Gruppsammandragning
Inom teoretisk fysik har Eugene Wigner och Erdal İnönü diskuterat möjligheten att från en given Lie-grupp få en annan (icke-isomorf) Lie-grupp genom en gruppsammandragning med avseende på en kontinuerlig undergrupp av den. Det motsvarar en begränsande operation på en parameter i Lie-algebra , som ändrar strukturkonstanterna för denna Lie-algebra på ett icke-trivialt singulariserat sätt, under lämpliga omständigheter.
Till exempel kan Lie-algebra för 3D-rotationsgruppen SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 , etc., skrivas om genom en förändring av variablerna Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , _ Y3 = X3 , som
- [ Yi , Y2 ] = e2Y3 , [ Y2 , Y3 ] = Y1 , [ Y3 , Y1 ] = Y2 . _ _ _ _ _ _
Kontraktionsgränsen ε → 0 trivialiserar den första kommutatorn och ger således den icke-isomorfa algebra för den plana euklidiska gruppen , E 2 ~ ISO(2) . (Detta är isomorft för den cylindriska gruppen, och beskriver rörelser av en punkt på ytan av en cylinder. Det är den lilla gruppen , eller stabilisatorundergruppen , av nollfyra -vektorer i Minkowski-rymden .) Närmare bestämt translationsgeneratorerna Y 1 , Y 2 , genererar nu den Abeliska normala undergruppen av E 2 (jfr Group extension ), de paraboliska Lorentz-transformationerna .
Liknande gränser, av betydande tillämpning inom fysik (jfr. Korrespondensprinciper ), kontrakt
- de Sitter-gruppen SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) till Poincaré-gruppen ISO(3, 1) när de Sitter-radien divergerar: R → ∞ ; eller
- Poincaré -gruppen till Galilei-gruppen , eftersom ljusets hastighet avviker: c → ∞ ; eller
- Moyal parentes Lie-algebra (motsvarande kvantkommutatorer) till Poisson-parentes Lie-algebra, i den klassiska gränsen när Planck-konstanten försvinner: ħ → 0 .
Anteckningar
- Dooley, AH; Rice, JW (1985). "Om sammandragningar av halvenkla Lie-grupper" (PDF) . Transaktioner från American Mathematical Society . 289 (1): 185–202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695 . MR 0779059 .
- Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras och några av deras tillämpningar . Dover böcker om matematik. Dover Publikationer . ISBN 0486445291 . MR 1275599 .
- Inönü, E. ; Wigner, EP (1953). "Om sammandragningen av grupper och deras representationer" . Proc. Natl. Acad. Sci . 39 (6): 510–24. Bibcode : 1953PNAS...39..510I . doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298 .
- Saletan, EJ (1961). "Sammandragning av lögngrupper". Journal of Mathematical Physics . 2 (1): 1–21. Bibcode : 1961JMP.....2....1S . doi : 10.1063/1.1724208 .
- Segal, IE (1951). "En klass av operatoralgebror som bestäms av grupper". Duke Mathematical Journal . 18 : 221. doi : 10.1215/S0012-7094-51-01817-0 .