Foldy–Wouthuysen förvandling

Foldy –Wouthuysen-transformationen var historiskt betydelsefull och formulerades av Leslie Lawrance Foldy och Siegfried Adolf Wouthuysen 1949 för att förstå den icke-relativistiska gränsen för Dirac-ekvationen , ekvationen för spin-½- partiklar. En detaljerad allmän diskussion om transformationer av Foldy-Wouthuysen-typ i partikeltolkning av relativistiska vågekvationer finns i Acharya och Sudarshan (1960). Dess användbarhet inom högenergifysik är nu begränsad på grund av att de primära tillämpningarna finns i den ultrarelativistiska domänen där Dirac-fältet behandlas som ett kvantiserat fält.

En kanonisk förvandling

FW-transformationen är en enhetlig transformation av den ortonormala basen där både Hamiltonian och staten är representerade. Egenvärdena förändras inte under en sådan enhetlig transformation, det vill säga fysiken förändras inte under en sådan enhetlig bastransformation . Därför kan en sådan enhetlig transformation alltid tillämpas: i synnerhet kan en enhetlig grundtransformation väljas som kommer att sätta Hamiltonianen i en trevligare form, på bekostnad av en förändring i tillståndsfunktionen, som då representerar något annat. Se till exempel Bogoliubov-transformationen , som är en ortogonal bastransform för samma syfte. Förslaget att FW-transformen är tillämplig på staten eller Hamiltonian är alltså inte korrekt.

Foldy och Wouthuysen använde sig av en kanonisk transformation som nu har kommit att kallas Foldy-Wouthuysen-transformationen . En kort redogörelse för förvandlingens historia finns i Foldys och Wouthuysens dödsannonser och Foldys biografiska memoarer. Innan deras arbete fanns det vissa svårigheter att förstå och samla in alla interaktionstermer för en given order, till exempel de för en Dirac-partikel nedsänkt i ett yttre fält. Med deras tillvägagångssätt var den fysiska tolkningen av begreppen tydlig och det blev möjligt att tillämpa deras arbete på ett systematiskt sätt på ett antal problem som tidigare inte lösts. Foldy–Wouthuysen-transformen utvidgades till de fysiskt viktiga fallen av spin-0 och spin-1-partiklar, och generaliserades till och med till fallet med godtyckliga spins .

Beskrivning

Foldy–Wouthuysen (FW) transformationen är en enhetlig transformation på en fermionvågsfunktion av formen:

$\psi \to \psi '=U\psi$

 

 

 

 

()

där enhetsoperatorn är 4 × 4-matrisen:

$= e^{\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta +\beta {\boldsymbol { \alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta =e^{{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }= \mathbb {I} _{4}\cos \theta +{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta }$

 

 

 

 

()

Ovan,

${\hat {p}}^{i}\equiv {\frac {p^{i}}{|\mathbf {p} |}}$

är enhetsvektorn orienterad i fermionmomentets riktning. Ovanstående är relaterade till Dirac-matriserna med β = γ ⁰ och ⁰ α ⁱ = γ γ ⁱ , med i = 1, 2, 3 . En enkel serieexpansion som tillämpar kommutativitetsegenskaperna för Dirac-matriserna visar att 2 ovan är sant. Det omvända

$U^{-1}=e^{-\beta {\boldsymbol {\alpha }}\ cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta$

så det är tydligt att U ⁻¹ U = I , där I är en 4 × 4 identitetsmatris .

