Svart modell

Black -modellen (ibland känd som Black-76-modellen ) är en variant av Black-Scholes alternativprismodell. Dess primära tillämpningar är för prissättning av optioner på framtida kontrakt , obligationsoptioner , räntetak och golv samt swaptioner . Det presenterades första gången i en artikel skriven av Fischer Black 1976.

Blacks modell kan generaliseras till en klass av modeller som kallas log-normal forward-modeller, även kallad LIBOR-marknadsmodell .

Den svarta formeln

Black-formeln liknar Black-Scholes-formeln för att värdera aktieoptioner förutom att spotpriset på det underliggande ersätts av ett diskonterat terminspris F.

Antag att det är konstant riskfri ränta r ​​och terminspriset F(t) för ett visst underliggande är lognormalt med konstant volatilitet σ . Sedan anger den svarta formeln priset för en europeisk köpoption med löptid T på ett terminskontrakt med lösenpris K och leveransdatum T' (med ${\displaystyle T'\geq T})$ är

$c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]$

Motsvarande säljpris är

$p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1 })]$

var

$d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2) T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$

$d_{2}= {\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T} },$

och N(.) är den kumulativa normalfördelningsfunktionen .

Observera att T' inte visas i formlerna även om det kan vara större än T . Detta beror på att terminskontrakt är marknadsmärkta och så realiseras utdelningen när optionen utnyttjas. Om vi ​​betraktar en option på ett terminskontrakt som löper ut vid tidpunkten T' > T , sker utdelningen inte förrän T' . Således ersätts diskonteringsfaktorn ${\displaystyle e^{-rT}} med$$e^{-rT'}$ eftersom man måste ta hänsyn till pengars tidsvärde . Skillnaden i de två fallen framgår tydligt av härledningen nedan.

Härledning och antaganden

Den svarta formeln härleds lätt från användningen av Margrabes formel , som i sin tur är en enkel, men smart, tillämpning av Black–Scholes formel .

Utbetalningen av köpoptionen på terminskontraktet är $\max(0,F(T)-K)$ . Vi kan betrakta detta som ett utbytesalternativ (Margrabe) genom att betrakta den första tillgången som $e^{-r(Tt)}F(t)$ och den andra tillgången att vara den riskfria obligationen som betalar av $1 vid tidpunkten $T$ . Sedan utnyttjas köpoptionen vid tidpunkten $T$ när den första tillgången är värd mer än $K$ riskfria obligationer. Antagandena i Margrabes formel är nöjda med dessa tillgångar.

Det enda som återstår att kontrollera är att den första tillgången verkligen är en tillgång. Detta kan ses genom att betrakta en portfölj bildad vid tidpunkten 0 genom att gå långt ett terminskontrakt med leveransdatum $T$ och långa $F(0)$ riskfria obligationer (observera att under den deterministiska räntan , termins- och terminspriserna är lika, så det finns ingen tvetydighet här). Sedan kan du när som helst $t$ avveckla din skyldighet för terminskontraktet genom att korta en annan termin med samma leveransdatum för att få skillnaden i terminspriser, men diskonterade till nuvärde: $e^{-r(Tt)}[F(t)-F(0)]$ . Likvidering av $F(0)$ risklösa obligationer, som var och en är värd $e^{-r(Tt)}$ , resulterar i en nettoutbetalning på $e^{-r(Tt)}F(t)$ .

Se även

• Finansiell matematik
• Black–Scholes
• Beskrivning av applikationer
  • Obligationsalternativ #Värdering
  • Terminskontrakt #Optioner på terminer
  • Räntetak och golv #Svart modell
  • Swaption #Värdering

• Black, Fischer (1976). Prissättningen av råvarukontrakt, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. och Steven W. Kohlhagen (1983). Valutaoptionsvärden, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. och Sondermann, D., (1997): "Stängda formulärlösningar för termstrukturderivat med lognormala räntor", Journal of Finance, 52(1), 409-430.

externa länkar

Diskussion

• Obligationsoptioner, kepsar och den svarta modellen Dr. Milica Cudina, University of Texas i Austin

Onlineverktyg

• Caplet And Floorlet Calculator Dr. Shing Hing Man, Thomson-Reuters riskhantering