O-minimal teori

I matematisk logik , och mer specifikt i modellteori , kallas en oändlig struktur ( M ,<,...) som är helt ordnad efter < en o-minimal struktur om och endast om varje definierbar delmängd X ⊆ M (med parametrar tagna från M ) är en finit förening av intervall och punkter.

O-minimalitet kan betraktas som en svag form av kvantifierareliminering . En struktur M är o-minimal om och endast om varje formel med en fri variabel och parametrar i M är ekvivalent med en kvantifieringsfri formel som endast involverar ordningen, även med parametrar i M . Detta är analogt med de minimala strukturerna, som är exakt den analoga egenskapen ner till jämlikhet.

En teori T är en o-minimal teori om varje modell av T är o-minimal. Det är känt att den fullständiga teorin T för en o-minimal struktur är en o-minimal teori. Detta resultat är anmärkningsvärt eftersom den fullständiga teorin om en minimal struktur däremot inte behöver vara en starkt minimal teori , det vill säga det kan finnas en elementärt ekvivalent struktur som inte är minimal.

Mängdsteoretisk definition

O-minimala strukturer kan definieras utan att använda modellteori. Här definierar vi en struktur på en icke-tom mängd M på ett mängdteoretiskt sätt, som en sekvens S = ( S _n ), n = 0,1,2,... så att

S _n är en boolesk algebra av delmängder av M ⁿ
om A ∈ S _n så är M × A och A × M i S _{n +1}
mängden {( x ₁ ,..., x _n ) ∈ M ⁿ : x ₁ = x _n } är i S _n
om A ∈ S _{n +1} och π : M ^{n +1} → M ⁿ är projektionskartan på de första n koordinaterna, då π ( A ) ∈ S _n .

Om M har en tät linjär ordning utan ändpunkter på sig, säg <, så kallas en struktur S på M o-minimal om den uppfyller de extra axiomen

mängden < (={( x , y ) ∈ M ² : x < y }) är i S ₂
mängderna i S ₁ är just de finita unionerna av intervall och punkter.

"O" står för "order", eftersom varje o-minimal struktur kräver en ordning på den underliggande uppsättningen.

Modellteoretisk definition

₀ O-minimala strukturer har sitt ursprung i modellteorin och har därför en enklare - men likvärdig - definition med hjälp av modellteorin. Specifikt om L är ett språk som inkluderar en binär relation <, och ( M ,<,...) är en L -struktur där < tolkas för att uppfylla axiomen för en tät linjär ordning, då ( M ,<,... ) kallas en o-minimal struktur om det för någon definierbar mängd X ⊆ M finns ändligt många öppna intervall I ₁ ,..., I _r i M ∪ {±∞} och en ändlig mängd X så att

X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.

Exempel

Exempel på o-minimal teorier är:

Den kompletta teorin om täta linjära ordningar i språket med bara ordningen.
RCF, teorin om verkliga slutna fält .
Den fullständiga teorin om det verkliga fältet med begränsade analytiska funktioner tillagda (dvs analytiska funktioner i en grannskap av [0,1] ⁿ , begränsad till [0,1] ⁿ ; observera att den obegränsade sinusfunktionen har oändligt många rötter, och därför inte kan vara definierbar i en o-minimal struktur.)
Den kompletta teorin om det verkliga fältet med en symbol för exponentialfunktionen av Wilkies sats . Mer allmänt, den kompletta teorin om de reella talen med Pfaffian-funktioner tillagda.
De två sista exemplen kan kombineras: givet varje o-minimal expansion av det reella fältet (som det reella fältet med begränsade analytiska funktioner), kan man definiera dess Pfaffian-stängning, som återigen är en o-minimal struktur. (Den Pfaffiska stängningen av en struktur är i synnerhet stängd under Pfaffian-kedjor där godtyckliga definierbara funktioner används i stället för polynom.)

I fallet med RCF är de definierbara uppsättningarna de semialgebraiska uppsättningarna . Sålunda generaliserar studiet av o-minimala strukturer och teorier verklig algebraisk geometri . En stor linje av aktuell forskning är baserad på att upptäcka expansioner av det verkliga ordnade fältet som är o-minimala. Trots den allmänna tillämpningen kan man visa en hel del om geometrin hos mängden som är definierbar i o-minimala strukturer. Det finns en cellnedbrytningssats, Whitneys och Verdiers stratifieringssatser och en bra uppfattning om dimension och Euler-karaktäristik.

Dessutom uppfyller kontinuerligt differentierbara definierbara funktioner i en o-minimal struktur en generalisering av Łojasiewicz inequality , en egenskap som har använts för att garantera konvergensen av vissa icke-släta optimeringsmetoder, såsom den stokastiska subgradientmetoden (under vissa milda antaganden).

Se även

Anteckningar

van den Dries, Lou (1998). Tam topologi och o-minimala strukturer . London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie. Vol. 248. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-59838-5 . Zbl 0953.03045 .
Marker, David (2000). "Recension av "Tam topologi och o-minimala strukturer" " ( PDF) . Bulletin från American Mathematical Society . 37 (3): 351–357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
Marker, David (2002). Modellteori: En introduktion . Examentexter i matematik. Vol. 217. New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6 . Zbl 1003.03034 .
Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definierbara uppsättningar i ordnade strukturer I" (PDF) . Transaktioner från American Mathematical Society . 295 (2): 565–592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR 2000052 . Zbl 0662.03023 .
Riddare, Julia ; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definierbara uppsättningar i ordnade strukturer II" . Transaktioner från American Mathematical Society . 295 (2): 593–605. doi : 10.2307/2000053 . JSTOR 2000053 . Zbl 0662.03024 .
Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). "Definierbara uppsättningar i ordnade strukturer III" . Transaktioner från American Mathematical Society . 309 (2): 469–476. doi : 10.2307/2000920 . JSTOR 2000920 . Zbl 0707.03024 .
Wilkie, AJ (1996). "Modellens fullständighet resulterar för expansioner av det ordnade fältet av reella tal med begränsade Pfaffian-funktioner och exponentialfunktionen" ( PDF) . Journal of the American Mathematical Society . 9 (4): 1051–1095. doi : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
Denef, J.; van den Dries, L. (1989). " p -adiska och verkliga subanalytiska uppsättningar". Annals of Mathematics . 128 (1): 79–138. doi : 10.2307/1971463 . JSTOR 1971463 .

externa länkar