Ramanujan–Sato-serien

Inom matematik generaliserar en Ramanujan–Sato-serie Ramanujans pi -formler som,

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\summa _{k= 0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}$

till formuläret

${\frac {1}{\pi }}=\summa _{k=0}^{\infty }s(k){ \frac {Ak+B}{C^{k}}}$

genom att använda andra väldefinierade sekvenser av heltal $s(k)$ som följer en viss återkommande relation , sekvenser som kan uttryckas i termer av binomialkoefficienter ${\tbinom {n} {k}}$ och $A,B,C$ som använder modulära former av högre nivåer.

Ramanujan gjorde den gåtfulla kommentaren att det fanns "motsvarande teorier", men det var först nyligen som HH Chan och S. Cooper hittade ett allmänt tillvägagångssätt som använde den underliggande modulära kongruensundergruppen Γ ( n ) {\ ${0}( n)}$ , medan G. Almkvist experimentellt har funnit många andra exempel också med en generell metod som använder differentialoperatorer .

Nivå 1–4A gavs av Ramanujan (1914), nivå 5 av HH Chan och S. Cooper (2012), 6A av Chan, Tanigawa, Yang och Zudilin, 6B av Sato (2002), 6C av H. Chan, S Chan och Z. Liu (2004), 6D av H. Chan och H. Verrill (2009), nivå 7 av S. Cooper (2012), del av nivå 8 av Almkvist och Guillera (2012), del av nivå 10 av Y. Yang, och resten av HH Chan och S. Cooper.

Notationen j _n ( τ ) härleds från Zagier och T _n hänvisar till den relevanta McKay–Thompson-serien .

Nivå 1

Exempel för nivåerna 1–4 gavs av Ramanujan i hans papper från 1917. Givet $q=e^{2\pi i\tau }$ som i resten av denna artikel. Låta,

${\begin{aligned}j(\tau )&=\left({\frac {E_{ 4}(\tau )}{\eta ^{8}(\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+\ cdots \\j^{*}(\tau )&=432\,{\frac {{\sqrt {j(\tau )}}+{\sqrt {j(\tau )-1728}}}{{\ sqrt {j(\tau )}}-{\sqrt {j(\tau )-1728}}}}={\frac {1}{q}}-120+10260q-901120q^{2}+\cdots \ end{aligned}}$

med j-funktionen j ( τ ), Eisenstein-serien E ₄ och Dedekind eta-funktionen η ( τ ). Den första expansionen är McKay–Thompson-serien av klass 1A ( OEIS : A007240 ) med a(0) = 744. Notera att koefficienten för den linjära termen j ( τ ) nästan är lika med 196883, som J. McKay först noterade. , vilket är graden av den minsta icke-triviala irreducerbara representationen av Monstergruppen . Liknande fenomen kommer att observeras på de andra nivåerna. Definiera

$s_{1A}(k)={\binom {2k} {k}}{\binom {3k}{k}}{\binom {6k}{3k}}=1,120,83160,81681600,\ldots$ ( OEIS : A001421 )

$s_{1B} (k)=\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}{\binom {6j}{3j}}{\binom { k+j}{kj}}(-432)^{kj}=1,-312,114264,-44196288,\ldots$

Sedan är de två modulära funktionerna och sekvenserna relaterade till

$\summa _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {1}{(j(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}} =\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {1}{(j^{*}(\tau ))^{k+{\frac { 1}{2}}}}}$

om serien konvergerar och tecknet valts på lämpligt sätt, men kvadrera båda sidorna tar lätt bort tvetydigheten. Analoga relationer finns för de högre nivåerna.

Exempel:

${\frac {1}{\pi }}=12\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {163\cdot 3344418k+13591409}{\left(-640320^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}=-262537412640768000$

${\frac {1}{\pi }}=24\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {-3669+320{\sqrt {645}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left({-432}\,U_{645}^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j^{*}\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)=-432\,U_{645}^{3}=-432\left({\frac {127+5{\sqrt {645}}}{2}}\right)^{3}$

där $645=43\times 15,$ och $U_{n}$ är en grundläggande enhet . Den första tillhör en familj av formler som noggrant bevisades av bröderna Chudnovsky 1989 och som senare användes för att beräkna 10 biljoner siffror av π 2011. Den andra formeln, och de för högre nivåer, fastställdes av HH Chan och S. Cooper 2012.

