Volatilitet framåt

Volatilitet på termin är ett mått på den implicita volatiliteten hos ett finansiellt instrument över en framtida period, utdraget från termstrukturen för volatilitet (vilket hänvisar till hur implicit volatilitet skiljer sig för relaterade finansiella instrument med olika löptider).

Underliggande princip

Variansen är kvadraten på skillnader mellan mätningar från medelvärdet dividerat med antalet prover. Standardavvikelsen är kvadratroten av variansen . _ Standardavvikelsen för den kontinuerligt sammansatta avkastningen för ett finansiellt instrument kallas volatilitet .

Den (årliga) volatiliteten i ett givet tillgångspris eller kurs under en löptid som börjar från $t_{0}=0$ motsvarar spotvolatiliteten för det underliggande, för den specifika löptiden. En samling av sådana volatiliteter bildar en volatilitetstermstruktur som liknar avkastningskurvan . Precis som terminsräntor kan härledas från en avkastningskurva, kan terminsvolatiliteter härledas från en given volatilitetsstruktur.

Härledning

Med tanke på att de underliggande slumpvariablerna för icke överlappande tidsintervall är oberoende , är variansen additiv (se varians ). Så för årliga tidssegment har vi den årliga volatiliteten som

${\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j} }(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2}+\sigma _{j-1,j}^{2})\\\Högerpil \sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-\summa _ {k=1}^{j-1}\sigma _{k-1,k}^{2}}},\end{aligned}}$

var

$j=1,2,\ldots$ är antalet år och faktorn ${\frac {1}{j}}$ skalar variansen så att det är en årlig en

$\sigma _{i,\,j}$$[i,\,j]$ den aktuella (vid tidpunkt 0) framåtvolatiliteten för perioden

$\sigma _{0,\,j}$ spotvolatiliteten för löptid $j$ .

För att förenkla beräkningen och få en icke-rekursiv representation, kan vi också uttrycka terminsvolatiliteten direkt i termer av spotvolatiliteter:

${\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1} {j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-1,j}^{2})\ \&={\frac {j-1}{j}}\cdot {\frac {1}{j-1}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2 }^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2})+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2 }\\&={\frac {j-1}{j}}\,\sigma _{0,j-1}^{2}+{\frac {1}{j}}\sigma _{j- 1,j}^{2}\\\Högerpil {\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}&=\sigma _{0,j}^{2} -{\frac {(j-1)}{j}}\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}^{2}&=j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\ sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}}}\end{aligned}}$

Efter samma argumentation får vi i det allmänna fallet med $t_{0}<t<T$ för den framåtriktade volatiliteten som ses vid tidpunkten $t_{0}$ :

$\sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {(T -t_{0})\sigma _{t_{0},T}^{2}-(t-t_{0})\sigma _{t_{0},t}^{2}}{Tt}} }$ ,

vilket förenklar i fallet med $t_{0}=0$ till

$\sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {T\sigma _{0,T}^{2 }-t\sigma _{0,t}^{2}}{Tt}}}$ .

Exempel

Volatiliteten på marknaden under 90 dagar är 18 % och under 180 dagar 16,6 %. I vår notation har vi $\sigma _{0,\,0.25}$ = 18% och $\sigma _{0,\,0.5}$ = 16.6% (behandlar ett år som 360 dagar). Vi vill hitta terminsvolatiliteten för perioden som börjar med dag 91 och slutar med dag 180. Med formeln ovan och inställningen $t_{0}=0$ får vi

$\sigma _{0.25,\,0.5}={.} - 0,25\cdot 0,18^{2}}{0,25}}}=0,1507\approx 15,1\%$ .