Volatilitetsswap

Inom finans är en volatilitetsswap ett terminskontrakt på den framtida realiserade volatiliteten för en given underliggande tillgång. Volatilitetsswappar tillåter investerare att handla med volatiliteten för en tillgång direkt, ungefär som de skulle handla med ett prisindex. Dess utdelning vid utgången är lika med

$(\sigma _{\text{realized}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}$

var:

• $\sigma _{\text{realiserad}}$ är den årliga realiserade volatiliteten,
• $K_{\text{vol}}$ är volatilitetsstrejken, och
• $N_{\text{vol}}$ är ett på förhand överenskommet teoretiskt belopp.

det vill säga innehavaren av en volatilitetsswap får $N_{\text{vol}}$ för varje punkt med vilken det underliggande realiserade volatiliteten $\sigma _{\text{realiserad}}$ överskred leveranspriset för ${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}} ,$ och omvänt betalar $N_{\text{vol}}$ för varje punkt den realiserade volatiliteten understiger strejk.

Det underliggande är vanligtvis ett finansiellt instrument med en aktiv eller likvid optionsmarknad , såsom utländsk valuta , aktieindex eller enskilda aktier. Till skillnad från en investering i optioner, vars volatilitetsexponering är kontaminerad av dess prisberoende, ger dessa swappar ren exponering för enbart volatilitet. Detta är i själva verket endast fallet för volatilitetsswappar som startar framåt . Men när swappen väl har fixat sina tillgångar beror dess mark-to-market- värde också på det aktuella tillgångspriset. Man kan använda dessa instrument för att spekulera på framtida volatilitetsnivåer, för att handla skillnaden mellan realiserad och implicit volatilitet, eller för att säkra volatilitetsexponeringen för andra positioner eller verksamheter.

Volatilitetsswappar är vanligare noterade och handlas än de mycket lika men enklare variansswappar , som kan replikeras med en linjär kombination av optioner och en dynamisk position i terminer. Skillnaden mellan de två är konvexitet: Utdelningen av en variansswap är linjär med varians men konvex med volatilitet. Det betyder oundvikligen att en statisk replikering (en köp-och-håll-strategi) av en volatilitetsswap är omöjlig. Men med användning av variansswap ( $\Sigma _{T}^{2}$ ) som ett säkringsinstrument och inriktning på volatilitet ( $\Sigma _{T}$ ), kan volatiliteten vara skrivet som en funktion av varians:

$\Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b$

och $a$ och $b$ valda för att minimera förväntad förväntad kvadratavvikelse för de två sidorna:

${\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b) ^{2}]$

sedan, om sannolikheten för negativa realiserade volatiliteter är försumbar, kan framtida volatiliteter antas vara normala med medelvärde ${\bar {\Sigma }}$ och standardavvikelse $\sigma _{\Sigma }$ :

$\Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })$

då är säkringskoefficienterna:

$a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}} {\bar {\Sigma }}}}}$

$b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _ {\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}$

Definition av den realiserade volatiliteten

Definitionen av den årliga realiserade volatiliteten beror på handlarens syn på den underliggande prisobservationen, som kan vara antingen diskret eller kontinuerligt i tiden. För den förra, med den analoga konstruktionen med variansbytet, om det finns $n+1}$$S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}$ samplingspunkter för de observerade underliggande priserna, säger där $0 \leq t_{i-1}<t_{i}\leq T$ för $i=1$ till $n$ . Definiera ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),$ } naturliga stocken återkommer. Sedan definieras den årliga realiserade volatiliteten med diskret urval av

• $\sigma _{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\summa _{i= 1}^{n}R_{i}^{2}}},$

som i grunden är kvadratroten av den årliga realiserade variansen . Här $A$ en annualiserad faktor som vanligtvis väljs till numret på det observerade priset under ett år, dvs. $A=252$ om priset övervakas dagligen eller $A=52$ om det görs varje vecka. $T$ är utgångsdatumet för volatilitetsswappen definierad av $n/A$ .

