de snabbaste algoritmerna som för närvarande används för att beräkna π . Även att använda bara den första termen ger

$\pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273$

Se Ramanujan–Sato-serien .

Från mitten av 1900-talet och framåt har alla beräkningar av π gjorts med hjälp av miniräknare eller datorer .

fann DF Ferguson, med hjälp av en mekanisk skrivbordsräknare , att William Shanks hade gjort ett misstag med 528:e decimalen och att alla efterföljande siffror var felaktiga.

Under de första åren av datorn beräknades en expansion av π till 100 000 decimaler av Maryland-matematikern Daniel Shanks (ingen relation till den tidigare nämnda William Shanks) och hans team vid United States Naval Research Laboratory i Washington, DC 1961, Shanks och hans team använde två olika potensserier för att beräkna siffrorna för π . För den ena var det känt att vilket fel som helst skulle ge ett värde något högt, och för det andra var det känt att vilket fel som helst skulle ge ett värde som var något lågt. Och så länge som de två serierna producerade samma siffror fanns det en mycket hög tilltro till att de var korrekta. De första 100 265 siffrorna i π publicerades 1962. Författarna beskrev vad som skulle behövas för att beräkna π till 1 miljon decimaler och drog slutsatsen att uppgiften var bortom den dagens teknik, men skulle vara möjlig om fem till sju år.

1989 beräknade bröderna Chudnovsky π till över 1 miljard decimaler på superdatorn IBM 3090 med hjälp av följande variant av Ramanujans oändliga serie av π :

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k) }{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.$

  Rekord sedan dess har alla åstadkommits med hjälp av Chudnovsky-algoritmen . 1999 beräknade Yasumasa Kanada och hans team vid University of Tokyo π till över 200 miljarder decimaler på superdatorn HITACHI SR8000/MPP (128 noder) med en annan variant av Ramanujans oändliga serie av π . I november 2002 använde Yasumasa Kanada och ett team på 9 andra Hitachi SR8000 , en superdator med 64 noder med 1 terabyte huvudminne, för att beräkna π till ungefär 1,24 biljoner siffror på cirka 600 timmar (25 dagar).

Senaste rekord

1. I augusti 2009 mer än fördubblade en japansk superdator T2K Open Supercomputer det tidigare rekordet genom att beräkna π till ungefär 2,6 biljoner siffror på cirka 73 timmar och 36 minuter.
2. I december 2009 använde Fabrice Bellard en hemdator för att beräkna π 2,7 biljoner decimalsiffror . Beräkningar utfördes i bas 2 (binär), sedan omvandlades resultatet till bas 10 (decimal). Beräknings-, konverterings- och verifieringsstegen tog totalt 131 dagar.
3. I augusti 2010 använde Shigeru Kondo Alexander Yees y-cruncher för att beräkna 5 biljoner siffror av π . Detta var världsrekordet för alla typer av beräkningar, men avsevärt utfördes det på en hemdator byggd av Kondo. Beräkningen gjordes mellan 4 maj och 3 augusti, där de primära och sekundära verifikationerna tog 64 respektive 66 timmar.
4. I oktober 2011 slog Shigeru Kondo sitt eget rekord genom att beräkna tio biljoner (10 ¹³ ) och femtio siffror med samma metod men med bättre hårdvara.
5. I december 2013 slog Kondo sitt eget rekord för andra gången när han beräknade 12,1 biljoner siffror av π .
6. I oktober 2014 använde Sandon Van Ness, under pseudonymen "houkouonchi" y-cruncher för att beräkna 13,3 biljoner siffror av π .
7. I november 2016 beräknade Peter Trueb och hans sponsorer på y-cruncher och fullständigt verifierade 22,4 biljoner siffror av π (22 459 157 718 361 ( π ^e × 10 ¹² )). Beräkningen tog (med tre avbrott) 105 dagar att slutföra, begränsningen av ytterligare expansion var främst lagringsutrymme.
8. I mars 2019 beräknade Emma Haruka Iwao, en anställd på Google , 31,4 (ungefär 10π ) biljoner siffror av pi med hjälp av y-cruncher och Google Cloud- maskiner. Detta tog 121 dagar att slutföra.
9. I januari 2020 tillkännagav Timothy Mullican beräkningen av 50 biljoner siffror under 303 dagar.
10. Den 14 augusti 2021 tillkännagav ett team (DAViS) vid University of Applied Sciences of the Grisons slutförandet av beräkningen av π till 62,8 (ungefär 20π ) biljoner siffror.
11. Den 8 juni 2022 tillkännagav Emma Haruka Iwao på Google Cloud Blog beräkningen av 100 biljoner (10 ¹⁴ ) siffror av π under 158 dagar med hjälp av Alexander Yees y-cruncher .