Förvandlar Dirac Hamiltonian för en fri fermion

Denna omvandling är av särskilt intresse när den tillämpas på frifermionoperatören Dirac Hamiltonian

${\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m$

på biunitärt sätt, i formen:

${\begin{aligned}{\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}'_{0}&\equiv U{\hat {H}}_{0}U^{-1}\\&=U({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)U^{-1} \\&=(\cos \theta +\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \ mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Med hjälp av kommutativitetsegenskaperna för Dirac-matriserna kan detta masseras över till dubbelvinkeluttrycket:

${\begin{aligned}{\hat {H}}'_{0}&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )^{ 2}\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)e^{-2\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos 2\theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin 2\theta )\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Detta påverkar:

${\hat {H}}' _{0}={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} \left(\cos 2\theta -{\frac {m}{|\mathbf {p} |}}\sin 2\theta \right)+\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf {p} |\sin 2\theta )$

 

 

 

 

()

Att välja en speciell representation: Newton–Wigner

Uppenbarligen är FW-transformationen en kontinuerlig transformation, det vill säga man kan använda vilket värde som helst för θ som man väljer. Nu kommer den distinkta frågan om att välja ett särskilt värde för θ , vilket motsvarar att välja en viss transformerad representation.

En särskilt viktig representation är den där den transformerade Hamiltonian operatorn Ĥ ′ ₀ är diagonaliserad. Uppenbarligen kan en fullständigt diagonaliserad representation erhållas genom att välja θ så att α · p termen i 5 försvinner. En sådan representation specificeras genom att definiera:

$\tan 2\theta \equiv {\frac {|\mathbf {p} |}{m}}$

 

 

 

 

()

så att 5 reduceras till den diagonaliserade (detta förutsätter att β tas i Dirac–Pauli-representationen (efter Paul Dirac och Wolfgang Pauli ) där det är en diagonal matris):

${\hat {H}}'_{0}=\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf { p} |\sin 2\theta )$

 

 

 

 

()

Med elementär trigonometri innebär 6 ​​också att:

$\sin 2\theta ={\frac {|\mathbf {p} |}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}\quad {\ text{and}}\quad \cos 2\theta ={\frac {m}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}$

 

 

 

 

()

så att användning av 8 av 7 nu leder följande minskning till:

${\hat {H}}'_{0}=\beta {\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}$

 

 

 

 

()

Innan Foldy och Wouthuysen publicerade sin transformation var det redan känt att 9 är Hamiltonian i Newton–Wigner (NW) representationen (uppkallad efter Theodore Duddell Newton och Eugene Wigner ) i Dirac-ekvationen . Vad 9 därför säger oss är att genom att tillämpa en FW-transformation på Dirac–Pauli-representationen av Diracs ekvation, och sedan välja den kontinuerliga transformationsparametern θ för att diagonalisera Hamiltonian, kommer man fram till NW-representationen av Diracs ekvation, eftersom NW själv innehåller redan Hamiltonian som anges i ( 9 ). Se denna länk .

Om man betraktar en massa på skalet – fermion eller på annat sätt – given av m ² = p ^σ p _σ , och använder en Minkowski metrisk tensor för vilken diag( η ) = (+1, −1, −1, −1) , det bör vara uppenbart att uttrycket

$p^{0}={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}$

är ekvivalent med E ≡ p ⁰ -komponenten i energimomentvektorn p ^μ , så att 9 alternativt specificeras ganska enkelt med ₀ Ĥ ′ = βE .

Korrespondens mellan Dirac-Pauli och Newton-Wigner representationer, för en fermion i vila

Betrakta nu en fermion i vila, som vi i detta sammanhang kan definiera som en fermion för vilken | p | = 0 . Från 6 eller 8 betyder detta att cos 2 θ = 1 , så att θ = 0, ±π, ±2π och, från 2 , att enhetsoperatorn U = ± I . Därför kommer varje operator O i Dirac–Pauli-representationen som vi utför en biunitär transformation på, att ges, för en vilande fermion, av:

$O\to O'\equiv UOU^{-1}=(\pm I)(O)( \pm I)=O$

 

 

 

 

()

Som kontrast till den ursprungliga Dirac–Pauli Hamiltonian-operatören

${\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m$

med NW Hamiltonian 9 hittar vi verkligen | p | = 0 "i vila" korrespondens:

${\hat {H}}_{0}={\hat {H}}'_{0}=\beta m$

 

 

 

 

()