Den kontinuerliga versionen av den årliga realiserade volatiliteten definieras med hjälp av kvadratroten av kvadratisk variation av den underliggande prisloggavkastningen:

• ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T }}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},$

där $\sigma (s)$ är den momentana volatiliteten för den underliggande tillgången. När antalet prisobservationer ökar till oändlighet kan man finna att $\sigma _{\text{realiserad}}$ konvergerar i sannolikhet till ${\tilde {\sigma }}_{ \text{realiserat}}$ dvs

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A} {n}}\summa _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T }\sigma ^{2}(s)ds}},$

representerar sammankopplingen och överensstämmelsen mellan de två tillvägagångssätten.

Prissättning och värdering

I allmänhet, för en specificerad underliggande tillgång, är huvudsyftet med prissättning av swappar att hitta ett rimligt lösenpris eftersom det inte kostar något att ingå kontraktet. En av de mest populära tillvägagångssätten för sådan rättvisa är att utnyttja Martingale-prissättningsmetoden , som är metoden för att hitta det förväntade nuvärdet av en given derivatsäkerhet med avseende på något riskneutralt sannolikhetsmått (eller Martingale-mått). Och hur ett sådant mått väljs beror på vilken modell som används för att beskriva prisutvecklingen.

Matematiskt sett, om vi antar att prisprocessen $S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}$ följer Black-Scholes- modellen under martingal mått $\mathbb {Q}$ , då löser det följande SDE:

${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0$

var:

• $T$ representerar byteskontraktets utgångsdatum,
• $r(t)\in \mathbb {R}$ är (tidsberoende) riskfri ränta,
• $\sigma (t)>0$ är (tidsberoende) prisvolatilitet, och
• $W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ är en Brownsk rörelse under det filtrerade sannolikhetsutrymmet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )} där F$ = $displaystyle \mathbb {F} =({ \mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ är den naturliga filtreringen av $W$ .

Eftersom vi vet att $(\sigma _{\text{realiserad}}-K_{\text{vol}})\ gånger N_{\text{vol}}$ är volatilitetsswap-utbetalningen vid utgången i det diskret samplade fallet (som växlas till ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}$ för det kontinuerliga fallet), sedan dess förväntade värde vid tid $t_{0}$ , betecknad med $V_{t_{0}}$ är

$V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb { Q} [\sigma _{\text{realiserad}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\ gånger N_{\text{vol}},$

vilket ger

$K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}|{\mathcal {F}}_{t_ {0}}]$

på grund av nollpriset på swappen, vilket definierar värdet av en fair volatility strike. Lösningen kan upptäckas på olika sätt. Till exempel får vi den slutna prissättningsformeln när sannolikhetsfördelningsfunktionen för $\sigma }_{\text{realized}$ eller ${\tilde {\sigma }}_{ \text{realized}}$ är känt, eller beräkna det numeriskt med hjälp av Monte Carlo-metoden . Alternativt, vid vissa begränsningar, kan man använda värdet av de europeiska alternativen för att approximera lösningen.

Prissättningsvolatilitetsswap med kontinuerlig sampling

När det gäller argumentet från Carr och Lee (2009), i fallet med kontinuerlig sampling realiserad volatilitet om vi antar att kontraktet börjar vid tidpunkten ${\displaystyle t_{0}=0} ,$ r $\displaystyle r(t)}$ är deterministisk och $\sigma (t)$ är godtycklig (deterministisk eller en stokastisk process) men oberoende av prisets rörelse dvs det finns ingen korrelation mellan $\ sigma (t)$ och $S_{t}$ och betecknar med $C_{t}(K,T)$ Black -Scholes formel för europeisk köpoption skriven på $S_{t}$ med lösenpriset $K$ vid tidpunkten $t,\;0\leq t\leq T$ med utgångsdatum ${\ displaystyle T}$ , sedan av auxilariteten för köpoptionen som valts att vara at-the-money dvs $K=S_{0}$ , volatilitetsstrejken $K_{\text{vol} }$ kan uppskattas av funktionen

$K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[{\tilde { \sigma }}_{\text{realized}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{T}}}{\frac { C_{0}(S_{0},T)}{S_{0}}}-2r(T)$

vilket är resultatet av att tillämpa Taylors serie på normalfördelningsdelarna av Black-Scholes formel .

Se även

• Variansbyte
• Volatilitet (finans)
• Volatilitet framåt

externa länkar

• Färdigförpackade volatilitetsspel