Nivå 2

Med hjälp av Zagiers notation för den modulära funktionen på nivå 2,

$aligned {−\ aligned }j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6 }\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}={\frac {1}{q}} +104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+\cdots \\j_{2B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau)}{\eta (2 \tau )}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}-\cdots \end{aligned}}}$

Observera att koefficienten för den linjära termen av j _2A ( τ ) är en mer än 4371 vilket är den minsta graden större än 1 av de irreducibla representationerna av Baby Monster - gruppen . Definiera,

$s_{2A}(k)={\binom { 2k}{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {4k}{2k}}=1,24,2520,369600,63063000,\ldots$ ( OEIS : A008977 )

$s_{2B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {4j} {2j}}{\binom {k+j}{kj}}(-64)^{kj}=1,-40,2008,-109120,6173656,\ldots$

Sedan,

${\ displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {1}{(j_{2A}(\tau ))^{k+{\frac {1}{ 2}}}}}=\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {1}{(j_{2B}(\tau ))^{ k+{\frac {1}{2}}}}}}$

om serien konvergerar och tecknet valt på lämpligt sätt.

Exempel:

$=24591257856}$

${5612578 1}{\pi }}=32{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {58\cdot 455k+1103 }{\left(396^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}$

${\frac {1}{\pi }}=16{\sqrt {2}}\, \sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {-24184+9801{\sqrt {29}}\,\left(k+{\frac {1}{ 2}}\right)}{\left(64\,U_{29}^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2B}\left ({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=64\left({\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}\right)^{12}= 64\,U_{29}^{12}$

Den första formeln, hittad av Ramanujan och nämnd i början av artikeln, tillhör en familj som bevisats av D. Bailey och bröderna Borwein i en tidning från 1989.

Nivå 3

Definiera,

$_ \begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+ 3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}={\frac {1} {q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+\cdots \\j_{3B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau)}{ \eta (3\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12+54q-76q^{2}-243q^{3}+1188q^{4}+ \cdots \\\end{aligned}}}$

där 782 är den minsta graden större än 1 av de irreducerbara representationerna av Fischer-gruppen Fi ₂₃ och,

$s_{3A}(k)={\binom {2k }{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {3k}{k}}=1,12,540,33600,2425500,\ldots$ ( OEIS : A184423 )

$s_{3B}(k)=\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}} {\binom {k+j}{kj}}(-27)^{kj}=1,-15,297,-6495,149481,\ldots$

Exempel:

${\ displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3A}(k)\,{\frac {267\cdot 53k+827}{\left(-300^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3A}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-300^{3}=-27000000}$

${\frac {1 }{\pi }}={\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3B}(k)\,{\frac {12497-3000{\sqrt {89 }}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-27\,U_{89}^{2}\right)^{k+{\frac {1} {2}}}}},\quad j_{3B}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-27\,\left(500+53 {\sqrt {89}}\right)^{2}=-27\,U_{89}^{2}$

Nivå 4

Definiera,

${\begin{aligned}j_{4A}(\ tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau)}{\eta (4\tau)}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}=-\left({\frac {\eta \left({\frac {2\tau +3 }{2}}\right)}{\eta (2\tau +3)}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+ 11202q^{3}+\cdots \\j_{4C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{8 }={\frac {1}{q}}-8+20q-62q^{3}+216q^{5}-641q^{7}+\ldots \\\end{aligned}}$

där den första är den 24:e potensen av Webers modulära funktion ${\mathfrak {f}}(2\tau )$ . Och,

$s_{4A}(k)={\binom {2k}{k}}^{3} =1,8,216,8000,343000,\ldots$ ( OEIS : A002897 )

$s_{4C}(k) =\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {k+j}{kj}}(-16)^{kj}=(- 1)^{k}\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{2}{\binom {2k-2j}{kj}}^{2}=1 ,-8,88,-1088,14296,\ldots$ ( OEIS : A036917 )

Exempel:

${ \frac {1}{\pi }}=8\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4A}(k)\,{\frac {6k +1}{\left(-2^{9}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{4A}\left({\frac {1+{\ sqrt {-4}}}{2}}\right)=-2^{9}=-512$