Praktiska uppskattningar

Beroende på syftet med en beräkning kan π approximeras genom att använda bråk för att underlätta beräkningen. De mest anmärkningsvärda sådana approximationerna är 22 ⁄ 7 ( relativt fel på cirka 4·10 ⁻⁴ ) och 355 ⁄ 113 (relativt fel på cirka 8·10 ⁻⁸ ).

Icke-matematiska "definitioner" av π

Av några anmärkningsvärda är juridiska eller historiska texter som påstås "definiera π " för att ha något rationellt värde, såsom " Indiana Pi Bill " från 1897, som angav "förhållandet mellan diameter och omkrets är fem fjärdedelar till fyra" (vilket skulle innebära " π = 3,2 ") och ett stycke i den hebreiska bibeln som antyder att π = 3 .

Indiana räkning

Huvudartikel: Indiana Pi Bill

Den så kallade "Indiana Pi Bill" från 1897 har ofta karaktäriserats som ett försök att "lagstifta värdet av Pi". Snarare handlade lagförslaget om en påstådd lösning på problemet med att geometriskt " kvaddra cirkeln ".

Lagförslaget antogs nästan av Indianas generalförsamling i USA och har hävdats innebära ett antal olika värden för π , även om det närmaste det kommer att uttryckligen hävda en är formuleringen "förhållandet mellan diameter och omkrets är som fem fjärdedelar till fyra", vilket skulle göra π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , en avvikelse på nästan 2 procent. En matematikprofessor som råkade vara med den dag lagförslaget togs upp för behandling i senaten, efter det att det hade godkänts i kammaren, bidrog till att stoppa lagförslaget vid dess andra behandling, varefter församlingen grundligt förlöjligade det innan skjuta upp det på obestämd tid .

Tillräknat bibliskt värde

Se även: Smält hav

Det hävdas ibland att den hebreiska bibeln antyder att " π är lika med tre", baserat på en passage i 1 Kungaboken 7:23 och 2 Krönikeboken 4:2 som ger mått på den runda bassängen som ligger framför templet i Jerusalem med en diameter på 10 alnar och en omkrets av 30 alnar.

Frågan diskuteras i Talmud och i rabbinsk litteratur . Bland de många förklaringarna och kommentarerna är dessa:

• Rabbi Nehemiah förklarade detta i sin Mishnat ha-Middot (den tidigaste kända hebreiska texten om geometri , ca 150 e.Kr.) genom att säga att diametern mättes från den yttre kanten medan omkretsen mättes längs den inre kanten. Denna tolkning innebär ett brätte på cirka 0,225 alnar (eller, om man antar en 18-tums "aln", ungefär 4 tum), eller en och en tredje " handbredd ", tjock (jfr NKJV och NKJV ).
• Maimonides uppger (ca. 1168 e.Kr.) att π endast kan kännas ungefärligt, så värdet 3 angavs som tillräckligt korrekt för religiösa ändamål. Detta tas av vissa som det tidigaste påståendet att π är irrationell.

Det finns fortfarande en del debatt om detta avsnitt i bibelvetenskapen. Många rekonstruktioner av bassängen visar en bredare brätte (eller vidgad läpp) som sträcker sig utåt från själva skålen med flera centimeter för att matcha beskrivningen i NKJV I de efterföljande verserna beskrivs kanten som "en handbredd tjock; och brättet därav var framställt som brättet av en bägare, som en liljas blomma: det tog emot och rymde tre tusen bad" NKJV , vilket antyder en form som kan omslutas av ett snöre som är kortare än brättets totala längd, t.ex. , en Liliumblomma eller en tekopp .