Omvandling av hastighetsoperatorn

I Dirac–Pauli-representationen

Ytterligare information: Zitterbewegung

Tänk nu på hastighetsoperatören. För att få denna operator måste vi pendla den Hamiltonska operatorn Ĥ ′ ₀ med de kanoniska positionsoperatorerna x _i , dvs vi måste beräkna

${\hat {v_{i}}}\equiv i\left[{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]$

Ett bra sätt att närma sig denna beräkning är att börja med att skriva den skalära vilomassan m as

$m=\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0}+\gamma ^{j}p_{j}$

och sedan beordra att den skalära vilomassan pendlar med x _i . Därför kan vi skriva:

$0=[m,x_{i}]= \left[\left(\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0}+\gamma ^{j}p_{j}\right),x_{i}\right]=\left[\ gamma ^{0}{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]+i\gamma _{i}$

 

 

 

 

()

där vi har använt oss av Heisenbergs kanoniska kommutationsförhållande [ x _i , p _j ] = − iη _ij för att reducera termer. Sedan, multiplicera från vänster med γ ⁰ och ordna om termer, kommer vi fram till:

${\frac {d{\hat {x}}_{i}}{dt}}={\hat {v_{i}}}\equiv i\left[{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]=\alpha _{i}$

 

 

 

 

()

Eftersom det kanoniska förhållandet

$i\left[{\hat {H}}_{0},{\hat {v}}_{i}\right]\neq 0$

ovanstående ger grunden för att beräkna en inneboende accelerationsoperator som inte är noll, som specificerar den oscillerande rörelsen som kallas zitterbewegung .

I Newton-Wigner-representationen

I Newton–Wigner-representationen vill vi nu beräkna

${\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{ i}\right]$

Om vi ​​använder resultatet i slutet av avsnitt 2 ovan, ₀ Ĥ ′ = βp ₀ , så kan detta istället skrivas som:

${\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H} }'_{0},x_{i}\right]=i\beta \left[p_{0},x_{i}\right]$

 

 

 

 

()

Med hjälp av ovanstående behöver vi helt enkelt beräkna ₀ [ p , x _i ] och sedan multiplicera med iβ .

Den kanoniska beräkningen fortsätter på samma sätt som beräkningen i avsnitt 4 ovan, men på grund av kvadratrotsuttrycket i ⁰ p = √ m ² + | p | ² krävs ytterligare ett steg.

För det första, för att tillgodose kvadratroten, vill vi kräva att den skalära kvadratiska massan m ² pendlar med de kanoniska koordinaterna x _i , som vi skriver som:

$0\equiv \left[m^{2} ,x_{i}\right]=\left[\left(p^{0}p_{0}+p^{j}p_{j}\right),x_{i}\right]=\left[p ^{0}p_{0},x_{i}\right]+2ip_{i}$

 

 

 

 

()

där vi återigen använder Heisenbergs kanoniska samband [ x _i , p _j ] = − iη _ij . Sedan behöver vi ett uttryck för ₀ [ p , x _i ] som kommer att uppfylla 15 . Det är enkelt att verifiera att:

$i\left[p_{0},x_{i}\right]={\frac {p_{i}}{p^{0}} }=v_{i}$

 

 

 

 

()

kommer att uppfylla 15 när man återigen använder [ x _i , p _j ] = − iη _ij . Nu returnerar vi helt enkelt iβ- faktorn via 14 för att komma fram till:

${\frac {d{\hat {x}}_{i} '}{dt}}={\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{i}\right]=\beta {\ frac {p_{i}}{p^{0}}}=\beta v_{i}$

 

 

 

 

()

Detta förstås vara hastighetsoperatorn i Newton-Wigner-representationen. Därför att:

$i\left[{\hat {H}}'_{0},{\hat {v}}_ {i}'\right]=i\left[\beta p_{0},\beta v_{i}\right]=0$

 

 

 

 

()

det är vanligt att den zitterbewegung -rörelsen som uppstår ur 12 försvinner när en fermion omvandlas till Newton-Wigner-representationen.