${\frac {1}{\pi } }=16\,{\boldsymbol {i}}\,\summa _{k=0}^{\infty }s_{4C}(k)\,{\frac {1-2{\sqrt {2}} \,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-16\,U_{2}^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2 }}}}},\quad j_{4C}\left({\frac {1+{\sqrt {-4}}}{2}}\right)=-16\,\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4}=-16\,U_{2}^{4}$

Nivå 5

Definiera,

${\ start{aligned}j_{5A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau)}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3 }\left({\frac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}+22={\frac {1}{q}}+16+134q+ 760q^{2}+3345q^{3}+\cdots \\j_{5B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}} \right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+9q+10q^{2}-30q^{3}+6q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

och,

$s_{5A}(k)= {\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}=1 ,6,114,2940,87570,\ldots$

$s_{5B}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+k}{\binom {k}{j }}^{3}{\binom {4k-5j}{3k}}=1,-5,35,-275,2275,-19255,\ldots$ ( OEIS : A229111 )

där den första är produkten av de centrala binomialkoefficienterna och Apéry-talen ( OEIS : A005258 )

Exempel:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {5}{9}}\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{5A}(k)\,{\frac {682k+71}{(-15228)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{5A}\left({ \frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-15228=-(18{\sqrt {47}})^{2}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {6}{\sqrt {5}}}\,{\boldsymbol {i }}\,\summa _{k=0}^{\infty }s_{5B}(k)\,{\frac {25{\sqrt {5}}-141\left(k+{\frac {1} {2}}\right)}{\left(-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}} ,\quad j_{5B}\left({\frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-5{\sqrt {5}}\,\left( {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{15}=-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}$

Nivå 6

Modulära funktioner

2002 etablerade Sato de första resultaten för nivåer över 4. Det gällde Apéry-tal som först användes för att fastställa irrationaliteten hos $\zeta (3)$ . Först definiera,

${\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=j_{6B}(\tau )+{ \frac {1}{j_{6B}(\tau )}}-2=j_{6C}(\tau )+{\frac {64}{j_{6C}(\tau )}}+16=j_{ 6D}(\tau )+{\frac {81}{j_{6D}(\tau )}}+14={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (3\tau )}{\eta (\ tau )\eta (6\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+12+78q+364q^{2}+1365q^{3}+\cdots \end {aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (3\tau )}{\eta ( 2\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+15q-32q^{2}+87q^{3}-192q^ {4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2 \tau )}{\eta (3\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4-2q+28q^{2}- 27q^{3}-52q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6E}(\tau )&=\left({\frac { \eta (2\tau )\eta ^{3}(3\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{3}(6\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+3+6q+4q^{2}-3q^{3}-12q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

J. Conway och S. Norton visade att det finns linjära relationer mellan McKay-Thompson-serien T _n , varav en var,

$T_{6A}-T_{6B}-T_{6C}-T_{6D}+2T_{6E}=0$

eller genom att använda ovanstående eta-kvotienter j _n ,

$j_{6A}-j_{6B}-j_{6C}-j_{6D}+2j_{6E}= 22$

α Sekvenser

För den modulära funktionen j _6A kan man associera den med tre olika sekvenser. (En liknande situation inträffar för nivå 10-funktionen j _10A .) Låt,

$\alpha _{1}(k)={\binom {2k }{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{3}=1,4,60,1120,24220,\ldots$ ( OEIS : A181418 , märkt som s ₆ i Coopers papper)

$\alpha _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^ {k}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}={\binom {2k}{k}} \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{j}}=1,6,90,1860,44730,\ldots$ ( OEIS : A002896 )

$\alpha _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\summa _{j=0}^{k}{\binom {k}{j }}(-8)^{kj}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,-12,252,-6240,167580,-4726512, \ldots$

De tre sekvenserna involverar produkten av de centrala binomialkoefficienterna $c(k)={\tbinom {2k}{k}}$ med: först Franel-talen $\textstyle \sum _{j=0}^{k}{\tbinom {k}{j}}^{3}$ ; andra, OEIS : A002893 , och tredje, $(-1)^{k}$ OEIS : A093388 . Observera att den andra sekvensen, α ₂ ( k ) också är antalet 2 n -stegs polygoner på ett kubiskt gitter . Deras komplement,

