Saccheri fyrhörning

Saccheri fyrhörningar

En Saccheri-fyrhörning (även känd som en Khayyam-Saccheri-fyrhörning ) är en fyrhörning med två lika sidor vinkelräta mot basen. Den är uppkallad efter Giovanni Gerolamo Saccheri , som använde den flitigt i sin bok Euclides ab omni naevo vindicatus (bokstavligen Euclid befriad från varje fel) som först publicerades 1733, ett försök att bevisa det parallella postulatet med metoden Reductio ad absurdum . Saccheri-fyrhörningen kan ibland hänvisas till som Khayyam-Saccheri-fyrhörningen, med hänvisning till den persiske forskaren Omar Khayyam från 1000-talet .

För en Saccheri-fyrhörning ABCD är sidorna AD och BC (även kallade benen) lika långa och även vinkelräta mot basen AB. Den översta CD-skivan är toppen eller den övre basen och vinklarna vid C och D kallas toppvinklar.

Fördelen med att använda Saccheri-fyrhörningar när man överväger parallellpostulatet är att de placerar de ömsesidigt uteslutande alternativen i mycket tydliga termer:

Är toppvinklarna räta, trubbiga eller spetsiga vinklar?

Som det visar sig:

• när toppvinklarna är räta, är förekomsten av denna fyrhörning ekvivalent med det uttalande som förklaras av Euklids femte postulat.
• När toppvinklarna är spetsiga leder denna fyrhörning till hyperbolisk geometri , och
• när toppvinklarna är trubbiga leder fyrhörningen till elliptisk eller sfärisk geometri (förutsatt att även vissa andra modifieringar görs i postulaten).

Saccheri själv trodde dock att både de trubbiga och akuta fallen kunde visa sig vara motsägelsefulla . Han visade att det trubbiga fallet var motsägelsefullt, men misslyckades med att hantera det akuta fallet ordentligt.

Historia

Medan fyrhörningarna är uppkallade efter Giovanni Gerolamo Saccheri, ansågs de i verk av tidigare matematiker. Saccheris första påstående säger att om två lika linjer AC och BC bildar lika vinklar med linjen AB, kommer vinklarna vid CD att vara lika med varandra; en version av detta uttalande förekommer i verk av den 800-talsforskare Thabit ibn Qurra . Rectifying the Curved , en avhandling från 1300-talet skriven i Kastilien , bygger på arbetet av Thabit ibn Qurra och innehåller även beskrivningar av Saccheri-fyrhörningar. Omar Khayyam (1048-1131) beskrev dem i slutet av 1000-talet i bok I av hans förklaringar av svårigheterna i Euklids postulat . Till skillnad från många kommentatorer om Euklid före och efter honom (inklusive naturligtvis Saccheri), försökte Khayyam inte bevisa det parallella postulatet som sådant utan att härleda det från ett motsvarande postulat som han formulerade från "filosofiens principer" ( Aristoteles ):

Två konvergerande räta linjer skär varandra och det är omöjligt för två konvergerande räta linjer att divergera i den riktning i vilken de konvergerar.

Khayyam ansåg sedan att de tre fallen var rätta, trubbiga och skarpa som toppvinklarna för en Saccheri-fyrhörning kan ta och efter att ha bevisat ett antal satser om dem, motbevisade han (korrekt) de trubbiga och akuta fallen baserat på hans postulat och härledde därför Euklids klassiska postulat.

Den italienske 1600-talsmatematikern Giordano Vitale använde fyrhörningen i sin Euclide restituo (1680, 1686) för att bevisa att om tre punkter är lika långt på basen AB och toppmötets CD, så är AB och CD överallt på samma avstånd.

Saccheri själv baserade hela sitt långa och i slutändan felaktiga bevis för parallellpostulatet kring fyrhörningen och dess tre fall, vilket bevisade många satser om dess egenskaper längs vägen.

Saccheri-fyrhörningar i hyperbolisk geometri

Låt ABCD vara en Saccheri-fyrhörning med AB som bas , CD som topp och CA och DB som lika sidor som är vinkelräta mot basen. Följande egenskaper är giltiga i alla Saccheri-fyrhörningar i hyperbolisk geometri :

• Toppvinklarna (vinklarna vid C och D ) är lika och spetsiga .
• Toppen är längre än basen .
• Två Saccheri-fyrhörningar är kongruenta om:
  • bassegmenten och toppvinklarna är kongruenta
  • toppsegmenten och toppvinklarna är kongruenta.
• Linjesegmentet som förenar basens mittpunkt och toppmötets mittpunkt:
  • Är vinkelrät mot basen och toppen,
  • fyrhörningens enda symmetrilinje ,
  • är det kortaste segmentet som förbinder bas och topp,
  • är vinkelrät mot linjen som förenar sidornas mittpunkter,
  • delar Saccheri-fyrhörningen i två Lambert-fyrhörningar .
• Linjesegmentet som förenar sidornas mittpunkter är inte vinkelrät mot någondera sidan.

Ekvationer

I det hyperboliska planet med konstant krökning ${\displaystyle -1} kan$ toppen $s$ för en Saccheri-fyrhörning beräknas från benet $l$ och basen $b$ med hjälp av formeln

$\cosh s=(\cosh b-1)\cosh ^{2 }l+1=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l$

$\sinh \ vänster({\frac {s}{2}}\right)=\cosh \left(l\right)\sinh \left({\frac {b}{2}}\right)$

Kakelplattor i skivmodellen Poincaré

Beläggningar av Poincaré-skivans modell av det hyperboliska planet finns med Saccheri-fyrhörningar som grundläggande domäner . Förutom de två räta vinklarna har dessa fyrhörningar spetsiga toppvinklar. Plattorna uppvisar en *nn22 symmetri ( orbifold notation ) och inkluderar:

*3322 symmetri

*∞∞22 symmetri

Se även

• Lambert fyrhörning

Anteckningar

•   Coxeter, HSM (1998), Non-Euclidean Geometry (6:e upplagan), Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
•   Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• MJ Greenberg , Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History , 4:e upplagan, WH Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane , Springer-Verlag, 1975