Utveckling av effektiva formler

Huvudartikel: Lista över formler som involverar π

Polygon approximation till en cirkel

Arkimedes skapade i sin Mätning av en cirkel den första algoritmen för beräkningen av π baserad på idén att omkretsen av en (konvex) polygon inskriven i en cirkel är mindre än cirkelns omkrets, vilket i sin tur är mindre än omkretsen av någon omskriven polygon. Han började med inskrivna och omskrivna regelbundna hexagoner, vars omkrets lätt bestäms. Han visar sedan hur man beräknar omkretsen av regelbundna polygoner med dubbelt så många sidor som är inskrivna och omskrivna kring samma cirkel. Detta är en rekursiv procedur som idag skulle beskrivas på följande sätt: Låt p _k och P _k beteckna omkretsen av regelbundna polygoner på k sidor som är inskrivna respektive omskrivna kring samma cirkel. Sedan,

$P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n }P_{2n}}}.$

Archimedes använder detta för att successivt beräkna P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ och p ₉₆ . Genom att använda dessa sista värden får han

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.$

Det är inte känt varför Arkimedes stannade vid en 96-sidig polygon; det krävs bara tålamod för att utöka beräkningarna. Heron rapporterar i sin Metrica (cirka 60 e.Kr.) att Arkimedes fortsatte beräkningen i en nu förlorad bok, men sedan tillskriver honom ett felaktigt värde.

Arkimedes använder ingen trigonometri i denna beräkning och svårigheten att tillämpa metoden ligger i att få bra approximationer för de kvadratrötter som är inblandade. Trigonometri, i form av en tabell över ackordlängder i en cirkel, användes förmodligen av Claudius Ptolemaios av Alexandria för att få värdet på π som anges i Almagest (cirka 150 e.Kr.).

Framsteg i approximationen av π (när metoderna är kända) gjordes genom att öka antalet sidor av polygonerna som används i beräkningen. En trigonometrisk förbättring av Willebrord Snell (1621) erhåller bättre gränser från ett par gränser erhållna från polygonmetoden. Således erhölls mer exakta resultat från polygoner med färre sidor. Viètes formel , publicerad av François Viète 1593, härleddes av Viète med en närbesläktad polygonal metod, men med ytor snarare än omkretsar av polygoner vars antal sidor är två potenser.

Det sista stora försöket att beräkna π med denna metod utfördes av Grienberger 1630 som beräknade 39 decimaler av π med hjälp av Snells förfining.

Maskinliknande formel

Huvudartikel: Maskinliknande formel

För snabba beräkningar kan man använda formler som Machin's :

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1} {239}}$

tillsammans med Taylor-seriens expansion av funktionen arctan ( x ). Denna formel är lättast att verifiera med polära koordinater för komplexa tal , vilket ger:

$(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).$

({ x , y } = {239, 13 ² } är en lösning på Pell-ekvationen x ² −2 y ² = −1.)

Formler av detta slag är kända som Machin-liknande formler . Machins speciella formel användes långt in i datoreran för att beräkna rekordantal av siffror för π , men på senare tid har andra liknande formler också använts.

Till exempel använde Shanks och hans team följande Machin-liknande formel 1961 för att beräkna de första 100 000 siffrorna i π :

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\ arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

och de använde en annan Machin-liknande formel,

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8 \arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}$

som en check.

Rekordet i december 2002 av Yasumasa Kanada från Tokyo University stod på 1 241 100 000 000 siffror. Följande maskinliknande formler användes för detta:

${\frac {\pi }{4}}}=12 {49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

K. Takano (1982).

${\frac {\pi }{4}}}=44 {57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

FCM Størmer (1896).