${\ displaystyle \alpha '_{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{ kj}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,2,42,620,12250,\ldots }$

$\alpha '_{3}(k) ={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(8)^{kj}\summa _{m=0}^{ j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,20,636,23840,991900,\ldots$

Det finns också associerade sekvenser, nämligen Apéry-numren,

$s_{6B}(k)=\summa _{ j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}^{2}=1,5,73,1445,33001,\ ldots$ ( OEIS : A005259 )

Domb-talen (osignerade) eller antalet 2 n -stegspolygoner på ett diamantgitter ,

$s_{6C}(k)=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom { 2(kj)}{kj}}{\binom {2j}{j}}=1,-4,28,-256,2716,\ldots$ ( OEIS : A002895 )

och Almkvist-Zudilin-numren,

$s_{6D}(k)=\summa _{j=0}^{ k}(-1)^{kj}\,3^{k-3j}\,{\frac {(3j)!}{j!^{3}}}{\binom {k}{3j}}{ \binom {k+j}{j}}=1,-3,9,-3,-279,2997,\ldots$ ( OEIS : A125143 )

var

${\frac {(3j)!}{j!^{3}}}={\binom {2j}{j}}{\binom {3j} {j}}$

Identiteter

De modulära funktionerna kan relateras som,

$P=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k )\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^ {\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2} }}}}=\summa _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-32\ höger)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

$Q=\sum _ {k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{ 2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6C}(\tau )\right) ^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_ {6D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

om serien konvergerar och tecknet valt på lämpligt sätt. Det kan också konstateras att,

$P=Q=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A }(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k) \,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

vilket innebär,

$\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right) ^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\ left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

och på liknande sätt använder _a3 och a'3 _.

Exempel

Man kan använda ett värde för j _6A på tre sätt. Till exempel börjar med,

$\Delta =j_{6A}\left({\sqrt {\frac {-17}{6}} }\right)=198^{2}-4=\left(140{\sqrt {2}}\right)^{2}=39200$

och notera att $3\cdot 17=51$ då,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {24{\sqrt {3}}}{35}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {51\cdot 11k+53}{(\Delta )^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {4{\sqrt {3}}}{99}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {17\cdot 560k+899}{(\Delta +4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {770k+73}{(\Delta -32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

såväl som,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {12{\sqrt {3}}}{ 9799}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {11\cdot 51\cdot 560k+29693}{(\Delta -4 )^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {6{\sqrt {3}}}{613}}\ ,\sum _{k=0}^{\infty}\alpha '_{3}(k)\,{\frac {51\cdot 770k+3697}{(\Delta +32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

även om formlerna som använder komplementen tydligen ännu inte har ett rigoröst bevis. För övriga modulära funktioner,

${\frac {1}{\pi }}=8{\sqrt {15}}\,\summa _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\ ,\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {5}}}{20}}+k\right)\left({\frac {1}{\phi ^ {12}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}},\quad j_{6B}\left({\sqrt {\frac {-5}{6}}}\right) =\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}}{2}}\right)^{12}=\phi ^{12}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{2}}\,\sum _{ k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {3k+1}{32^{k}}},\quad j_{6C}\left({\sqrt {\frac {-1}{3}}}\right)=32$

${\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {3}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {4k+1}{81^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{6D}\left({\sqrt {\frac {-1}{2}}}\right )=81$

Nivå 7

Definiera

$s_{7A}(k)= \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}{\binom {k+j}{j}}=1 ,4,48,760,13840,\ldots$ ( OEIS : A183204 )

och,

${ \displaystyle {\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{ 2}+7\left({\frac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {1}{ q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+\cdots \\j_{7B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau)}{\ eta (7\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+2q+8q^{2}-5q^{3}-4q^{4}-10q ^{5}+\cdots \end{aligned}}}$

Exempel:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {7}}{22^{3}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{7A}(k)\,{\frac {11895k+1286}{\left(-22^{3}\right)^{k}}},\quad j_{7A}\left({\frac {7+{\sqrt {-427}}}{14}}\right)=-22^{3}+1=-\left(39{\sqrt {7}}\right)^{2}=- 10647$

Ingen pi-formel har ännu hittats med j _7B .

