Lista över formler som involverar π

Följande är en lista över signifikanta formler som involverar den matematiska konstanten π . Många av dessa formler finns i artikeln Pi , eller artikeln Approximationer av π .

Euklidisk geometri

$\pi ={\frac {C}{d}}$

där C är omkretsen av en cirkel , d är diametern . Mer allmänt,

$\pi ={\frac {L}{w}}$

där L och w är respektive omkretsen och bredden av en kurva med konstant bredd .

$A=\pi r^{2}$

där A är arean av en cirkel och r är radien . Mer allmänt,

$A=\pi ab$

där A är det område som omges av en ellips med halvhuvudaxel a och halvmollaxel b .

$A=4\pi r^{2}$

där A är området mellan häxan från Agnesi och dess asymptotiska linje; r är radien för den definierande cirkeln.

$A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{ \sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatörsnamn {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

där A är arean av en ekorr med mindre radie r , $\Gamma$ är gammafunktionen och $\operatorname {agm}$ är det aritmetiska–geometriska medelvärdet .

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}$

där A är arean av en epicykloid med den mindre cirkeln med radien r och den större cirkeln med radien kr ( $k\in \mathbb {N}$ ), förutsatt att initialpunkten ligger på den större cirkeln.

$A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}$

där A är arean av en ros med vinkelfrekvens k ( $k\in \mathbb {N}$ ) och amplitud a .

$L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\ pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatörsnamn {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

där L är omkretsen av Bernoullis lemniscate med brännvidd c .

$V={4 \over 3}\pi r^{3}$

där V är volymen av en sfär och r är radien.

$SA=4\pi r^{2}$

där SA är en sfärs ytarea och r är radien.

$H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}$

där H är hypervolymen för en 3-sfär och r är radien.

$2\pi ^{2}r^{3}}$

där SV är ytvolymen för en 3-sfär och r är radien.

Regelbundna konvexa polygoner

Summan S av inre vinklar för en regelbunden konvex polygon med n sidor:

$S=(n-2)\pi$

Area A av en regelbunden konvex polygon med n sidor och sidolängd s :

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Inradius r för en regelbunden konvex polygon med n sidor och sidolängd s :

$r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Circumradius R av en regelbunden konvex polygon med n sidor och sidolängd s :

$R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}$

Fysik

• Den kosmologiska konstanten :

$\Lambda ={{8\pi G} \över {3c^{2}}}\rho$

• Heisenbergs osäkerhetsprincip :

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• Einsteins fältekvation för generell relativitet :

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\ mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

• Coulombs lag för den elektriska kraften i vakuum:

$F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• Magnetisk permeabilitet för fritt utrymme :

$\mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}$

• Ungefärlig period för en enkel pendel med liten amplitud:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Exakt period av en enkel pendel med amplitud $\theta _{0}$ ( $\operatorname {agm}$ är det aritmetiska–geometriska medelvärdet ):

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{ \operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}} Keplers tredje lag för$

• planetrörelse :

• \ Böjningsformeln :

$pi ^{2}}}}$

$F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}$

Ett pussel som involverar "krockande biljardbollar":

$\lfloor {b^{N}\pi }\rfloor$

är antalet kollisioner gjorda (under idealiska förhållanden, perfekt elastiska utan friktion) av ett föremål med massan m initialt i vila mellan en fast vägg och ett annat föremål med massan b ^{2 N} m , när det träffas av det andra föremålet. (Detta ger siffrorna för π i bas b upp till N siffror efter radixpunkten.)

Formler som ger π

Integraler

${\displaystyle 2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi } ($ integrerar två halvor $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ för att erhålla arean av enhetscirkeln)

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatörsnamn {sech} x\,dx=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt }\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty}e^{-t^{2}-1/2x^{2}+ xt}\,dx\,dt=\pi$

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1- x^{2}}}}=\pi$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi } (se även$ Cauchy distribution )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} (se Gauss$ integral ) .

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$ (när integrationsvägen slingrar sig en gång moturs runt 0. Se även Cauchys integralformel ).

$\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}} \right)\,dx=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}} \,dx=\pi$

$\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \över 1+x^{2} }\,dx={22 \over 7}-\pi$ (se även Bevis på att 22/7 överstiger π ).

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \ alfa }},\quad 0<\alpha <1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatörsnamn {agm} ({\sqrt {a}},{\ sqrt {b}})}$ (där $\operatorname {agm}$ är aritmetiskt–geometriskt medelvärde ; se även elliptisk integral )

Observera att med symmetriska integrander $f(-x)=f(x)$ , formler av formen ${\textstyle \int _ {-a}^{a}f(x)\,dx}$ kan också översättas till formlerna ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\ ,dx}$ .