Andra klassiska formler

Andra formler som har använts för att beräkna uppskattningar av π inkluderar:

Liu Hui (se även Viètes formel ):

${\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned} }$

Madhava :

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k} }{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}} {2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5 \cdot 3^{2}}-{1 \över 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

Newton /Eulers konvergenstransformation:

${\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}} }\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2}) ^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^ {2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3 }}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1) !!}}=\summa _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac { 1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\ höger)\end{aligned}}$

där m!! är dubbelfaktorialen , produkten av de positiva heltalen upp till m med samma paritet .

Euler :

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$

( Utvärderad med hjälp av föregående serie för arctan. )

Ramanujan :

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{ k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

David Chudnovsky och Gregory Chudnovsky :

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

Ramanujans arbete är grunden för Chudnovsky-algoritmen , de snabbaste algoritmerna som användes vid millennieskiftet för att beräkna π .

Moderna algoritmer

Extremt långa decimalexpansioner av π beräknas vanligtvis med iterativa formler som Gauss-Legendre-algoritmen och Borweins algoritm . Den senare, som hittades 1985 av Jonathan och Peter Borwein , konvergerar extremt snabbt:

För $y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$ och

$y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~, ~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+ y_{k+1}^{2})$

där $f(y)=(1-y^{4})^{1/4}$ , sekvensen $1 /a_{k}$ konvergerar kvartiskt till π , vilket ger cirka 100 siffror i tre steg och över en biljon siffror efter 20 steg. Gauss–Legendre-algoritmen (med tidskomplexitet $O(n\log ^{2}n)$ , med Harvey–Hoeven multiplikationsalgoritm ) är asymptotiskt snabbare än Chudnovsky-algoritmen (med tiden) komplexitet ${\displaystyle O(n\log ^{3}n)} ) –$ men vilken av dessa algoritmer som är snabbare i praktiken för "tillräckligt liten" $n$ beror på tekniska faktorer såsom minnesstorlekar och åtkomsttider . För att slå världsrekord används de iterativa algoritmerna mindre vanligt än Chudnovsky-algoritmen eftersom de är minneskrävande.

De första en miljon siffrorna i π och 1⁄ . π är tillgängliga från Project Gutenberg Ett tidigare beräkningsrekord (december 2002) av Yasumasa Kanada från Tokyo University låg på 1,24 biljoner siffror, som beräknades i september 2002 på en Hitachi - superdator med 64 noder med 1 terabyte huvudminne, som utför 2 biljoner operationer per sekund, nästan dubbelt så många som den dator som användes för det tidigare rekordet (206 miljarder siffror). Följande maskinliknande formler användes för detta:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}=12 {49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}} ($ Kikuo Takano (1982))

${\frac {}\pi {\displaystyle {\frac {}\pi frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$ ( F. C. M. Størmer (1896)).

Dessa uppskattningar har så många siffror att de inte längre är till någon praktisk användning, förutom för att testa nya superdatorer. Egenskaper som den potentiella normaliteten för π kommer alltid att bero på den oändliga strängen av siffror i slutet, inte på någon ändlig beräkning.

Diverse uppskattningar

Historiskt har bas 60 använts för beräkningar. I denna bas π approximeras till åtta (decimala) signifikanta siffror med talet 3;8,29,44 ₆₀ , vilket är

$3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3,14159\ 259^{+}$

(Nästa sexagesimala siffra är 0, vilket gör att trunkering här ger en relativt bra approximation.)

Dessutom kan följande uttryck användas för att uppskatta π :

• exakt till tre siffror:

${\frac {22}{7}}=3,143^{+}$

• korrekt till tre siffror:

${\sqrt {2} }+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$

Karl Popper antog att Platon kände till detta uttryck, att han trodde att det var exakt π , och att detta är ansvarigt för en del av Platons förtroende för den matematiska geometrins allkompetens —och Platons upprepade diskussion om speciella rätvinkliga trianglar som antingen är likbenta eller halvor av liksidiga trianglar.