Nivå 8

Definiera,

${\begin{aligned}j_{4B}(\tau )&=\left(j_{2A}(2\tau )\right)^{\frac {1}{2}} ={\frac {1}{q}}+52q+834q^{3}+4760q^{5}+24703q^{7}+\cdots \\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta ^{2}(4\tau )}{\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{4}+4 \left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}{\eta (\tau )\,\eta ^{2}(4\tau )}} \right)^{4}\right)^{2}=\left(\left({\frac {\eta (2\tau )\,\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\ ,\eta (8\tau )}}\right)^{4}-4\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta (8\tau )}{\eta (2\tau) \,\eta (4\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\j_{8A'}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau) )\,\eta ^{2}(4\tau )}{\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac { 1}{q}}-8+36q-128q^{2}+386q^{3}-1024q^{4}+\cdots \\j_{8A}(\tau )&=\left({\frac { \eta (2\tau )\,\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{ q}}+8+36q+128q^{2}+386q^{3}+1024q^{4}+\cdots \\j_{8B}(\tau )&=\left(j_{4A}(2\ tau )\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {\eta ^{2}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (8 \tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+12q+66q^{3}+232q^{5}+639q^{7}+\cdots \end{aligned }}$

Expansionen av den första är McKay-Thompson-serien av klass 4B (och är kvadratroten av en annan funktion). Den fjärde är också kvadratroten av en annan funktion. Låta,

$s_{4B}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j= 0}^{k}4^{k-2j}{\binom {k}{2j}}{\binom {2j}{j}}^{2}={\binom {2k}{k}}\summa _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\binom {2k-2j}{kj}}{\binom {2j}{j}}=1,8,120,2240,47320 ,\ldots$

$s_ {8A'}(k)=(-1)^{k}\summa _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k }}^{2}=1,-4,40,-544,8536,\ldots$

$s_{8B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{ \binom {2k-4j}{k-2j}}=1,2,14,36,334,\ldots$

där den första är produkten av den centrala binomialkoefficienten och en sekvens relaterad till ett aritmetiskt-geometriskt medelvärde ( OEIS : A081085 ),

Exempel:

${\displaystyle {$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {-2}}{70}}\,\ summa _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {58\cdot 13\cdot 99\,k+6243}{\left(16-396^{2}\ höger)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

${\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A'}(k)\,{\ frac {-222+377{\sqrt {2}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(1+{\sqrt {2}} \right)^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A'}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4 }}\right)=4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12},\quad j_{8A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4} }\right)=4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}=4U_{58}^{2}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {\frac {3 }{5}}}{16}}\,\summa _{k=0}^{\infty }s_{8B}(k)\,{\frac {210k+43}{(64)^{k+{ \frac {1}{2}}}}},\qquad j_{4B}\left({\frac {\sqrt {-7}}{4}}\right)=64$

även om ingen pi-formel ännu är känd med j _8A ( τ ).

Nivå 9

Definiera,

${\begin{aligned}j_{3C}(\tau )&=\left(j(3\tau ) \right)^{\frac {1}{3}}=-6+\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9 \tau )}}\right)^{6}-27\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}{\eta ^{2}(3\tau )} }\right)^{6}={\frac {1}{q}}+248q^{2}+4124q^{5}+34752q^{8}+\cdots \\j_{9A}(\tau ) &=\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+27q+86q^{2}+243q^{3}+594q^{4}+\cdots \\\end{aligned}}$

Expansionen av den första är McKay-Thompson-serien av klass 3C (och relaterad till kubroten av j-funktionen ), medan den andra är den av klass 9A. Låta,

$_ \binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom {k}{j}}{\binom {kj}{j} }{\binom {k-2j}{j}}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom { k}{3j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}=1,-6,54,-420,630,\ldots }$

$s_{9A}(k)=\summa _ {j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}\sum _{m=0}^{j}{\binom {k}{m}}{\binom {j }{m}}{\binom {j+m}{k}}=1,3,27,309,4059,\ldots$

där den första är produkten av de centrala binomialkoefficienterna och OEIS : A006077 (dock med olika tecken).

