Minimal koppling

Inom analytisk mekanik och kvantfältteori hänvisar minimal koppling till en koppling mellan fält som endast involverar laddningsfördelningen och inte högre multipolmoment av laddningsfördelningen. Denna minimala koppling står i motsats till till exempel Pauli-koppling , som inkluderar det magnetiska momentet för en elektron direkt i Lagrangian .

Elektrodynamik

Inom elektrodynamik är minimal koppling tillräcklig för att ta hänsyn till alla elektromagnetiska interaktioner. Högre moment av partiklar är konsekvenser av minimal koppling och spinn som inte är noll .

Icke-relativistisk laddad partikel i ett elektromagnetiskt fält

I kartesiska koordinater är lagrangian för en icke-relativistisk klassisk partikel i ett elektromagnetiskt fält (i SI-enheter) :

${\mathcal {L}}=\summa _{i}{\tfrac {1}{2}} m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi$

där q är partikelns elektriska laddning , φ är den elektriska skalära potentialen och A _i är komponenterna i den magnetiska vektorpotentialen som alla explicit kan bero på $x_{i}$ och $t$ .

Denna Lagrangian, i kombination med Euler-Lagrange ekvation , producerar Lorentz kraftlag

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\ gånger \mathbf {B} \,,$

och kallas minimal koppling.

Observera att värdena på skalär potential och vektorpotential skulle ändras under en mättransformation , och Lagrangian själv kommer också att ta upp extra termer, men de extra termerna i Lagrangian summerar till en total tidsderivata av en skalär funktion, och därför producerar fortfarande samma Euler-Lagrange-ekvation.

De kanoniska momenten ges av

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}} _{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}$

Observera att kanoniska moment inte är mätinvarianta och inte är fysiskt mätbara. Men det kinetiska momentet

$P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}$

är mätinvarianta och fysiskt mätbara.

Hamiltonian , som Legendre-förvandlingen av Lagrangian, är därför

${\mathcal {H}}=\left\{\summa _{i }{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i }\right)^{2}}{2m}}+q\varphi$

Denna ekvation används ofta inom kvantmekanik .

Under en mätomvandling,

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f }}\,,$

där f ( r , t ) är vilken skalär funktion som helst av rum och tid, ovannämnda lagrangiska, kanoniska momenta och Hamiltonska transform

$L\rightarrow L'=L+q{ \frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=Hq {\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$

som fortfarande producerar samma Hamiltons ekvation:

${\begin{aligned} \left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_ {i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{ i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot { x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_ {p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

Inom kvantmekaniken kommer vågfunktionen också att genomgå en lokal U(1) -grupptransformation under gauge-transformationen, vilket innebär att alla fysiska resultat måste vara invarianta under lokala U(1)-transformationer.

Relativistisk laddad partikel i ett elektromagnetiskt fält

Den relativistiska lagrangian för en partikel ( vilomassa m och laddning q ) ges av:

${\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c ^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\ varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)$

Således är partikelns kanoniska rörelsemängd

$\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}} {\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}$

det vill säga summan av den kinetiska rörelsemängden och den potentiella rörelsemängden.

Att lösa för hastigheten får vi

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right )}^{2}}}}$

Så Hamiltonian är det

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x } }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A } \right)}^{2}}}+q\varphi$

Detta resulterar i kraftekvationen (motsvarande Euler-Lagrange-ekvationen )

${\dot {\mathbf= {p} }} {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\ fetstil {\nabla }}\varphi$

som man kan härleda

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{ \mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^ {2}}{c^{2}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf { A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla ) \mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x}}}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}$

Ovanstående härledning använder sig av vektorkalkylens identitet :

${\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{ \mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\ ,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).$

Ett ekvivalent uttryck för Hamiltonian som funktion av det relativistiska (kinetiska) momentumet, P = γm ẋ ( t ) = p - q A , är

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}} {\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V$

Detta har fördelen att kinetisk rörelsemängd P kan mätas experimentellt medan kanonisk rörelsemängd p inte kan. Lägg märke till att Hamiltonian ( total energi ) kan ses som summan av den relativistiska energin (kinetisk+vila) , E = γmc ² , plus den potentiella energin , V = eφ .

Inflation

I studier av kosmologisk inflation hänvisar minimal koppling av ett skalärt fält vanligtvis till minimal koppling till gravitation . Detta betyder att åtgärden för inflatonfältet φ $\displaystyle \varphi }$ inte är kopplad till den skalära krökningen . Dess enda koppling till gravitationen är kopplingen till Lorentz invarianta måttet ${\sqrt {g}}\,d^{4}x$ konstruerat från metriken (i Planck-enheter ):

$S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\ ,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu}\varphi -V(\varphi) \höger)$

där $g:=\det g_{\mu \nu }$ , och med hjälp av gauge-kovariantderivatan .