${\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3,140^{+}$

• exakt till fyra siffror:

${\ sqrt[{3}]{31}}=3,1413^{+}$

${\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3,14142\ 2^{+}$

${\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3,14142\ 8^{+}$

• exakt till fyra siffror (eller fem signifikanta siffror):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3,1416^{+}} en approximation$

• av Ramanujan , exakt till 4 siffror (eller fem signifikanta siffror):

${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3,1416^{+}$

• exakt till fem siffror :

${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3,14156^{+}$

${\sqrt[{5 }]{306}}=3,14155^{+}$

• exakt till sex siffror:

$\left(2-{\frac {\sqrt {2{ \sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3,14159\ 6^{+}$ [1]

${\ displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$

• exakt till sju siffror:

${\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$

${\display frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\frac {9801}{2206{\sqrt {2 }}}}$ - invers av första termen i Ramanujan-serien.

• exakt till åtta siffror:

${\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3,14159\ 269^{+}$

${\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3,14159\ 260 ^{+}$

$\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2 }{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}} Detta är från Ramanujan , som$

gjorde anspråk på gudinnan av Namagiri visade sig för honom i en dröm och berättade för honom det sanna värdet av π .

• exakt till nio siffror:

• exakt till tio siffror:

${\sqrt[{15}]{28658146}}$

• exakt till tio siffror:

${\display { 63}{25}}\ gånger {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}} exakt till tio siffror$

• ( eller elva signifikanta siffror):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}3=$

3.24165 nyfiken approximation följer observationen att den 193:e potensen av 1/ π ger sekvensen 1122211125... Genom att ersätta 5 med 2 fullbordas symmetrin utan att reducera de korrekta siffrorna i π , medan införandet av en central decimalpunkt fixerar anmärkningsvärt den åtföljande storleken 10 till ¹⁰ .

• exakt till elva siffror:

${\sqrt[{18}]{888582403}}$

• exakt till tolv siffror:

${\sqrt[{20}]{8769}6$

• siffror :

${\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}$ - invers av summan av de två första termerna i Ramanujan-serien.

${\frac {165707065}{52746197}}=3,1415926535897\ 934 + 5 siffror till ^ {+} 4 siffror till ^ {+$

• accurate to 18 digits:

${\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}$

This is based on the fundamental discriminant d = 3(89) = 267 which has class number h(-d) = 2 explaining the algebraic numbers of degree 2. The core radical $\scriptstyle 5^{4}+53{\sqrt {89}}$ is 5³ more than the fundamental unit $\scriptstyle U_{89}=500+53{\sqrt {89}}$ which gives the smallest solution { x, y} = {500, 53} to the Pell equation x² − 89y² = −1.

• accurate to 24 digits:

${\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}$ - inverse of sum of first three terms of Ramanujan series.

• accurate to 30 decimal places:

${\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}$

Derived from the closeness of Ramanujan constant to the integer 640320³+744. This does not admit obvious generalizations in the integers, because there are only finitely many Heegner numbers and negative discriminants d with class number h(−d) = 1, and d = 163 is the largest one in absolute value.

• accurate to 52 decimal places:

${\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}$

Like the one above, a consequence of the j-invariant. Among negative discriminants with class number 2, this d the largest in absolute value.

• accurate to 161 decimal places:

${\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}$

where u is a product of four simple quartic units,

$u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})$

and,

${\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}$

Based on one found by Daniel Shanks. Similar to the previous two, but this time is a quotient of a modular form, namely the Dedekind eta function, and where the argument involves $\tau ={\sqrt {-3502}}$. The discriminant d = 3502 has h(−d) = 16.

• The continued fraction representation of π can be used to generate successive best rational approximations. These approximations are the best possible rational approximations of π relative to the size of their denominators. Here is a list of the first thirteen of these:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}$

Of these, ${\frac {355}{113}}$ is the only fraction in this sequence that gives more exact digits of π (i.e. 7) than the number of digits needed to approximate it (i.e. 6). The accuracy can be improved by using other fractions with larger numerators and denominators, but, for most such fractions, more digits are required in the approximation than correct significant figures achieved in the result.

Summera en cirkels area

Numerisk approximation av π : eftersom punkter är slumpmässigt utspridda inuti enhetskvadraten, faller vissa inom enhetscirkeln. Bråkdelen av punkter inuti cirkeln närmar sig π/4 när punkter läggs till.