Exempel:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {-{\boldsymbol {i}}}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }s_{3C}(k)\,{\ frac {602k+85}{\left(-960-12\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3C}\left({\frac {3+{ \sqrt {-43}}}{6}}\right)=-960$

${\frac {1}{\pi }}=6\, {\boldsymbol {i}}\,\summa _{k=0}^{\infty }s_{9A}(k)\,{\frac {4-{\sqrt {129}}\,\left(k+ {\frac {1}{2}}\right)}{\left(-3{\sqrt {3U_{129}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}, \quad j_{9A}\left({\frac {3+{\sqrt {-43}}}{6}}\right)=-3{\sqrt {3}}\left(53{\sqrt {3 }}+14{\sqrt {43}}\right)=-3{\sqrt {3U_{129}}}$

Nivå 10

Modulära funktioner

Definiera,

${\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=j_{10B}(\tau )+{ \frac {16}{j_{10B}(\tau )}}+8=j_{10C}(\tau )+{\frac {25}{j_{10C}(\tau )}}+6=j_{ 10D}(\tau )+{\frac {1}{j_{10D}(\tau )}}-2={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (5\tau )}{\ eta (2\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+6q-8q^{2}+17q^{3}- 32q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}-2-3q+6q^{2 }+2q^{3}+2q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2) \tau )\eta (5\tau )}{\eta (\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+21q+ 62q^{2}+162q^{3}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10E}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{5}(5\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{5}(10\tau )}}\right)={\frac {1}{q} }+1+q+2q^{2}+2q^{3}-2q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

Precis som nivå 6 finns det också linjära relationer mellan dessa,

$T_{10A}-T_{10B}-T_{10C}-T_{10D}+2T_{10E}=0$

eller genom att använda ovanstående eta-kvotienter j _n ,

$j_{10A}-j_{10B}-j_{10C}-j_{10D}+2j_{10E}= 6$

β-sekvenser

Låta,

$\beta _{1}(k)=\summa _{j=0}^{ k}{\binom {k}{j}}^{4}=1,2,18,164,1810,\ldots$ ( OEIS : A005260 , märkt som s ₁₀ i Coopers papper)

$\beta _{2}(k) ={\binom {2k}{k}}\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}\summa _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,4,36,424,5716,\ldots$

$\beta _{3 }(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j }}(-4)^{kj}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,-6,66,-876,12786,\ ldots$

deras komplement,

$\beta _{2}'(k)={\binom {2k}{k}}\summa _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j }}^{-1}{\binom {k}{j}}(-1)^{kj}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4 }=1,0,12,24,564,2784,\ldots$

$\beta _{3}'(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0 }^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(4)^{kj}\summa _{m=0}^{j}{ \binom {j}{m}}^{4}=1,10,162,3124,66994,\ldots$

och,

$s_{10B}(k)=1,-2,10,-68,514,-49400,33 ,\ldots$

$s_{10C}(k)=1,-1, 1,-1,1,23,-263,1343,-2303,\ldots$

${\0displaystyle s_ k)=1,3,25,267,3249,42795,594145,\ldots }$

även om slutna former ännu inte är kända för de tre sista sekvenserna.

Identiteter

De modulära funktionerna kan relateras som,

$U=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k )\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^ {\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2} }}}}=\summa _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau)-16\ höger)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

$V=\sum _ {k=0}^{\infty }s_{10B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{ 2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10C}(\tau )\right) ^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\summa _{k=0}^{\infty }s_{10D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_ {10D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

om serien konvergerar. Man kan faktiskt också konstatera att

$U=V=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A }(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k) \,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

Eftersom exponenten har en bråkdel måste tecknet för kvadratroten väljas på lämpligt sätt även om det är mindre problem när j _n är positivt.

Exempel

Precis som nivå 6 kan nivå 10-funktionen j _10A användas på tre sätt. Börjar med,

$j_{10A}\left({\sqrt {\frac {-19}{10}}}\right)=76^{2}=5776$

och notera att $5\cdot 19=95$ då,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{\sqrt {95}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k)\, {\frac {408k+47}{\left(76^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}& ={\frac {1}{17{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {19\ cdot 1824k+3983}{\left(76^{2}+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&= {\frac {1}{6{\sqrt {95}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,\,{\frac {19\cdot 646k+1427}{\left(76^{2}-16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

såväl som,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{481{\sqrt {95} }}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {19\cdot 10336k+22675}{\left(76^{2} -4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{181{\sqrt {95} }}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k)\,{\frac {19\cdot 3876k+8405}{\left(76^{2} +16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\end{aligned}}$

även om de som använder komplementen ännu inte har ett rigoröst bevis. En gissningsformel som använder en av de tre sista sekvenserna är,

${\frac {1 }{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{\sqrt {5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k){\frac {10k+3}{\left(-5^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{10C}\left({\frac {1+ \,{\boldsymbol {i}}}{2}}\right)=-5^{2}$

vilket innebär att det kan finnas exempel för alla sekvenser på nivå 10.