Effektiv oändlig serie

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\summa _{k=0}^{\infty } {\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}} (se$ även dubbelfaktorial )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2 ^{k-1}}}=\pi$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {1}{\pi }}} (se Chudnovsky$ - algoritmen )

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac { (4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {1}{\pi }}} (se Srinivasa Ramanujan, Ramanujan$ – Sato - serien )

Följande är effektiva för att beräkna godtyckliga binära siffror för π :

$\sum _{k=0}^{\infty }{\ frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\ frac {1}{4k+3}}\right)=\pi$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{ k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac { 1}{8k+6}}\right)=\pi$ (se Bailey–Borwein–Plouffe formel )

${\frac {1}{2^{6}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{ 10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k +1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{ 10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=\pi$

Plouffes serie för beräkning av godtyckliga decimalsiffror för π :

$\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3$

Andra oändliga serier

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+ {\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\ frac {\pi ^{2}}{6}}$ (se även Baselproblem och Riemann zeta-funktion )

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2 ^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4} }{90}}$

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n }}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\ cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$ , där B _{2 n} är ett Bernoulli-tal .

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^ {n}}}\,\zeta (n+1)=\pi$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta ( n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \ pi x}},\quad 0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4 }}$ (se Leibniz formel för pi )

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+ 1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+ {\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$ ( Newton , Second Letter to Oldenburg , 1676)

$\sum _{n=0}^{\infty \frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac { 1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}- \cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$ ( Madhava - serien )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{ 2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+ \cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac { \pi ^{2}}{24}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2 }}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\ cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac { 1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^ {3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4 }}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\ cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac { 1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^ {5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6 }}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\ cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

I allmänhet,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{ k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

där $E_{2k}$ är ${\displaystyle 2k}:$ e Euler-talet .

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{ (4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\ cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left(( -1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}| +|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}} ($ se Gregory koefficienter )

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2} }}\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={ \frac {1}{\pi }}$ (där $(x)_{n}$ är den stigande faktorn )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1 }}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3$ ( Nilakantha- serien)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\ pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}$ (där $F_{n}$ är det n -te Fibonacci-talet )

$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(- 1)^{\epsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}} -{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1 }{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+ \cdots$ (där $\epsilon (n)$ är antalet primtalsfaktorer av formen $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ av ${ \displaystyle n}$ )

${\frac {\pi }{2}}=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac { (-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4 }}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$ (där $\varepsilon (n)$ är antalet primtalsfaktorer av formen $p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$ av $n$ )

$\pi =\summa _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}$

$\pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}$

De två sista formlerna är specialfall av

${\begin{aligned }{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\summa _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x }}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\summa _{n=-\infty }^{\infty }{\frac { 1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}$

som genererar oändligt många analoga formler för $\pi$ när $x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .$

Några formler som relaterar till π och övertonstal ges här . Ytterligare oändliga serier som involverar π är:

$\pi ={\frac {1}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\ frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+ 1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {32}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac { (42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{ 64^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {27}{4Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right) _{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!) ^{3}}}$
$\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right) _{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!) ^{3}}}$
$\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right) _{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!) ^{3}}}$
$\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right) _{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!) ^{3}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$	$Z=\summa _{n=0}^{\ infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n }\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right) _{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right) _{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}$	$Z=\summa _{n=0} ^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right) _{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$	$Z=\summa _{n= 0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\ höger)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1} }}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$	$Z=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left ({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3 ^{n}}{4}^{n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left( {\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2} ^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {72}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n) !(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}$
$\pi ={\frac {3528}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n) !(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}$

där $(x)_{n}$ är Pochhammer-symbolen för den stigande faktorn. Se även serien Ramanujan–Sato .

Maskinliknande formler

Se även: Maskinliknande formel

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1$

${\frac {\pi }{4} }=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7 }}$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ (den ursprungliga Machins formel)

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\ arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan { \frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\ arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

Oändliga produkter

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\ cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\ frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,} ($ Euler )

där täljarna är de udda primtal; varje nämnare är multipeln av fyra närmast täljaren.

${\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb { P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12} }\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots ,$

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1 }^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{ 3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7} }\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$ (se även Wallis-produkten )

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(- 1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right )^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots$ (en annan form av Wallis-produkt)

Viètes formel :

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}} {2}}\cdot \cdots$

En dubbel oändlig produktformel som involverar Thue–Morse-sekvensen :

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {( 4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1) (2m^{2}+n)}}\höger)^{\epsilon _{n}},$

där $\epsilon _{n}=(-1)^ {t_{n}}$ och $t_{n}$ är Thue–Morse-sekvensen ( Tóth 2020 ).

Arktangensformler

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt { 2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2$

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}} ,$

där $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ så att $a_{1}={\sqrt {2}}$ .

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\ frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

där $F_{k}$ är det k -:te Fibonacci-talet.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

närhelst $a+b+c=abc$ och $a$ , $b$ , $c$ är positiva reella tal (se Lista över trigonometriska identiteter ). Ett speciellt fall är

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Komplexa exponentialformler

$e^{i\pi }+1=0$ ( Eulers identitet )

Följande ekvivalenser gäller för alla komplexa $z$ :

$e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z}$

$e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z}$

Fortsättning bråk

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{ 2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}} }$

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4 +{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad } ( Ramanujan$ , ϖ { $displaystyle \varpi }$ är lemniscatkonstanten )

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\ cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7 +{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

$2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12 +{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}} }}}$

För mer om den fjärde identiteten, se Eulers fortsatta bråkformel .