Pi kan erhållas från en cirkel om dess radie och area är kända med hjälp av förhållandet:

$A=\pi r^{2}.$

Om en cirkel med radie r ritas med centrum i punkten (0, 0), kommer varje punkt vars avstånd från origo är mindre än r att falla in i cirkeln. Pythagoras sats anger avståndet från valfri punkt ( x , y ) till mitten:

$d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Matematiskt "grafpapper" bildas genom att föreställa sig en 1×1 kvadrat centrerad runt varje cell ( x , y ), där x och y är heltal mellan − r och r . Kvadrater vars centrum ligger inuti eller exakt på cirkelns kant kan sedan räknas genom att testa om, för varje cell ( x , y ),

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.$

Det totala antalet celler som uppfyller detta villkor approximerar således cirkelns area, som sedan kan användas för att beräkna en approximation av π . Närmare approximationer kan produceras genom att använda större värden på r .

Matematiskt kan denna formel skrivas:

$\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\summa _{x=-r}^{r}\;\summa _{y =-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}$

Med andra ord, börja med att välja ett värde för r . Betrakta alla celler ( x , y ) där både x och y är heltal mellan − r och r . Börja med 0, lägg till 1 för varje cell vars avstånd till origo (0,0) är mindre än eller lika med r . När du är klar dividerar du summan, som representerar arean av en cirkel med radien r , med r ² för att hitta approximationen av π . Till exempel, om r är 5, är cellerna som beaktas:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

Denna cirkel som den skulle ritas på en kartesisk koordinatgraf . Cellerna (±3, ±4) och (±4, ±3) är märkta.

De 12 cellerna (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) är exakt på cirkeln, och 69 celler är helt inuti , så den ungefärliga arean är 81, och π beräknas vara ungefär 3,24 eftersom 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Resultaten för vissa värden på r visas i tabellen nedan:

r	område	approximation av π
2	13	3,25
3	29	3,22222
4	49	3,0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3,1425
100	31417	3,1417
1000	3141549	3,141549

För relaterade resultat se Cirkelproblemet: antal punkter (x,y) i kvadratgitter med x^2 + y^2 <= n .

involverar de mer komplexa approximationerna av π som ges nedan upprepade beräkningar av något slag, vilket ger närmare och närmare approximationer med ökande antal beräkningar.

Fortsättning bråk

  Förutom dess enkla fortsatta bråkrepresentation [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], som inte visar något urskiljbart mönster, har π många generaliserade fortsatta bråkrepresentationer genererade av en enkel regel, inklusive dessa två.

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{ 6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ ddots }}}}}}}}$

De välkända värdena 22 ⁄ 7 och 355 ⁄ 113 är den andra respektive fjärde fortsatta bråkens approximationer till π. (Andra representationer finns på The Wolfram Functions Site .)

Trigonometri

Gregory-Leibniz-serien

Gregory -Leibniz-serien

$\pi =4\summa _{n=0}^ {\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+ {\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)$

är potensserien för arctan (x) specialiserad till x = 1. Den konvergerar för långsamt för att vara av praktiskt intresse. Potensserien konvergerar dock mycket snabbare för mindre värden på $x$ , vilket leder till formler där $\pi$ uppstår som summan av små vinklar med rationella tangenter, kända som Machin-liknande formler .

Arctangens

Ytterligare information: Dubbelfaktorial

Genom att veta att 4 arctan 1 = π , kan formeln förenklas för att få:

${\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\ cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+ {\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\summa _{n =0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\summa _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1} n!^{2}}{(2n+1)!}}=\summa _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{ n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{ \frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{ 109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}$

med en konvergens så att varje ytterligare 10 termer ger minst ytterligare tre siffror.

En annan formel för $\pi$ som involverar arctangent funktion ges av

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,$

där $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ så att $a_{1}={\sqrt {2}}$ . Approximationer kan göras genom att till exempel använda den snabbt konvergerande Euler -formeln

$\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\ ;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.$

Alternativt kan följande enkla expansionsserier av arctangensfunktionen användas

$\arctan(x)=2\summa _{ n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{ 2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},$

var

${\begin{aligned}&a_{1}(x) =2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2} \right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\ höger)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}$

att approximera $\pi$ med ännu snabbare konvergens. Konvergensen i denna arctangent formel för $\pi$ förbättras när heltal $k$ ökar.