Nivå 11

Definiera McKay–Thompson-serien av klass 11A,

$j_{11A}(\ tau )=(1+3F)^{3}+\left({\frac {1}{\sqrt {F}}}+3{\sqrt {F}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+6+17q+46q^{2}+116q^{3}+\cdots$

var,

$F={\frac {\eta (3\tau )\,\eta (33\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (11\tau )}}$

och,

$s_{11A}(k)=1,4,28,268,3004,36774,4764s }$

Ingen sluten form i termer av binomialkoefficienter är ännu känd för sekvensen men den följer återfallsrelationen ,

$(k+1)^{3}s_{k+1}=2(2k+1)\left(5k^{2}+5k+2\ höger)s_{k}-8k\left(7k^{2}+1\right)s_{k-1}+22k(k-1)(2k-1)s_{k-2}$

med initiala villkor s (0) = 1, s (1) = 4.

Exempel:

${\frac {1 }{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{22}}\summa _{k=0}^{\infty }s_{11A}(k)\,{\frac {221k+67 }{(-44)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{11A}\left({\frac {1+{\sqrt {\frac {-17}{11 }}}}{2}}\right)=-44$

Högre nivåer

Som påpekat av Cooper finns det analoga sekvenser för vissa högre nivåer.

Liknande serie

R. Steiner hittade exempel med katalanska siffror $C_{k}$ ,

${ \displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{kn}\right)^{2}{\frac {(4z)k+\ left(4^{2n-3}-(4n-3)z\right)}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\ i \mathbb {N} }$

och för detta finns en modulär form med en andra periodisk för k :

$k={\frac {(-20-12{\boldsymbol {i}})+ 16n}{16}},\qquad k={\frac {(-20+12{\boldsymbol {i}})+16n}{16}}$

Andra liknande serier är

${\frac {1}{\pi }}=\summa _{k=0}^{\infty } \left(2C_{k-2}\right)^{2}{\frac {3k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\summa _{k=0}^{\infty }\left (2C_{k-1}\höger)^{2}{\frac {(4z+1)kz}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z}$

${\frac {1}{\pi }}=\summa _{k=0}^{\infty }\left(2C_{ k-1}\höger)^{2}{\frac {-1k+{\frac {1}{2}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{ 2}{\frac {0k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${ \displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{5}}+{\frac {1}{5}}}{16^{k}}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\ frac {k}{3}}+{\frac {1}{6}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{ \frac {k}{2}}+{\frac {1}{8}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac { 2k-{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\summa _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {3k-{\frac {1} {2}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\ summa _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{16}}+{\frac {1}{16} }}{16^{k}}}$

med den sista (kommentarer i OEIS : A013709 ) som hittades genom att använda en linjär kombination av högre delar av Wallis -Lambert-serien för ${\tfrac {4}{\pi }}$ och Euler-serien för omkretsen av en ellips .

Genom att använda definitionen av katalanska tal med gammafunktionen ger den första och sista till exempel identiteterna

${\frac {1}{4}}=\summa _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2} }+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}\left(4zk-(4n-3)z+4^{2n-3}\right)\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\in \mathbb {N}$

...

$4=\summa _{k=0}^{\infty }{\left({ \frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}(k+1)$ .

Det sista motsvarar också,

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{4}}\sum _{ k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2k}{k}}^{2}}{k+1}}\,{\frac {1}{16^{k}}}$

och är relaterad till det faktum att,

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {16^{k}}{k{\binom {2k}{k}} ^{2}}}=\pi$

vilket är en konsekvens av Stirlings approximation .

Se även

• Chudnovsky algoritm
• Borweins algoritm

externa länkar

• Franel-nummer
• McKay-Thompson-serien
• Approximationer till Pi via Dedekind eta-funktionen