Andra applikationer

Det kraftfulla maskineriet i Foldy–Wouthuysen-transformen som ursprungligen utvecklades för Dirac-ekvationen har funnit tillämpningar i många situationer som akustik och optik .

Den har funnit tillämpningar inom mycket olika områden såsom synkrotronstrålning i atomsystem och härledning av Bloch-ekvationen för polariserade strålar.

Tillämpningen av Foldy–Wouthuysen-transformationen i akustik är mycket naturlig; omfattande och matematiskt noggranna redogörelser.

I det traditionella schemat syftet med att expandera den optiska Hamiltonian

${\hat {H}}=-\left(n^{2}(r)-{\hat {p}}_ {\perp }^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

i en serie med hjälp av

${\frac {{\hat {p}}_{\perp }^{2}}{n_{0}^{2}}}$

eftersom expansionsparametern är att förstå utbredningen av den kvasi-paraxiella strålen i termer av en serie approximationer (paraxiella plus icke-paraxiella). Liknande är situationen i fallet med laddad partikeloptik. Låt oss komma ihåg att man även inom den relativistiska kvantmekaniken har ett liknande problem med att förstå de relativistiska vågekvationerna som den icke-relativistiska approximationen plus de relativistiska korrigeringstermerna i den kvasi-relativistiska regimen. För Dirac-ekvationen (som är av första ordningen i tid) görs detta mest bekvämt med Foldy–Wouthuysen-transformationen som leder till en iterativ diagonaliseringsteknik. Huvudramen för optikens nyutvecklade formalism (både ljusoptik och laddad partikeloptik) är baserad på transformationstekniken i Foldy–Wouthuysen-teorin som gjuter Dirac-ekvationen i en form som visar de olika interaktionstermerna mellan Dirac-partikeln och en tillämpat elektromagnetiskt fält i en icke-relativistisk och lätttolkbar form.

I Foldy–Wouthuysen-teorin är Dirac-ekvationen frikopplad genom en kanonisk transformation till två tvåkomponentsekvationer: en reducerar till Pauli-ekvationen i den icke-relativistiska gränsen och den andra beskriver de negativa energitillstånden. Det är möjligt att skriva en Dirac-liknande matrisrepresentation av Maxwells ekvationer . I en sådan matrisform kan Foldy–Wouthuysen användas.

Det finns en nära algebraisk analogi mellan Helmholtz-ekvationen (som styr skalär optik) och Klein–Gordon-ekvationen ; och mellan matrisformen av Maxwells ekvationer (som styr vektoroptik) och Dirac-ekvationen . Så det är naturligt att använda standardkvantmekanikens kraftfulla maskineri (särskilt Foldy–Wouthuysen-transformen) för att analysera dessa system.

Förslaget att använda Foldy–Wouthuysen-transformationstekniken i fallet med Helmholtz-ekvationen nämndes i litteraturen som en anmärkning.

Det var först i de senaste arbetena som denna idé utnyttjades för att analysera de kvasiparaxiella approximationerna för specifika stråloptiska system. Foldy–Wouthuysen-tekniken är idealisk för Lie algebraisk syn på optik. Med alla dessa pluspoäng, den kraftfulla och oklarhetsfria expansionen, används Foldy–Wouthuysen Transformation fortfarande lite inom optik. Tekniken för Foldy–Wouthuysen-transformationen resulterar i vad som kallas otraditionella recept av Helmholtz-optik respektive Maxwell-optik. De otraditionella tillvägagångssätten ger upphov till mycket intressanta våglängdsberoende modifieringar av det paraxiella och aberrationsbeteendet. Maxwell-optikens otraditionella formalism ger ett enhetligt ramverk av ljusstråleoptik och polarisering. De otraditionella föreskrifterna för ljusoptik är nära analoga med kvantteorin för stråloptik med laddade partiklar. Inom optik har det gjort det möjligt att se de djupare kopplingarna i den våglängdsberoende regimen mellan ljusoptik och laddad partikeloptik (se Elektronoptik ).

Se även

• Relativistisk kvantmekanik