Konstanten $\pi$ kan också uttryckas med oändlig summa av arctangent funktioner som

${\}display {\frac} }=\summa _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\ frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

och

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

där $F_{n}$ är det n :e Fibonacci-talet . Dessa två formler för $\pi$ är dock mycket långsammare i konvergens på grund av en uppsättning arctangenta funktioner som är involverade i beräkningen.

Arcsine

Att observera en liksidig triangel och notera det

$\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}$

ger

${\begin{6}\pi &-=1} \frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{ \frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\ cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1} \cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\summa _ {n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584} }+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}$

med en konvergens så att varje ytterligare fem termer ger minst ytterligare tre siffror.

Sifferextraktionsmetoder

Bailey -Borwein-Plouffe-formeln (BBP) för att beräkna π upptäcktes 1995 av Simon Plouffe. Med hjälp av bas 16- matematik kan formeln beräkna vilken siffra som helst av π — som returnerar siffrans hexadecimala värde — utan att behöva beräkna de mellanliggande siffrorna (sifferextraktion).

$\pi =\sum _{n=0} ^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}$

   1996 härledde Simon Plouffe en algoritm för att extrahera den n: e decimalsiffran i π (med bas 10 matematik för att extrahera en bas 10 siffra), och som kan göra det med en förbättrad hastighet på O ( n ³ (log n ) ³ ) tid. Algoritmen kräver praktiskt taget inget minne för lagring av en matris eller matris så den miljondelssiffran i π kan beräknas med hjälp av en fickkalkylator. Det skulle dock vara ganska tråkigt och opraktiskt att göra det.

$\pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}$

  Beräkningshastigheten för Plouffes formel förbättrades till O ( n ² ) av Fabrice Bellard , som härledde en alternativ formel (om än bara i bas 2-matematik) för att beräkna π .

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\summa _{n=0}^{\infty }{ \frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+ 3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n +5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

Effektiva metoder

Många andra uttryck för π utvecklades och publicerades av den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan . Han arbetade med matematikern Godfrey Harold Hardy i England under ett antal år.

Extremt långa decimalexpansioner av π beräknas vanligtvis med Gauss-Legendre-algoritmen och Borweins algoritm ; Salamin –Brent-algoritmen , som uppfanns 1976, har också använts.

1997 publicerade David H. Bailey , Peter Borwein och Simon Plouffe en artikel (Bailey, 1997) om en ny formel för π som en oändlig serie :

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{ \frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).$

Denna formel tillåter en ganska lätt att beräkna den k: te binära eller hexadecimala siffran i π , utan att behöva beräkna de föregående k − 1 siffrorna. Baileys webbplats innehåller härledningen såväl som implementeringar i olika programmeringsspråk . PiHex - projektet beräknade 64 bitar runt den kvadriljonte biten av π (som visar sig vara 0).

Fabrice Bellard förbättrade BBP ytterligare med sin formel :

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\summa _{n=0}^{\infty }{ \frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{ 4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}} {10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

Andra formler som har använts för att beräkna uppskattningar av π inkluderar:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty } {\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k +1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\ left(1+\cdots \right)\right)\right)$

Newton .

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{ k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} Srinivasa$

Ramanujan .

Detta konvergerar utomordentligt snabbt. Ramanujans arbete är grunden för de snabbaste algoritmerna som användes vid millennieskiftet för att beräkna π .

1988 hittade David Chudnovsky och Gregory Chudnovsky en ännu snabbare konvergerande serie ( Chudnovsky-algoritmen) :

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0 }^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}$ .

Hastigheten för olika algoritmer för att beräkna pi till n korrekta siffror visas nedan i fallande ordning efter asymptotisk komplexitet. M(n) är komplexiteten hos den använda multiplikationsalgoritmen.