(Se även Fortsatt fraktion och Generaliserad fortsatt fraktion .)

Iterativa algoritmer

$a_{0}=1,\,a_{n+1}= \left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{ 2}}{n}}$

${\displaystyle a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}} ($ nära besläktad med Viètes formel)

${\displaystyle \omega (i_{n},i_{n-1},\dots ,i_{1})=2+i_{n}{\sqrt {2+i_{n-1}{\sqrt {2 +\cdots +i_{1}{\sqrt {2}}}}}}=\omega (b_{n},b_{n-1},\dots ,b_{1}),\,i_{k} \i \{-1,1\},\,b_{k}={\begin{fall}0&{\text{if }}i_{k}=1\\1&{\text{if }}i_{ k}=-1\end{cases}},\,\pi ={\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n+1}}{2h+1}}{\ sqrt {\omega \left(\underbrace {10\ldots 0} _{nm}g_{m,h+1}\right)}}}} (där g m , h + 1$ { $h +1}}$ är h+1:e posten för m-bit Gray code , $h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}$ )

$a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi = \lim _{n\to \infty }a_{n}$ (kubisk konvergens)

$a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatörsnamn {hm} (a_{n},b_{n} ),\,b_{n+1}=\operatörsnamn {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}= \lim _{n\to \infty }b_{n}$ ( Arkimedes algoritm, se även harmoniskt medelvärde och geometriskt medelvärde )

För mer iterativa algoritmer, se Gauss–Legendre-algoritmen och Borweins algoritm .

Asymptotika

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}} (asymptotisk$ tillväxthastighet av de centrala binomialkoefficienterna )

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}} ($ asymptotiskt tillväxttakt för de katalanska talen )

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} ($ Stirlings approximation )

$\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$ (där $\varphi$ är Eulers totientfunktion )

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2} }}$

Diverse

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}} ($ Eulers reflektionsformel, se Gammafunktion )

${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\ pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)} (den funktionella ekvationen för Riemanns zetafunktion$ )

$e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}$

${\displaystyle e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}} ($ där $\zeta (s,a)$ är Hurwitz zeta-funktionen och derivatan tas med avseende på den första variabeln)

${\displaystyle \pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}} ($ se även Betafunktion )

$\pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatörsnamn {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\ frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatörsnamn {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}$ ( där agm är det aritmetiska-geometriska medelvärdet )

${\displaystyle \pi =\operatörsnamn {agm} \left(\theta _{ 2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\right)} ($ där $\theta _{2}$ och $\theta _{3}$ är Jacobi theta-funktionerna )

${\displaystyle \pi =-{\frac {\operatörsnamn {K} (k)}{\operatörsnamn {K} \left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\ln q ,\quad k={\frac {\theta _{2}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}} (där$ q $\ displaystyle q\in (0,1)}$ och $\operatorname {K} (k)$ är den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget med modulen $k$ ; återspeglar namnet - modulinversionsproblem)

${\displaystyle \pi =-{\frac {\operatörsnamn {agm} \left(1,{\sqrt {1-k'^{2}}}\right)}{\operatörsnamn {agm} (1,k' )}}\ln q,\quad k'={\frac {\theta _{4}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}} ($ där $q\in (0,1)$ )

$\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})={\ frac {\pi }{\varpi }}$ (på grund av Gauss , $\varpi$ är lemniscate constant )

$i\pi =\operatörsnamn {Log} (-1)=\lim _{ n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)$ (där $\operatorname {Log}$ är huvudvärdet för den komplexa logaritmen )

${\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})} (där n mod k {\$ textstyle $bmod {k}}}$ är resten vid division av n med k )

$\pi =\lim _{r\to \infty }{ \frac {1}{r^{2}}}\summa _{x=-r}^{r}\;\summa _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\ text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2} }}>r\end{cases}}$ (summa en cirkels area)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\högerpil \infty }{\frac {4}{n^ {2}}}\summa _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}} ($ Riemann summa för att utvärdera arean av enhetscirkeln)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}} \left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}} ($ genom att kombinera Stirlings approximation med Wallis-produkten)

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln {\frac {16}{\lambda (ni)}}$ ( där $\lambda$ är den modulära lambdafunktionen )

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}G_{n}\right)= \lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}g_{n}\right)} (där$ G $\ displaystyle G_{n}}$ och $g_{n}$ är Ramanujans klassinvarianter )

Se även

• Lista över matematiska identiteter
• Listor över matematikämnen
• Lista över trigonometriska identiteter – Likheter som involverar trigonometriska funktioner
• Lista över ämnen relaterade till π – Ämnen relaterade till den matematiska konstanten
• Lista över representationer av t.ex

Övrig

• Tóth, László (2020), "Transcendental Infinite Products Associated with the +-1 Thue-Morse Sequence" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 : 20.8.2, arXiv : 2009.02025 .

Vidare läsning

• Peter Borwein, The Amazing Number Pi
•   Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Nummerteori 1: Fermats dröm. American Mathematical Society, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X .