Algoritm	År	Tidskomplexitet eller hastighet
Gauss-Legendre-algoritm	1975	$O(M(n)\log(n))$
Chudnovsky algoritm	1988	$O(n\log(n)^{3})$
Binär uppdelning av arctan-serien i Machins formel		$O(M(n)(\log n)^{2})$
Leibniz formel för π	1300-talet	Sublinjär konvergens. Fem miljarder termer för 10 korrekta decimaler

Projekt

Pi Hex

Pi Hex var ett projekt för att beräkna tre specifika binära siffror i π med hjälp av ett distribuerat nätverk av flera hundra datorer. År 2000, efter två år, slutförde projektet att beräkna de fem biljonte (5*10 ¹² ), den fyrtio biljondelen och den kvadriljonte (10 ¹⁵ ) bitarna. Alla tre visade sig vara 0.

Programvara för beräkning av π

Under åren har flera program skrivits för att beräkna π till många siffror på persondatorer .

Generell mening

De flesta datoralgebrasystem kan beräkna π och andra vanliga matematiska konstanter med vilken precision som helst.

Funktioner för att beräkna π ingår också i många allmänna bibliotek för aritmetik med godtycklig precision, till exempel Class Library for Numbers , MPFR och SymPy .

Speciell anledning

Program utformade för att beräkna π kan ha bättre prestanda än matematisk programvara för allmänt bruk. De implementerar vanligtvis kontrollpunkter och effektivt diskbyte för att underlätta extremt långvariga och minnesdyra beräkningar.

• TachusPi av Fabrice Bellard är programmet som han själv använde för att beräkna världsrekord i antalet pi-siffror 2009.
• y -cruncher av Alexander Yee är programmet som alla världsrekordinnehavare sedan Shigeru Kondo 2010 har använt för att beräkna världsrekord med siffror . y -cruncher kan också användas för att beräkna andra konstanter och har världsrekord för flera av dem.
• PiFast av Xavier Gourdon var det snabbaste programmet för Microsoft Windows 2003. Enligt dess författare kan det beräkna en miljon siffror på 3,5 sekunder på en 2,4 GHz Pentium 4 . PiFast kan också beräkna andra irrationella tal som e och √ 2 . Det kan också fungera med lägre effektivitet med mycket lite minne (ned till några tiotal megabyte för att beräkna långt över en miljard (10 ⁹ ) siffror). Detta verktyg är ett populärt riktmärke inom överklockningscommunityt . PiFast 4.4 är tillgängligt från Stus Pi-sida . PiFast 4.3 är tillgängligt från Gourdons sida.
• QuickPi av Steve Pagliarulo för Windows är snabbare än PiFast för körningar på under 400 miljoner siffror. Version 4.5 finns tillgänglig på Stu's Pi-sida nedan. Precis som PiFast kan QuickPi också beräkna andra irrationella tal som e , √ 2 och √ 3 . Programvaran kan erhållas från Pi-Hacks Yahoo! forum, eller från Stus Pi-sida .
• Super PI av Kanada Laboratory vid University of Tokyo är programmet för Microsoft Windows för körningar från 16 000 till 33 550 000 siffror. Den kan beräkna en miljon siffror på 40 minuter, två miljoner siffror på 90 minuter och fyra miljoner siffror på 220 minuter på en Pentium 90 MHz. Super PI version 1.9 är tillgänglig från Super PI 1.9-sidan .

Se även

• Milü
• Madhavas korrigeringsterm

Anteckningar

• Bailey, David H .; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (april 1997). "Om den snabba beräkningen av olika polylogaritmiska konstanter" (PDF) . Beräkningsmatematik . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B . doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
•    Beckmann, Petr (1971). En historia av π . New York: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8 . MR 0449960 .
•   Eves, Howard (1992). An Introduction to the History of Mathematics (6:e uppl.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4 .
•   Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., London: Penguin ed.). London: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4 .
•   Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inne i den stora pyramiden i Giza . London: BBC. ISBN 9780563488033 .
•   Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi: en källbok (3:e upplagan). New York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6 .